模式识别导论本(六)

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1、模式识别导论武汉大学遥感信息工程学院 马洪超模糊集合理论在模式识别中的应用 模式识别导论武汉大学遥感信息工程学院 马洪超模糊集的基本概念处于中介过渡状态中的事物，不易区别。人们常说的一些事物 之间没有绝对的界限，就是指的那样一些处于中间过渡状态中 的事物。 模糊性例子:“高矮”、“胖瘦”、“年青”、“年老”等等1965年美国加利福尼亚大学L.A. Zadeh.”教授首次发表“Fuzzy Sets”重要论文，奠定了模糊数学的理论基础，目前“模糊数学”已广泛应用在系统工程、生物科学、社会科学等领域中。概率研究的是事物出现与否的不确定性，而模糊研究的是事物 本身的概念是不明确的。模式识别导论武汉大学

2、遥感信息工程学院 马洪超研究和处理模糊性现像的数学，被称之为模糊数学，具体说是模糊集合论。这种数学与普通集合论大相庭径，后者要求一个对像要么属于某一集合，要么不属于，二者必居其一，不能含糊，模糊数学却承认和允许模棱两可，然而它又延用普通集合论的一些概念，仍然研究对象的归属，故它具体表现为模糊集合论 模糊子集回顾一下普通集合论 。具有某种属性的事物的全体称为集合，集合中的每一成员称为集合的元素 。若用0、1二值表示不属于和属于 ， 表示x属于子集A的情况 模式识别导论武汉大学遥感信息工程学院 马洪超称为子集A的特征函数 集合E中不属于子集A 的所有元素又组成一个子集，称为A的补集，记为 集合A和

3、集合B的所有元素可以组成一个新的集合，称为A和B的并集 模式识别导论武汉大学遥感信息工程学院 马洪超集合A和集合B中的所有公共元素也可以组成一个新的集合，称为A和B的交集 上述0、1二值是某集合特征函数的值，称为隶属度 表示x绝对属于A，即A的特征函数在x处的值为100%，或x对于A的隶属度为100%。特征函数满足下列运算性质： 模式识别导论武汉大学遥感信息工程学院 马洪超如果允许隶属度取闭区间0,1中一切值，表示隶属程度的变化，则比较合理。这时的集合就不能再作为原来意义上的集合，而是称为模糊集合 设E是一个集合，A是其子集，对任意 用 表示X对A的隶属程度，其值域为闭区间0，1。这时A称为E

4、的一个模糊子集。 称为A的隶属函数 模式识别导论武汉大学遥感信息工程学院 马洪超的值域取两个数值时，A便退化为普通集合论中的子集，隶属函数则退化为特征函数 例子1 见教材 对E中每一元素，指定其对于A的隶属度，有于是，在E中的“正方块”模糊子集A可表示为也可以采用扎德（Zadeh）的记法 模式识别导论武汉大学遥感信息工程学院 马洪超最后一项也可以不写进去注意，这里并非求和，分母表示一个元素，分子表 示其对于A的隶属度 “台”的概念 A的台是E中所有使 的元素的集合 模式识别导论武汉大学遥感信息工程学院 马洪超倘设一阈值，将代替上式的零，则得到另一重要概念模糊集A的 水平截集。概念是模糊集合到普

5、通集合之间互相转化的一个重要桥梁，而且是一个模糊集合究竟包括哪些元素的一个重要依据。根据这个概念，我们可以对模糊集合进行分解，如A0.9,A0.4,A0.2等 水平截集。模式识别导论武汉大学遥感信息工程学院 马洪超水平截集的三个性质：由于模糊集是通过隶属函数下定义，关键在于如何确定一个合适的隶属函数，模糊集本身没有一个明确的范围，只有在选择一个确定的值作为水平阈值时，才能得到一个模糊集元素的组成 模式识别导论武汉大学遥感信息工程学院 马洪超模糊集的简单运算、模糊度与模糊关系 设A和B是集合E上的两个模糊子集。 分别是A和B的并集、交集及A的补集 对于 它们分别具有如下隶属函数： 模糊集的简单运

