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1、第10章 弯曲应力第10章 弯曲应力10.1 纯弯曲纯弯曲: 只有M 而无FQ 的平面弯曲.横力弯曲: 既有M 又有FQ 的平面弯 曲.FFABaaF (+) (-)FQ图-FPa (+)M图1 纯弯曲和横力弯曲(1) 横向直线仍然保持为直线,绕某轴转动,仍然与纵向线垂直.(2) 纵向线弯曲成弧线并有伸缩,只有一层纤维不发生伸缩.中性层: 纵向纤维不发生伸缩的面.中性轴: 中性层与横截面的交线.平面假设: 纵向纤维间无正应力假设:中性轴 中性层2 纯弯曲时的现象MM3 假设10.2 纯弯曲时的正应力1 变形几何关系2 物理关系p = Ebbaadxd y xMMy原长 bb = dx =d 变
2、形后 aa =(+y)dMzCxy3 静力学关系MzdAyCxyz(1) 确定中性轴的位置结论:中性轴通过形心,与形心轴重合 .静矩MzdAyCxyz(2) 确定形心主轴结论:y z轴为形心主轴惯性积MzdAyCxyz(3) 导出弯曲正应力公式惯性矩解出:MzdAyCxyz10.3 横力弯曲时的正应力横截面上的最大正应力全梁的最大正应力(1) 等直梁令- 抗弯截面模量矩形:圆形:空心圆:(3) 无水平对称轴的梁弯曲强度条件最大弯曲拉应力最大弯曲压应力(2) 变截面梁:综合考虑M和 确定maxy2y2y1yz拉压抗拉压强度不等的材料Mmax=Fa =12kNm2 选择截面尺寸解出h = 2b =
3、 244mm由强度条件与已知:F =10kN, a =1.2m, =10MPa. h:b =2. 求:设计梁的截面尺寸选用125250mm2的矩形截面解:1 作弯曲图M 图PaPa(+)(- )(- )FF3FABEChbaaaaD已知:F1 = 8kN,F2=20kN,a=0.6m Iz=5.33x106mm4,t=60MPa , c=150MPa. 求:校核梁的强度. 解:1 作弯矩图FA=22kN FB=6kNMA=-4.8kNm MD=3.6kNm2 校核强度F1F2AC aaaDFAy2=40y1=80zyBFB(-)(+)M 图3.64.8小锥度变截面梁如图所示.已知左端直径为d,
4、 右端直径为2d.求最大正应力及所在截面的位 置.d2dlA BFd2dlx解: x处梁的直径为抗弯截面模量为d2dlA BFd2dlx截面上的最大正应力令得在固定端矩形截面梁b=150mm,h=300mm.承受弯矩 M=18kNm.梁材料的拉伸弹性模量E1=9GPa,压缩弹性 模量E2=23GPa.(1)试确定梁的中性轴位置.(2) 其梁中最大拉应力和最大压应力.bh解: (1)确定梁的中性轴位置.平面假设成立yzh1h212确定中性轴的位置 (N=0)bhyzh1h212(2) 其梁中最大拉应力和最大压应力.截面上正应力组成弯矩,确定曲率半径代入(a)从圆木中锯成的矩形截面梁，受力及尺寸如
5、图所示。 试求下列两种情形下h与b的比值： 1横截面上的最大正应力尽可能小； 2曲率半径尽可能大。（正应力尽可能小）解：1 正应力尽可能小，得 （曲率半径尽可能大）2.曲率半径尽可能大*非对称梁的弯曲非对称梁:无纵向对称面的梁1 对非对称梁y、z轴满足什么条件z轴为中性轴.对非对称梁和有纵向对称面 但载荷不作用在纵向对称面 的梁.讨论两个问题:2 弯矩应在什么平面内.假设:1非对称梁发生纯弯曲变形; 2 平面假设和纵向纤维互不挤压假设成立.正应力yyzzxc dAyyzzxcdA截面上的内力轴力对y的弯矩对z的弯矩当外力偶m作用于xy平面时, N=0,My=0, Mz=m=Mm M讨论:1 对
6、称截面,条件(c)自然满足. 2 非对称截面,总可以找到使Iyz=0的主惯性轴y、z, 使条件(c) 满足.3 若主惯性轴y、z,又是通过截面形心, y、z轴为 形心主惯性轴.形心主惯性轴与梁的轴线确定的平 面为形心主惯性平面.z轴为中性轴.必然有:结论: 1 非对称梁,只要外力偶作用在形心主惯性平面内, 梁就会发生平面弯曲,2 非对称梁在纯弯曲时发生平面弯曲的结论可以推广 到横力弯曲情况.只要赂去其扭转变形即可.10.4 弯曲剪应力 一 弯曲剪应力公式 两点假设: 1 FQ ;2 沿横截面宽度均布顶面zyFk“chb式中左侧右侧M+dM +dMdxxyzN1N2cdxdAy y1xyzN1N
7、2cdxdAy y1二 矩形截面的弯曲剪应力max=0yy1dy1zh/2h/2yb三 其它截面的最大剪应力四 型钢五 弯曲剪应力强度条件 21K环 形圆形工字形矩形截面系数 查附录代入已知:F l b h求:1 max=? 2 max:max = ? 解:1 作剪力图和弯曲图2 计算最大剪应力4 比值FAB l/2l/2C3 计算最大正应力l = 5hhb(-)(+)Q图(+)M图已知: 悬臂梁AB(组合梁),b=69mm,h=100mm,l=800mm,F=1kN;螺栓的许用剪应力=100MPa.求: 螺栓的直径.Fl解:横截面上的剪力中性层上的剪应力中性层上的剪力螺栓承受全部剪力Q,由螺
8、栓的剪切强度条件取试选择适用的工字钢型号解：计算支反力，然后作剪力图和弯矩图。根据最大弯矩选择工字钢型号。 由弯曲正应力强度条件，有查型钢表，选用22a工字钢， 其Wz=309cm3。简支梁AB如图示。l =2m,a=0.2m.梁上的载荷为q=10kN/m, F=200kN.材料的许用应力 , .qla ABFAFBaFF45kNm+-210kN210kN由剪力图FQmax=210kN。代入剪应力强度条件因此，要同时满足正应力和剪应力强度条件， 应选用型号为25b的工字钢应重新选择更大的截面。现以25b工字钢进行试算。校核梁的剪应力。 由表中查出， 22a工字钢 腹板厚度d=0.75cm腹板厚度d=1cm1 选择合理的形状和截面较大可以提高梁的弯曲强度.(P107 表7.1)2 适当布置载荷和支座的位置适当布置载荷和支座的位置 可以降低最大弯曲数值提高 梁的弯曲强度xM0(+)qxylABA10.5 提高梁弯曲强度的措施xM0qxyAB 0.2l0.2llxM0(+)qxylABAxM0qxyAB0.2l0.2ll3 等强度梁 等强度梁:梁上各横截面上的最 大应力都相等且等于许用应力.FAB l/2l/2Chxb(x)bmin 1. h =c ,b = b(x)2. b =c h =h(x)hminh(x)鱼腹梁阶梯轴作业10.610.910.1110.1410.15*10.19
