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1、人教版高中数学新课程标准实验教科书数学高中数学新课程标准实验教科书数学 4平面向量平面向量教学建议教学建议一、向量进入中学数学的背景分析一、向量进入中学数学的背景分析1 1 向量的双重性：向量的双重性：向量是一个具有几何和代数双重身份的概念，同时向量代数所依附的线性代数是高等数学中一个完整的体系，具有良好的分析方法和完整结构通过向量的运用对传统问题的分析，可以帮助学生更好地建立代数与几何的联系，也为中学数学向高等数学过渡奠定了一个直观的基础这方面的案例包括平面几何、立体几何和向量解析几何2 2认识向量的另外角度：认识向量的另外角度：把平面和空间看出是一个向量场，可以培养学生对结构数学的认识，而
2、结构数学是现代数学发展的主要方向这里也可以把向量的引入理解为现代数学与初等数学的衔接的组成部分之一3.“3.“数、量与运算数、量与运算”的扩大：的扩大：从“数、量和运算”发展的角度理解“向量”，把向量的加法（减法）、数乘以向量和向量的数量积看作新的运算，使学生认识到数、量和运算的形式在不断的发展更为重要的是在教材和教师教学的处理上应该表现出“数、量和运算”的一个发展趋势链，其中数的发展包括正整数（自然数）零和自然数正分数（有限小数和无限循环小数）非负有理数有理数无理数（无限不循环小数）实数复数，从代数结构的角度看，经历了整数环有理数域实数域复数域（1883 年 Hamilton的四元数域是不满
3、足乘法交换律的复数域的扩大，在此意义上说复数域是最大的数域），这些“数”所对应的“量”都是一类的，并且至此“运算”的结构没有改变，从整体上看“数”在发展，而“量”及“运算”没有本质的发展因此向量不是“数”的简单扩大，它所关注的不是“数”的扩大问题，而是“量及运算”的扩大问题因而在向量的引入时，不宜从代数方程的角度出发，可能从力学的实际背景出发更能体现出“量”的发展同时还应该强调的是向量代数是以前所有“数的运算”的一个发展（如果我们能够引入向量的向量积运算，将使学生第一次看到运算可以不满足交换律的真正案例），使学生对此问题有一个发展的理解，由此也为今后引入矩阵及其运算做了铺垫4 4数学和物理学的
4、关系在向量中的体现：数学和物理学的关系在向量中的体现：数学和物理学的关系在中学阶段应该得到重视和发展，事实上一个良好的物理或现实背景是学生对数学产生兴趣和学好数学的重要因素，并且数学和物理世界是如此的紧密关联。数学和物理学的关系是有目共睹的而向量在力学中的应用即使在中学阶段也是不难发现的使学生尽早地认识到数学与物理世界的紧密关系，不仅可以增强学生学习的兴趣，同时也使学生认识到数学伟大的社会性5 5国际数学教育对向量的处理：国际数学教育对向量的处理：国际数学教育的发展已全面反映了综合几何的学习的落后，向量和矩阵进入中学数学是一个大的趋势。比如美国的学校数学的原则和标准、新西兰数学课程标准和澳大利
5、亚数学教学大纲都在此问题上有全面的反映从总体上分析，基本共识是基于以下的事实：1899 年希尔伯特的几何学基础的发表，标志着几何学基础的彻底革新，也发展了现代数学的公理化模式以此为推动力，数学本体上在这个方面的研究几乎穷尽中学的综合几何就是扩大了公理体系的希尔伯特几何的简单情形如果我国几何教学仍然停留在此不动，那么很难说我们的数学教育反映了数学发展的进程，也与国际数学教育的发展相去甚远6 6向量的教学实践过程可行性问题：向量的教学实践过程可行性问题：在中学阶段引入是完全可以接受的这是因为，第一，学生有初步的平面坐标几何的基础；第二，教师有良好的立体几何的教学背景，教师在把传统的综合几何转移到向
6、量代数处理立体几何时有很好的直观背景，并可以使之迁移到学生的学习过程中去除此之外，现代化技术（包括多媒体教学技术和后 PC 时代的掌上技术）在向量的“教与学”中可以帮助教师和学生利用图形计算器、计算机和动态几何软件不仅可以解决几何“直观性”的问题，同时也使得学生的向量学习入门更容易理解在国际上这种案例是很多的二内容与课程学习目标二内容与课程学习目标本章主要包括平面向量的实际背景及基本概念、平面向量的线性运算、平面向量的基本定理及坐标表示、平面向量的数量积、平面向量应用五部分内容。1通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示。2通过实例，掌握向量