6、算 模式识别导论武汉大学遥感信息工程学院 马洪超模式识别导论武汉大学遥感信息工程学院 马洪超2. 模糊度为了对一个模糊集A的模糊性进行定量描述，一般采 用模糊度D（A）的概念。它的定义是： 称为模糊集A的模糊度，如果它满足下列条件： （1）仅当 只取0和1时， （2）当D（A）=1； （3）对两个模糊子集，有说明隶属函数值越靠近0.5，模糊度越大。 模式识别导论武汉大学遥感信息工程学院 马洪超现在看看描述模糊度的方法，也就是如何计算一个模糊集的模糊度。设有两个模糊子集A，B，其相对线性距离为比如对于例3，有当度量某一个模糊集A的模糊度时，则先定义一个普通集合，它根据A的隶属函数来确定，表示为

7、模式识别导论武汉大学遥感信息工程学院 马洪超将A与之间的相对线性距离称为A 的线性模糊度：例如有3. 模糊关系和模糊关系矩阵模式识别导论武汉大学遥感信息工程学院 马洪超在普通关系中，如果是因素U是甲的状态集，V是因素乙的状态集，当同时考虑这两个因素时，可能的状态集就 是由U和V中元素对的任意搭配组成。这个可能状态集称 为U与V的笛卡尔乘积集。记为例如 U =菱形、矩形、圆形，V=白、黑，那么这时UV 笛卡尔乘积集可由下表图形表示 模式识别导论武汉大学遥感信息工程学院 马洪超白 黑菱形矩形圆形UVVU将普通集合的关系推广到模糊关系：模式识别导论武汉大学遥感信息工程学院 马洪超UV的一个模糊子集称

8、为到V的一个模糊关系R，记为 。其隶属函数为它表示具有关系R程度 例4，下面有一张外语成绩单。（表6-3-2）姓名语种成绩徐某英 日 俄85 70 75 张某英 法90 80李某英 俄 法70 65 80模式识别导论武汉大学遥感信息工程学院 马洪超用考分除100来描述掌握的程度，则得到表示“掌握”的模糊关系 R这里，模糊关系可以用矩阵来表示，这个矩阵称为模糊关系矩 阵。模糊子集的 水平截集可以推广到模糊矩阵中设例如上述矩阵R，当 0.8时UV的一个模糊子集称为到V的一个模糊关系R，记为 。其隶属函数为它表示具有关系R程度 模式识别导论武汉大学遥感信息工程学院 马洪超模糊关系矩阵可以进行复合运算

9、，从而得到新的关系，比如三人“掌握几门外语”关系R和“这几种外语在某次国际会议交流广度”关系S复合，得到“三人在这次会议上交流广度”关系T 这里的复合运算可按矩阵乘法的规则进行，只不过将各元素的相乘改为求最小值，相加改为求最大值 模式识别导论武汉大学遥感信息工程学院 马洪超例5徐某，张某，李某掌握英日俄法的程度表示为例4中的R矩阵，三人出席某国际会议，英日俄法在会议大会报告、小 组交流、个别交谈中的交流程度用S矩阵表示，即 模式识别导论武汉大学遥感信息工程学院 马洪超隶属函数的确定隶属函数是模糊数学最显著的特征，也是模糊数学应用中最关键的参量。 1. 模糊统计法概率统计是通过大量随机试验确定某

10、事物发生的概率，模糊统计则是对事物x隶属于模糊子集A的程度进行大量的调查 。n个人中有k个人认为x属于A，在n足够大时， 趋近于一个稳定的数值，就可以得到x对于A的隶属度，即模式识别导论武汉大学遥感信息工程学院 马洪超参看p108例子6比较：概率统计中的频率和模糊统计中的频率是不同 的：n次试验，A发生的频率：发生频率稳定的数值为A事件出现的概率n次试验，隶属频率稳定的数值为x隶属于A的隶属度模式识别导论武汉大学遥感信息工程学院 马洪超例子中的模糊统计试验，每次得到的结果实际上是将论域U分为互不相交的两部分。这种试验仅有两种可能情况的模糊统计为两相模糊统计试验。2. 二元对比排序法有比较才有鉴

11、别，通过相互对比更加能认识对象的本质属性。（1)择优比较法这一方法的基本思想是将两两对比的大量模糊统计结果，按频 数多少择优，参看p111例子7 模式识别导论武汉大学遥感信息工程学院 马洪超P111表6-4-5的产生：若ui与uj相对比，ui优于uj，则在表中的i行j列处记录1次，若两者优劣程度同等，则在表中的i行j列和j行i列处各记0.5次，ui，uj代表颜色(2)相对比较法 二元比较级，是指对任一元素对（x、y），在x与y的二元对比中，x具有某特性的程度定为 y具有该特性的程度便是 例8，设T=（长子（x）、次子(y)、幼子（z）。现对T中各元素比较“谁最象父亲”这一特性。先建立二元比较级

