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1、刘徽的数学成就在小学中的应用雷磊（长江师范学院 数学与计算机学院 重庆涪陵 408000）摘要：中国数学有着悠久的历史，数学发达的历史至少有四千多年，这是其它任何国家所不能比拟的，在 14 世纪以前，我国一直是世界上数学最为发达的国家，出现过许多杰出 数学家，取得了很多辉煌成就，其中刘徽就是古代数学中的一位大师。刘徽思想敏捷，方 法灵活，既提倡推理又主张直观他是中国最早明确主张用逻辑推理的方式来论证数学命 题的人他在数学方面取得的成就在中国乃至世界数学史上均有深远影响。他一生取得了许 多数学成就对现代的教育产生了重大的影响，他的杰作九章算术注和海岛算经 ，是 我国最宝贵的数学遗产。这两部著作的
2、贡献在代数，几何，算术方面都有。下面我将从中 小学教育中小学数学教科书对算术和几何方面进行案例设计教学进行展开，从而体现在现代中小学中的数学史意义。关键字：数学成就 中小学教育 案例教学 思想方法一、一、引言引言数学是推动人类文明进步的一个重要力量， ”H.Weyl（魏尔）也说过：“如果不知道远溯古希腊各代前辈所建立和发展的概念、方法和结果，我们就不可能理解近五十年来数学的目标，也不可能理解它的成就，这让我们明白学习数学史同样是让我们更好的学习现代数学的一个重要基础。学习数学史，这使学生开阔视野，激发学习兴趣 感受前人严谨态度，增强自我探索精神 了解祖国传统数学，培养学生爱国情怀 鉴过去而知未
3、来，感悟数学与社会。现代教学中，如何使学生掌握学习方法，学会学习是一个极其重要的问题。然后沿着科学的、历史的足迹来剖析数学史科，能使学生养成良好的思维习惯，掌握正确的学习方法因此，注意探索知识的发生过程，研究数学如何得到启示，达到伟大的发现的，他们走哪条路径，采用哪些思维方式，突破的关键在哪里，并将这一切合情合理地剖析出来，展示给学生，使学生通过最佳途径去获得最好的效果。因此，现代应该怎样把数学史贯穿在教育中是一个问题。现将刘徽在数学领域的成就主要是与中学教育有关的两个成就割圆术和线性方程组作为例子来具体谈谈怎样把阿基米德的事引入到现在小学教育的实际教学中，主要是通过两个案例设计来具体体现。从
4、阿基米德的实际教学案例我们可以具体的知道学习数学史的意义。二二、刘刘徽徽生生平平以以及及主主要要数数学学成成就就刘徽，生于公元 250 年左右，三国后期魏国人，是中国古代杰出的数学家，也是中国古典数学理论的奠基者之一其生卒年月、生平事迹，史书上很少记载。据有限史料推测，他是魏晋时代山东临淄或淄川一带人。终生未做官。刘徽的数学著作留传后世的很少，所留之作均为久经辗转传抄。他的主要著作有：九章算术注10 卷；重差1 卷，至唐代易名为海岛算经；九章重差图l 卷，可惜后两种都在宋代失传。九章算术约成书于东汉之初，共有 246 个问题的解法在许多方面：如解联立方程，分数四则运算，正负数运算，几何图形的体
5、积面积计算等，都属于世界先进之列，但因解法比较原始，缺乏必要的证明，而刘徽则对此均作了补充证明在这些证明中，显示了他在多方面的创造性的贡献他是世界上最早提出十进小数概念的人，并用十进小数来表示无理数的立方根在代数方面，他正确地提出了正负数的概念及其加减运算的法则；改进了线性方程组的解法在几何方面，提出了“割圆术“，即将圆周用内接或外切正多边形穷竭的一种求圆面积和圆周长的方法他利用割圆术科学地求出了圆周率 =3.14 的结果刘徽在割圆术中提出的“割之弥细，所失弥少，割之又割以至于不可割，则与圆合体而无所失矣“，这可视为中国古代极限观念的佳作 海岛算经一书中， 刘徽精心选编了九个测量问题，这些题目
