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1、第9章 平面问题的有限单元法9.1 有限单元法的计算步骤弹性力学平面问题的有限单元法包括五个主要步骤：1、所分析问题的数学建模; 2、离散化; 3、单元分析; 4、整体分析与求解; 5、结果分析.9.2 平面问题的常应变(三角形)单元有限单元法的基础是用所谓有限个单元的集合体 来代替原来的连续体，因而必须将连续体简化为由有 限个单元组成的离散体。对于平面问题，最简单，因 而最常用的单元是三角形单元。因平面问题的变形主 要为平面变形，故平面上所有的节点都可视为平面铰 ，即每个节点有两个自由度。单元与单元在节点处用 铰相连，作用在连续体荷载也移置到节点上，成为节 点荷载。如节点位移或其某一分量可以
2、不计之处，就 在该节点上安置一个铰支座或相应的连杆支座。9.2 平面问题的常应变(三角形)单元(1)位移函数如果弹性体的位移分量是坐标的已知函数，则可用几何 方程求应变分量，再从物理方程求应力分量。对一个连续 体，内部各点的位移变化情况很难用一个简单函数来描绘 。有限单元法的基本原理是分块近似，即将弹性体划分成 若干细小网格，在每一个单元范围内，内部各点的位移变 化情况可近似地用简单函数来描绘。对每个单元，可以假 定一个简单函数，用它近似表示该单元的位移。这个函数 称为位移函数，或称为位移模式、位移模型、位移场。对于平面问题，单元位移函数可以用多项式表示，多项式中包含的项数越多，就越接近实际的
3、位移分布，越精确 。但选取多少项数，要受单元型式的限制。9.2 平面问题的常应变(三角形)单元三节点三角形单元将单元内部任一点的位移设定为坐 标的线性函数，该位移模式很简单。其 中 为广义坐标或待定系数，可据 节点i、j、m的位移值和坐标值求出。位移函数写成矩阵形式为：六个节点位移只能确定六个多项式的系数，所 以平面问题的3节点三角形单元的位移函数如下:9.2 平面问题的常应变(三角形)单元最终确定六个待定系数:其中:为2A第1行各个元素的 代数余子式.9.2 平面问题的常应变(三角形)单元令 （下标i，j，m轮换）简写为:I是单位矩阵， N称为形函数矩阵; Ni只与单元节点坐标有关，称 为单
4、元的形状函数.9.2 平面问题的常应变(三角形)单元l据弹性力学几何方程得单元的应变分量l由于三节点三角形单元的位移函数为线性函数，则 单元的应变分量均为常量，故这类三角形单元称为 常应变单元（位移在单元内和边界上为线性变化， 应变为常量）9.2 平面问题的常应变(三角形)单元( 2) 形函数的特点及性质 1)形函数Ni为x、y坐标的函数，与位移函数有相同 的阶次。 2)形函数Ni在i节点处的值等于1，而在其他节点上 的值为0。 即3)单元内任一点的三个形函数之和恒等于1。4)形函数的值在01间变化。9.2 平面问题的常应变(三角形)单元(3)、收敛性分析选择单元位移函数时，应当保证有限元法解
5、答的 收敛性，即当网格逐渐加密时，有限元法的解答 应当收敛于问题的正确解答。因此，选用的位移 模式应当满足下列条件：(a)位移函数必须含单元常量应变。前已说明(b)单元必须能反映单元的刚体位移（即单元应变为0 时的位移）。前面位移函数改写为（注意：为0 ）显然，位移函数包含了单元的刚体位移（ 平动和转动）9.2 平面问题的常应变(三角形)单元 l(c)位移函数在单元内部必须连续位 移。因为线性函数，内部连续 .l(d)位移函数必须保证相邻单元在公 共边界处的位移协调（即在公共边 界上位移值相同）。如右图l 设公共边界直线方程为y=Ax+B， 代入位移函数可得：边界上位移为l显然，u,v仍为线性