7、加、减法的运算，并理解其几何意义。3通过实例，掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义。4了解向量的线性运算性质及其几何意义。5了解平面向量的基本定理及其意义。6掌握平面向量的正交分解及其坐标表示。7会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算。8理解用坐标表示的平面向量共线的条件。9通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义。10体会平面向量的数量积与向量投影的关系。11掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算。12能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。13经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实
8、际问题的过程，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具，发展运算能力和解决实际问题的能力。三教材特点：三教材特点：1 1突出向量的物理背景与几何背景。突出向量的物理背景与几何背景。注意从丰富的物理背景和几何背景中引入向量概念。通过日常生活中确定“位置”中的位移概念，说明学习向量知识的意义；通过物理学中的重力、浮力、弹力、速度、加速度等作为实际背景素材，引出向量的概念；利用有向线段给出了向量的几何背景，并定义了向量的模、单位向量等概念。这样的安排，可以使学生认识到向量在刻画现实问题、物理问题以及数学问题中的作用，使学生建立起理解和运用向量概念的背景支持。借助几何直观，并通过与数的运算的类比引
9、入向量运算，以加强向量的几何背景。例如，关于向量的减法，在向量代数中，常有两种定义方法，第一种是将向量的减法定义为向量加法的逆运算，即如果 a+x=b，则 x 叫做向量 b 与 a 的差。这样，作 ba 时，可先在平面内取一点 O，再作，则就是 ba。第二种方法是在相反向量的基础上，通过向量的加法定义向量的减法，即已知、，定义。在这种定义下，作时，可先在平面内任取一点 O，作，则由向量加法的平行四边形法则知，。由于，即就是。实践表明，中学生理解第一种定义方法存在困难，但能容易地作出；接受第二种定义方法容易，但作较繁。为便于学生接受，教科书先类比相反数给出相反向量，再把定义为，然后借助几何直观得
10、出的作法（向量减法的几何意义）。2.2.强调向量作为解决现实问题和数学问题的工具作用。强调向量作为解决现实问题和数学问题的工具作用。为了强调向量作为刻画力、速度、位移等现实中常见现象的有力的数学工具作用，本章特别注意联系实际。特别是在概念引入中加强与实际的联系。例如，在引入向量的概念时，联系了位移、物体在液体中的受力分析、弹簧受力分析等；向量的加法运算、平面向量的正交分解、平面向量的数量积等都与相应的物理问题建立联系；向量加法的三角形法则和平行四边形法则与位移的合成、力的合成相联系。向量也是解决数学问题的好工具。例如，和（差）角的三角函数公式、线段的定比分点公式、平面两点间距离公式、平移公式及
11、正弦定理、余弦定理等都可以用向量为工具进行推导；向量作为沟通代数、几何与三角函数的桥梁，是一个很好的数形结合工具。教科书通过“平面几何中的向量方法”进行了介绍，并在第三章用向量方法来推导两角差的余弦公式。这些处理也都是为了体现向量作为基本的、重要的数学工具的地位。3.3.根据数学知识的发展过程与学生的认知过程安排内容。根据数学知识的发展过程与学生的认知过程安排内容。向量是高中数学课程近年来引进的新内容，为了保证其科学性，同时又易于被学生接受，根据向量知识的发展过程和学生的思维规律，根据“标准”对向量内容的定位，并考虑到学生在数及其运算中建立起来的经验，本章按照如下次序来编排：向量的实际背景及基