6、的创造性、复杂性和富有代表性，都在当时为西方所瞩目刘徽思想敏捷，方法灵活，既提倡推理又主张直观他是我国最早明确主张用逻辑推理的方式来论证数学命题的人。三、刘徽的数学成就三、刘徽的数学成就割圆术与中学数学教育割圆术与中学数学教育3.1、刘徽的数学成就割圆术3.11、割圆术中国古代数学家刘徽在九章算术注方田章圆田术中创造了割圆术计算圆周率 刘微 先注意到圆内接正多边形的面积小于圆面积，其次，当将边数屡次加倍时，正多边形的面 积增大，边数愈大则正多边形面积愈近于圆的面积“割之弥细，所失弥少割之又割以至于不可割，则与圆合体而无所失矣”这几句话 明确地表明了刘徽的极限思想刘徽先将直径为 2 的圆分割为
7、6 等分，再分割成 12 等分，24 等分，.，这样继续下 去，并利用勾股定理计算其面积，从而求出圆周率的近似值，他一直计算到圆内接正 192 边形的面积。圆周长大于内接正四边形而小于外切正四边形，因此 22 4 。不断地利用勾股定理，来计算正 N 边形的边长。 圆的面积周长的一半半径 C = d C = 2rSrr Sr2 3.12、小学数学割圆术引入的案例设计（案例 1）师：在前几节课的学习中，我们明白了圆是最美丽的平面图形。现在我们举行一个“小巧 手”比赛。每小组都备有纸和剪刀，发挥你们的聪明才智，想办法剪一个圆。老师会把最 漂亮的作品贴在黑板上。课堂活动描述：有的小组随意“剪圆”，难度
8、较大；有的小组把纸对折后再剪，发现比较 方便；有的小组剪的图形打开后是花瓣形，陷入了困惑；更多小组根据圆的对称性，发现 三折、四折后再剪更容易。师：在“剪圆”的活动中你们有什么感受？课堂思维再现：把纸对折后好剪，而且折的次数越多、圆周越短剪起来越方便，打开后也 更像圆；五折、六折非常困难，但是可以通过想象，把纸对折的次数达到无限多的时候， 剪好的图形基本可以看做圆；折好纸后不要剪弧线，尽量剪直线，这样才能避免剪出花瓣 形状，展开后就比较接近圆了。师：想一想，圆是个曲线图形，为什么直着剪展开后会更圆？课堂思维再现：直着剪打开后其实就是一个圆内的正多边形。这和我国古代数学家刘徽的 “割圆术”道理是
9、一样的，正多边形边越多越接近圆。师：认真观察黑板上我们的作品，你们有什么发现？课堂思维再现：我们发现圆可以看成是一些三角形组成的，对折时留下的折痕其实就是圆 的半径；这些三角形是近似的等腰三角形，相邻的两条折痕之间的圆周可以看做三角形的 底，高就是圆的半径。师（拿着一张圆形纸片）：如何求圆的面积？能不能像推导三角形、平行四边形的面积公 式那样推导出圆的面积公式？课堂活动描述：方法 1：把圆平均分成 8 个小三角形，求出其中一个三角形的面积再乘以个数，就求出圆 的面积了。圆的周长为 C，三角形的底就是 C/8，三角形的高是 r，推出圆的面积公式： C/8r281/82rr28r2。方法 2：把圆
10、分成 16 份、32 份都可以，假设分成 x 个小三角形，推出圆的面积公式： C/xr2x1/x2rr2xr2。方法 3：把 8 个小三角形拼成一个近似的平行四边形，拼成的平行四边形的面积和原来的 圆的面积是相等的。平行四边形的底等于圆周长的一半，平行四边形的高等于圆的半径， 平行四边形的面积等于底乘高，推出圆的面积公式：C/2r1/22rrr2。方法 4：如果分的份数越多，拼成的图形越接近于长方形。根据长方形的长、宽与圆的关 系，得出圆的面积公式：1/22rrr2。师生共同完成板书：Sr2。反思：就本节课来讲，如何引导学生实现曲线图形和直线图形的转化是教学的突破口。课堂上， 我借助“剪纸”这
11、一活动，让学生在“剪圆”的过程中思考：“如何剪得更圆”“为什么 我剪出的圆像花瓣”“为什么要直着剪”，从而联想到刘徽的“割圆术”，最终达成共识 对折的次数越多，剪得越直，展开越接近圆。此时，在学生的头脑中圆已经化身为一 个正多边形。圆与直线图形之间的转化、极限的思想是在学生看得见、摸得着的学习过程 中感悟出来的。这样，教学难点解决了，面积公式的推导也水到渠成。二、刘徽的数学成就负数与小学教育3.2 刘徽的数学成就负数3.21、负数我国三国时期的学者刘徽在建立负数的概念上有重大贡献。刘徽首先给出了正负数的定 义，他说：“今两算得失相反，要令正负以名之。“意思是说，在计算过程中遇到具有相 反意义的