12、，得 模式识别导论武汉大学遥感信息工程学院 马洪超其意义是，以第一式为例，如果长子像父亲的程度定为0.8，则次子像父亲的程度就应该定为0.5。故这种度量具有相对性 模式识别导论武汉大学遥感信息工程学院 马洪超组成一个矩阵，即“相比矩阵”： 将相比矩阵中的每一行最小值取出，设第i行的最小值为 再将 从大到小排列，获得模糊集，如这个例子中，长子最像，幼子次之，次子最不像模式识别导论武汉大学遥感信息工程学院 马洪超（3）对比平均法 这种方法的基本思想是对任一元素X，将它与所有其它元素的两两对比结果加以综合，以取平均值的方法或加权平均的方法计算出隶属度 模式识别导论武汉大学遥感信息工程学院 马洪超3.

13、逻辑推理法在所研究的对象中，往往有些具有特定规律，可以按规律去设计这些对象对于具有某种特性的模糊集的隶属函数。这种方法含有推理的成分，故谓之逻辑推理法 例易见A、B、C即三角形的三个内角。现要求给出“近似等腰三角形内角”这一模糊集的函数 由于等腰三角形的前提是两内角相等，故可将隶属函数设计为 模式识别导论武汉大学遥感信息工程学院 马洪超4. 专家评判法5. 采用常见的隶属函数的函数逼近法建立隶属函数的一些原则：由于模糊性的产生既有主观因素也有客观因素，因此建立隶属函数也收主观和客观因素的影响。不过应遵循下列原则：l虽有主观性，但不能随意l建立隶属函数之前，须对与待确定的模糊概念相关的客观因素进

14、行分析，获得可靠的数据l参与隶属函数建立的人员须具有将认知转化为数学表达的能力模式识别导论武汉大学遥感信息工程学院 马洪超l可根据具体问题的特点，同时试用几种建立隶属函数的方法分别建立隶属函数，然后选择一个更加合适的作为隶属函数l隶属函数建立后，还可以在使用中根据实际情况进行某些调整l对于清晰的情况，相应的隶属度取值只能是0和1，不能将清晰概念模糊化模式识别导论武汉大学遥感信息工程学院 马洪超模糊概率现实生活中的大量现象既有模糊性又有随机性。模糊概率是模糊数学与概率结合的产物，分模糊事件的概率、事件的模糊概率和模糊事件的模糊概率。我们仅讨论前两者。模糊事件及其概率 事件本身是模糊的。如“明天天

15、气很热的概率是多少”，天气很热本身是模糊事件。 定义：设 是随机试验E的样本空间， 上的任一模糊集合称为随机试验E的一个模糊事件模式识别导论武汉大学遥感信息工程学院 马洪超例 已知某批产品中的次品率为1%，先从中取100件。A表示“所取的产品几乎无次品”，B表示“所取产品大约有4个次品”，A和B的定义分别为： 模式识别导论武汉大学遥感信息工程学院 马洪超模式识别导论武汉大学遥感信息工程学院 马洪超模式识别导论武汉大学遥感信息工程学院 马洪超模式识别导论武汉大学遥感信息工程学院 马洪超按照定义可以推出有关模糊事件概率的一些重要性质，它们基本上是和普通概率的性质对应的，现介绍如下：模式识别导论武汉大学遥感信息工程学院 马洪超模式识别导论武汉大学遥感信息工程学院 马洪超模式识别导论武汉大学遥感信息工程学院 马洪超模式识别导论武汉大学遥感信息工程学院 马洪超模糊集理论在模式识别中的应用模糊数学以引入隶属函数为重要标志，它提出了研究对象对于某模糊子集的隶属程度问题，这也就为解决事物的归属问题提供了一个重要参量，自然也就为模式识别的理论与实践开辟了一条新径。最大隶属度原则择近原则参看教材模式识别导论武汉大学遥感信息工程学院 马洪超模糊聚类分析法 最大树法，参考教材P116119 ISODATA模糊聚类法设有限样本集 被分为c类， 10,任意确定初 始分划矩