12、本概念向量的线性运算平面向量基本定理及坐标表示向量的数量积向量应用举例。具体的考虑是：（1）借助力、速度、位移等现实中的常见现象，让学生认识引进向量的必要性，并得出向量是既有大小又有方向的量，给出向量的概念。（2）数学中引进一个新的量，自然要看看它的运算及其运算律的问题。（3）受到数轴上的点表示数的启发，向量能不能用类似于数轴上的点的形式来表示呢？（4）从运算的角度看，自然要研究两个向量是否可以相乘，如果可以，那么结果怎样？（5）学习的目的在于应用，应用的过程中可以加深理解相关知识，因此安排了“向量的简单应用”。本章内容的这种想法，如果能够让学生在学习过程中明确起来，那么对他们掌握本章内容会有
13、很大帮助。这里需要说明的是，向量的坐标表示的引入，由于目的不同而有不同的处理方式。高等数学教材中，往往采取先介绍向量的概念及各种运算，并直接用向量解决有关几何问题，然后再引进坐标，并用向量和坐标方法讨论空间直线、平面、二次曲面及一般的曲面，其目的是突出向量的工具性。本章为了尽早让学生知道处理几何问题的另两种方法向量法和坐标法，突出数形结合的思想，在平面向量基本定理、平面向量的正交分解后就引进向量的坐标，并把向量的线性运算及向量的共线等用坐标表示。4.4.强调向量法的基本思想，明确向量运算及运算律的核心地位。强调向量法的基本思想，明确向量运算及运算律的核心地位。向量具有明确的几何背景，向量的运算
14、及运算律具有明显的几何意义，因此涉及长度、夹角的几何问题可以通过向量及其运算得到解决。另外，向量及其运算（运算律）与几何图形的性质紧密相联，向量的运算（包括运算律）可以用图形直观表示，图形的一些性质也可以用向量的运算（运算律）来表示。例如，平行四边形是表示向量加法和减法的几何模型，而向量的加法及其交换律（a+b=b+a）又可以表示平行四边形的性质（在平行四边形 ABCD 中，ADBC，ABCD，ABD ）。这样，建立了向量运算（包括运算律）与几何图形之间的关系后，可以使图形的研究推进到有效能算的水平，向量运算（运算律）把向量与几何、代数有机地联系在一起。几何中的向量方法与解析几何的思想具有一致
15、性，不同的只是用“向量和向量运算”来代替解析几何中的“数和数的运算”。这就是把点、线、面等几何要素直接归结为向量，对这些向量借助于它们之间的运算进行讨论，然后把这些计算结果翻译成关于点、线、面的相应结果。如果把解析几何的方法简单地表述为形到数数的运算数到形，则向量方法可简单地表述为形到向量向量的运算向量和数到形。教科书特别强调了向量法的上述基本思想，并根据上述基本思想明确提出了用向量法解决几何问题的“三步曲”。为了使学生体会向量运算及运算律的重要性，教科书注意引导学生在解决具体问题时及时进行归纳，同时还明确使用了“因为有了运算，向量的力量无限；如果没有运算，向量只是示意方向的路标”的提示语。5
16、 5通过与数及其运算的类比，向量法与坐标法的类比，建立相关知识的联系，突出通过与数及其运算的类比，向量法与坐标法的类比，建立相关知识的联系，突出思想性。思想性。向量及其运算与数及其运算既有区别又有联系，在研究的思想方法上可以进行类比。这种类比可以打开学生讨论向量问题的思路，同时还能使向量的学习找到合适的思维固着点。为此，教科书在向量概念的引入，向量的线性运算，向量的数量积运算等内容的展开上，都注意与数及其运算（加、减、乘）进行类比。例如，向量概念的引入用了这样一段话：我们可以从一支笔、一棵树、一本书抽象出只有大小的数量“1”。类似地，我们可以对力、位移这些既有大小又有方向的量进行抽象，形成一种新的量。又如，在学习向量的运算及运算律时，也是从数谈起的：“数能进行运算，因为有了运算而使数的威力无穷。与数的运算类比，向量是否也能进行运算呢？”“数的加法启发我们，从运算的