6、函数，即公共边 界上位移连续协调。l综上所述，常应变三角形单元的位 移函数满足解的收敛性条件，称此 单元为协调单元.边界不协调产生裂缝y=Ax+B 边界不协调产生重迭9.2 平面问题的常应变(三角形)单元例题9-1：图示等腰三角形单元，求其形函数矩阵N 。形函数.2 平面问题的常应变(三角形)单元由三角形的面积:形函数矩阵：9.2 平面问题的常应变(三角形)单元l（4）应力、应变矩阵l将位移函数代入平面问题几何方程，得应变矩阵 ：9.2 平面问题的常应变(三角形)单元l应力矩阵:l由平面问题物理方程得：l 应变矩阵B反映了单元内任一点的应变与节 点位移间的关系。l 应力矩阵S反映了单元内任一点
7、的应力与节 点位移间的关系。l 显然，常应变三角形单元的应变矩阵B为常 量矩阵，说明在该单元上的应力和应变为常值。 由此可见，在相邻单元的边界处，应变及应力不 连续，有突变。9.3 单元刚度矩阵通过单元内部的应力与单元的节点力的关系，导出 用节点位移表示节点力的表达式。由应力推算节点力，需要利用平衡方程。第二章中 已经用虚功方程表示出平衡方程，即外力在虚位移上 所作的虚功等于应力在虚应变上作的虚应变功。yiFixmFxjFxiFymFy jFmj* ivi * mu* ju* iu* mv* jvmjys* xy* y* xgeexytxs(a)节点力、内部应力(b)虚位移、虚应变.3 单元刚
8、度矩阵考虑上图三角形单元的实际受力，节点力和内部 应力为：设任意虚位移，节点位移与内部应变为 :9.3 单元刚度矩阵令实际受力状态在虚设位移上作虚功，外力虚功 为:9.3 单元刚度矩阵计算内力虚功时，从弹性体中截取微小矩形，边 长为dx和dy，厚度为t，图示微小矩形的实际应力和 虚设变形。dydxdxdxdydydxdxdxdydydytdyxstdyxstdxystdxystdxxyttdxxyttdyxyttdyxytdx* xedy* ye* xyg* xyg(a)实际应力(b)虚设应变9.3 单元刚度矩阵微小矩形的内力虚功为整个弹性体的内力虚功为9.3 单元刚度矩阵根据虚功原理，得这就
9、是弹性平面问题的虚功方程，实质是外力与 应力之间的平衡方程。虚应变可以由节点虚位移求出：代入虚功方程（注意节点位移和节点虚位移为常 量）9.3 单元刚度矩阵将应力用节点位移表示出有令 实际上，单元刚度阵的一般格式可表示为则建立了单元的节点力与节点位移之间关系 ， 称为单元刚度矩阵。它是6X6矩阵，其元素表示该单 元的各节点沿坐标方向发生单位位移时引起的节点力， 它决定于该单元的形状、大小、方位和弹性常数，而与 单元的位置无关，即不随单元或坐标轴的平行移动而改 变。9.3 单元刚度矩阵由于D中元素是常量，而在线性位移模式下，B 中的元素也是常量，且因此可以进一步得出平面应力问题和平面应变问题中的
10、 单元刚度矩阵。9.3 常应变三角形单元的刚度矩阵l单元刚度矩阵 可记为分块矩阵形 式l将应变矩阵B的分块 阵代入单元刚度矩阵， 可得其子块计算式：l对于常应变三角形单元 ，考虑平面应力问题弹 性矩阵D，可得9.4 单元刚度矩阵的物理意义及其性质上述推导单元刚度矩阵的过程可归纳为单元刚阵K的物理意义是单元受节点力作用后抗变 形的能力。其元素 的意义为：当第j个自由度发 生单位位移，而其他自由度的位移为0时，在第i个自 由度上所施加的力。若按节点来说明，则刚阵中每个 子块 表示：当节点j处发生单位位移，而其他节 点固定时，在节点i上所施加的力。l以杆单元为例：9.4 单元刚度矩阵的物理意义及其性