12、量，要用正数和负数来区分它们。刘徽第一次给出了正负区分正负数的方法。 他说：“正算赤，负算黑；否则以邪正为异“意思是说，用红色的小棍摆出的数表示正数， 用黑色的小棍摆出的数表示负数；也可以用斜摆的小棍表示负数，用正摆的小棍表示正 数。3.22、小学教育中负数引入的案例一、谈话交流 谈话：同学们，刚才一上课大家就做了一组相反的动作，是什么？（起立、坐下。 ）今天的数学课我们就从这个话题聊起。我们周围有很多的自然和社会现象中都存在着相反的情况，比如太阳每天从东方升起，西方落下；公交车的站点有人上车和下车；繁华的街市上有买也有卖；激烈的赛场上有输也有赢你能举出一些这样的现象吗？二、教学新知1表示相反
13、意义的量。（1）引入实例。谈话：如果沿着刚才的话题继续“聊”下去的话，就很自然地走进数学，我们一起来看几个例子。 六年级上学期转来 6 人，本学期转走 6 人。 张阿姨做生意，二月份盈利 1500 元，三月份亏损 200 元。 与标准体重比，小明重了 2.5 千克,小华轻了 1.8 千克。 一个蓄水池夏季水位上升米，冬季水位下降米。指出：这些相反的词语和具体的数量结合起来，就成了一组组“相反意义的量” 。 （补充板书：相反意义的量。 ）（2）尝试。怎样用数学方式来表示这些相反意义的量呢？请同学们选择一例，试着写出表示方法。 （3）展示交流。 2认识正、负数。（1）引入正、负数。谈话：刚才，有同
14、学在 6 的前面写上“”表示转来 6 人，添上“”表示转走 6 人，这种表示方法和数学上是完全一致的。介绍：像“6”这样的数叫负数；这个数读作：负六。“” ，在这里有了新的意义和作用，叫“负号” 。 “”是正号。像“6”是一个正数，读作：正六。我们可以在 6 的前面加上“” ，也可以省略不写。其实，过去我们认识的很多数都是正数。7负数的历史。（1）介绍。其实，负数的产生和发展有着悠久的历史，我们一起来了解一下（课件配音播放）：“中国是世界上最早认识和运用负数的国家，早在 2000 多年前，我国古代数学著作九章算术中对正数和负数就有了记载。魏朝数学家刘徽在该书的注文中则更进一步地概括了正、负数的
15、意义：两算得失相反，要令正负以名之。 古代用算筹表示数，这句话的意思是：两种得失相反的数，分别叫做正数和负数。 并且规定用红色算筹表示正数，黑色算筹表示负数。由于记录时换色不方便，到了十三世纪，数学家还创造了在数字上面画斜杠来表示负数的方法。国外对负数的认识经历了曲折的过程，并且也出现了各种表示负数的形式，直到 20 世纪初，才形成了现在的形式。但比中国晚了数百年！”四、引入刘徽的故事对现在小学数学教育学习割圆术和负数的意义四、引入刘徽的故事对现在小学数学教育学习割圆术和负数的意义把刘徽的故事引用在教学案例中，我们可以明显的看出这对于学生们学习的有很大的益处。在这个教学案例通过对刘徽数学成就割
16、圆术这样一个问题的提出，让同学们自己动手实践，去挖掘，去寻求自己的答案。这增强了他们学习的积极性，同时让同学们对此产生了浓厚的兴趣。此案例直接支配着学生们数学的实践活动因为任何数学事实的理解、数学概念的掌握、数学方法的运用，数学理论的建立，无一不是在自己实践中建立起来的因此可以说，动手实践是对数学概念、方法和理论的本质认识通过此案例，可以知道各种具体的数学思想的产生和发展，它与数学主干思想有何联系，它对数学发展的影响、作用和地位通过这个案例，还提升了自己对学习数学的信心，并且使学生感受到了理论运用到实践的快乐，体会到了数学的严谨性、应用性。同时，刘徽在割圆术中应用的图形补割法，极限法的思想方法让同学们感受到了数学家留下的宝贵遗产。从而体现了学生学习数学史的意义。
