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1、120042004 年年“TRULY信利杯信利杯”全国初中数学竞赛试题全国初中数学竞赛试题参考答案和评分标准参考答案和评分标准一、选择题（共一、选择题（共 5 5 小题，每小题小题，每小题 6 6 分，满分分，满分 3030 分分. 以下每以下每道小题均给出了代号为道小题均给出了代号为 A，B，C，D 的四个选项，其中有的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后请将正确选项的代号填入题后的括号里的括号里. 不填、多填或错填得零分）不填、多填或错填得零分）1. 已知实数，且满足，.ba ) 1(33) 1(2aa2) 1(3) 1(3bb则的值为
2、（ ）.baaabb（A）23 （B） （C） 232（D）13答答：选（B） a、b 是关于 x 的方程03) 1(312xx的两个根，整理此方程，得，0152 xx ，0425 ，.5ba1ab故 a、b 均为负数. 因此.232222 ababbaababbaabbaabab baaabb2. 若直角三角形的两条直角边长为 、 ，斜边长为 ，斜abc2边上的高为 ，则有 （ ）.h（A） （B） （C） 2hab hba111222111 hba（D）2222hba答答：选（C） ，0 ha0 hb ，；2hab 222222hhhba因此，结论（A） 、 （D）显然不正确.设斜边为 c
3、，则有，即有cbaabchhba21 21)(21，hba111因此，结论（B）也不正确.由化简整理后，得，abhba21 2122222111 hba因此结论（C）是正确的.3一条抛物线的顶点为（4，） ，且与 x 轴的cbxaxy211两个交点的横坐标为一正一负，则 a、b、c 中为正数的（ ）. （A）只有 （B）只有 （C）只有 abc（D）只有 和ab答答：选（A）由顶点为（4，） ，抛物线交 x 轴于两点，知 a0.11设抛物线与 x 轴的两个交点的横坐标为 ，即为方1x2x程02cbxax3的两个根.由题设，知，所以.021xx0ac0c根据对称轴 x=4，即有，知 b0 时，方
4、程无实根；0323xxx032 xx（2）当 xAD)，BC=CD=12, ，若90D45ABEAE=10，则 CE 的长为 .答答：4 或 6解：解：延长 DA 至 M，使 BMBE. 过 B 作 BGAM，G 为垂足.易知四边形 BCDG 为正方形， 所以BC=BG. 又，GBMCBE RtBECRtBMG. BM=BE，45ABMABEABEABM，AM=AE=10.设 CE=x，则 AG=，AD=，DE=.x10xx2)10(12x12在 RtADE 中，222DEADAE ，22)12()2(100xx即，024102xx解之，得，.41x62x故 CE 的长为 4 或 6.10实数
5、 x、y、z 满足 x+y+z=5，xy+yz+zx=3，则 z 的最大值是 .答：答：313（第 9 题图）7解：解： ，zyx535)5(3)(32zzzzyxzxy x、y 是关于 t 的一元二次方程035)5(22zztzt的两实根. ，即0)35(4)5(22zzz，.0131032zz0) 1)(133(zz ，当时，.313z31 yx313z故 z 的最大值为.313三、解答题（共三、解答题（共 4 4 题，每小题题，每小题 1515 分，满分分，满分 6060 分）分）11通过实验研究，专家们发现：初中学生听课的注意力指标数是随着老师讲课时间的变化而变化的，讲课开始时，学生的
6、兴趣激增，中间有一段时间，学生的兴趣保持平稳的状态，随后开始分散. 学生注意力指标数 y 随时间 x（分钟）变化的函数图象如图所示（y 越大表示学生注意力越集中）. 当时，图象是抛物线的一部分，当100 x和时，图象是线段.2010 x4020 x（1）当时，求注意力指标数 y 与时间 x 的函数关系100 x式；8（2）一道数学竞赛题需要讲解 24 分钟. 问老师能否经过适当安排，使学生在听这道题时，注意力的指标数都不低于 36.解：解：（1）当时，设抛物线的函数关系式为100 x，由于它的图象经过点（0，20） ， （5，39） ，cbxaxy2（10，48） ，所以.4810100,39
7、525,20cbacbac解得，.51a524b20c所以，. 20524 512xxy100 x（5 分）（2）当时，.4020 x7657xy所以，当时，令 y=36，得，100 x20524 51362xx解得 x=4，（舍去） ；20x当时，令 y=36，得，解得4020 x765736x. 74287200x（10 分）因为，所以，老师可以经过适当的安排，在24742447428学生注意力指标数不低于 36 时，讲授完这道竞赛题. （15 分）（第 11（A）题图）912已知 a，b 是实数，关于 x，y 的方程组baxybxaxxy,23有整数解，求 a，b 满足的关系式.),(y
8、x解解：将代入，消去 a、b，得baxybxaxxy23， xyxy3（5 分）.3) 1(xyx若 x+1=0，即，则上式左边为 0，右边为不可能. 所1x1以 x+10，于是.111123xxxxxy因为 x、y 都是整数，所以，即或0，进而11x2xxy=8 或0. 故y或 82 yx 00 yx（10 分）当时，代入得，； 82 yxbaxy082ba当时，代入得，. 00 yxbaxy0b综上所述，a、b 满足关系式是，或者，a 是082ba0b任意实数.（15 分）1013D 是ABC 的边 AB 上的一点，使得 AB=3AD，P 是ABC 外接圆上一点，使得，求ACBADP的值.
9、PDPB解：解：连结 AP，则，ADPACBAPB所以，APBADP， （5 分），ADAP APAB所以，223ADADABAP， （10 分）ADAP3所以. （15 分）3ADAP PDPB14已知，且，求的0a0b0cacbacb242acb42最小值. 解解：令，由，cbxaxy20a0b0c判别式，所以这个二次函数的042acb图象是一条开口向下的抛物线，且与 x 轴有两个不同的交点，因为)0 ,(1xA)0 ,(2xB，不妨设，则，对称轴，于021acxx21xx 210xx02abx是， caacbb aacbbx24 24221（5 分）所以， aacb aacbbcabac 24 24 44222（第 13（A）题图）（第 14（A）题图）11（10 分）故，442 acb当，b=0，c=1 时，等号成立.1a所以，的最小值为 4. acb42（15 分）