11、质(1) 考虑单元左端发生单位位移，而右端固定 这时，有 ，代入上式，有：F1u1=1u2=0单元刚度矩阵的对角线元素kii表示要使单元的第i个节点 产生单位位移，而其他节点位移为0时，需在节点i上所施加 的力。 (2) 考虑单元左端固定，而右端发生单位位移 这时，有 ，代入上式，有：单元刚度矩阵的非对角线元素kij表示要使单元的第j个节点 产生单位位移，而其他节点位移为0时，需在节点i上所施加 的力。F29.4 单元刚度矩阵的物理意义及其性质单元刚度矩阵的物理意义：将节点力列矩阵 与节点位移列矩阵 均 展开成(6X1)阶列矩阵，单元刚度矩阵相应地展开成 (6X6)阶方阵：元素K的脚码，标有“
12、-”的表示水平方向，没有标“ -”的表示垂直方向。9.4 单元刚度矩阵的物理意义及其性质单元刚度矩阵的物理意义：单元刚度矩阵的每一个元素都有明显的物理意义。表示节点s(s=i,j,m)在水平方向、垂 直方向产生单位位移时，在节点r(r=i,j,m)上分别所 要施加的水平节点力和垂直节点力的大小。例如 表示节点j在垂直方向产生单位位移时，在节点i所需 要施加的水平节点力的大小。9.4 单元刚度矩阵的物理意义及其性质l1）单元刚度矩阵是对称阵，(只要证明 )l2）单元刚阵主对角线元素恒为正值；因为主对角元 素 表示力的方向和位移方向一致，故功总为正值 。l3）单元刚阵是奇异阵，即|K|=0，这是因
13、为计算单元 刚阵时没有对单元的节点加以约束，虽然，单元处于 平衡状态，但容许单元产生刚体位移，故从单元刚度 平衡方程不可能得到唯一位移解, ，只能得到唯一的节点力解。l4）单元刚阵所有奇数行的对应元素之和为零，所有 偶数行的对应元素之和也为零。由此可见，单元刚阵 各列元素的总和为零。由对称性可知，各行元素的总 和也为零。例题9-2：求下图所示单元的刚度矩阵1、求B2、求D3、求S4、求9.4 单元刚度矩阵的物理意义及其性质l几点说明：l1）单元刚度方程是满足节点力平衡条件而建立的 ，即有限元方程是一组节点力平衡方程组。l2）单元内任一点位置的平衡条件往往不满足，即 微分平衡方程可能不满足。对于
14、非线性单元，位 移函数常不满足以位移为未知量的平衡方程，对 线性单元，因位移函数为线性的，应变、应力为 常量，可以满足单元内平衡。l3）单元之间的平衡条件一般得不到满足，线性单 元的应力为常量，单元间应力有突变，明显不满 足平衡条件.9.5 平面问题的矩形单元(1) 位移函数取无量纲坐标，得矩阵表示利用节点位移，可待定系数l(1,1)xyj(1,-1)m(-1,1)i(-1,-1)矩形单元是平面问题常用的一种单元，尤其是边界 比较规则的平面结构，如图2ax2b的4节点8自由度矩形 单元。9.5 平面问题的矩形单元l代入系数至位移函数，并整理成位移插值函数lNi为形函数，仍具有前述的形函数的基本
15、性质记记为矩阵形式，I为单位矩阵,l可以证明该位移函数满足收敛性条件，单元为 协调元。9.5 平面问题的矩形单元 应变矩阵应变矩阵B的元素是x，y的函数，所以，矩形单元中 的应变不是常量，而是随x或y线性变化的，显然，应 力也是随x或y线性变化的。该较常应变单元有更高的 计算精度。在总体坐标系下的应变矩阵：9.5 矩形单元的刚度矩阵l将刚阵记为分块形式l其子块的计算为9.6 六节点三角形单元l(1) 面积坐标l称为p点的面积坐标，显然三个面积坐标不完全独 立，有如下关系:l 实际为三角形 的高与 高的比，即平行jm 线的直线上的所有点有相同的 。同时，易得 ijmp9.6 六节点三角形单元l 将三角形顶点ijm坐标与p点坐标代入面积坐标，则 得面积坐标与直角坐标xoy的关系式l比较 与常应变三角形单元的形函数 可知，两 者相同9.6 六节点三角形单元如图六节点12自由度三角形单元 (2) 位移函数单元内任意一点的位移位移函 数用6个节点位移与相应的形函 数来表示i(1,0,0 )j(0,1,0 )m(0,0,1 )1(1/2,1/2,0 )2(0,1/2,/2)3(1/2,0,1/2 )9.6 六节点三角形单元l应变矩阵l l从上可知：位移为面积坐标或直角坐标的二次函数，应变或
