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1、重庆大学数理学院数 值 分 析第四讲主讲教师： 谭 宏1教学内容：曲线拟合的概念、直线拟合、多项式拟合、正则方程 组。2重点难点：拟合曲线的类型、正则方程组的建立、拟合多项式的 求解。3教学目标：了解曲线拟合的概念、对给出的一组数据点，能判断 其拟合曲线的类型、建立相应的正则方程组、求得拟合多 项式1、9 曲线拟合的最小二乘法在实际应 用中，常常需要给一组观测 数据设计一条连续曲线去描绘曲线 y=f(x) 的近似图象。由 于观测数据往往具有不准确性、数据量大、能够基本反映因 变量随自变量变化的形态等特点，实际应 用中并不刻意要求 曲线经过 所有的观测点，而是在符合数据分布特征的某类曲 线中，依
2、某种标准选择一条“最好”的曲线作为观测 数据的连 续模型。即曲线拟合问题。如果不是要求近似函数过所有的数据点,而是要求它反映原 函数整体的变化趋势,可得到更简单更适用的近似函数,这样的方 法称为数据拟合.数据拟合最常用的近似标准是最小二乘法则：1、直线拟合假设给定的数据点 的分布大致 成一直线，虽然我们不能要求所做的拟合直线严格地通过所有的数据点 ，但总希望它尽可能 地从所给数据点附近通过，即要求近似成立由于数据点数目通常远远大于待定系数的个数，因此，拟 合直线的构造实际上是求解超定方程（矛盾）方程组的代数问 题。设表示按拟合直线 y=a+bx 求得的近似值，它一般不同于观 测值两者之差称为残
3、差显然，残差的大小是衡量拟合好坏的重要标志。具体地说，构造拟合曲线可以采用下列三种准则之一：（1）使残差的最大绝对值为最小：（2）使残差的绝对值之和为最小：（3）使残差的平方和为最小：（1）、（2）两种由于含有绝值对运算不便于实际应用。基于准则（3）来选取拟合曲线的方法称为曲线拟合 的最小二乘法直线拟合问题可用数学语言描述如下：问题10 对于给定的数据点 求作一次式 y=a+bx，使总误差为最小。要使 Q 达到极值，参数a，b 应满足即由此可得：解线性方程组（42）既可得到a，b例：炼钢是个氧化脱碳的过程，钢液含碳量的多少直接影响冶炼时间的长短，下表是某平炉的生产记录，表中 i 是次数， 为全
4、部炉料熔化完毕时的钢液的含碳量， 为熔毕至出钢所许的冶炼时间。解：设所求的拟合直线为 y=a+bx由（42）式可得关于a，b的线性方程组解此线性方程组得：a=-60.9392，b=1.5138故拟合直线为：2、多项式拟合多项式拟合,是最流行的数据处理方法之一.它常用于把观 测数据(离散的数据)归纳总结为经验公式(连续的函数),以利于 进一步的推演分析或应用.问题11 对于给定的数据点 求作m（mm时，由代数学基本定理知必有从而故与正则方程组解不唯一矛盾，定理得证。有N个零点定理8 设 为正则方程（43）的解，则 必为问题11的解。证：任给一组值有利用正则方程组（43）可 以知道，该项应该为零因
5、而有所以，只有使得残差的平方和最小故必为问题11的解。多项式拟合的一般方法可归纳为：(1)根据具体问题，确定拟合多项式的次数n；（描点）(2)计算正则方程组的系数和右端项(3)写出正则方程组(4)解正则方程组,求出a0,a1,an；(5)写出拟合多项式Pn(x)例：试求一个多项式拟合下列数据。解：如图所示，它们大体分布在一条直线上，故考 虑用线性函数拟合这些数据。设所求的拟合直线为 y=a+bx由（42）式可得关于a，b的线性方程组解此方程组得：a=1.11，b=1.95故所求拟合直线为：例：试求一个多项式拟合下列数据。如图所示，它们大体分布在一条抛物线附近，故考 虑用二次多项式函数拟合这些数
6、据。解：由（43）式设所求的拟合多项式为 得其正则方程组为：解此方程组得：所以，所求拟合多项式为：3、观察数据的修匀提高拟合多项式的次数不一定能改善逼近的效果，实际 应用中常用不同的低次多项式去拟合不同的分段，这种方法 称为分段拟合对于给出的一组观察数据，不可避免地会产生随机干扰和误 差，分段拟合的曲线在两段曲线交接的地方，也可能产生不够光 滑的现象。因此，我们希望，根据数据分布的总趋势去剔除观察 数据中的偶然误差，这就是所谓数据修匀（或称数据平滑）考察相邻的五个节点假设节点是等距的，节点间距为h，记有-2-1012数据如下表设用二项式作拟合则其正则方程组为解出a，b，c，即可得出在节点处的五
7、点二次修匀公式设函数f(x)在区间a ，b上有定义，且已知在一组互异 点 上的函数 值 ，寻求一个简单的函数p(x)，使满足（1.1）并用p(x)近似代替f(x)，上述问题称为插值问题。插值问题小 结拉格朗日插值基函数拉格朗日插值公式：拉格朗日插值多项式存在并且唯一，并有估计式n阶差商可以递推定义为：n阶差商的性质：n阶差商关于节点是对称的差商与导数的关系差商表的建立与使用f(x0,x1,x2,x3)f(x1,x2,x3)f(x2,x3)f(x3)x3f(x0,x1,x2)f(x1,x2)f(x2)x2f(x0,x1)f(x1)x1f(x0)x0三阶差商二阶差商一阶差商f(x)x牛顿插值公式有限差分公式差分的定义差分表正则方程组问题11的解唯一(1)根据具体问题，确定拟合多项式的次数n；（描点）(2)计算正则方程组的系数和右端项(3)写出正规方程组(4)解正规方程组,求出a0,a1,an；(5)写出拟合多项式Pn(x)多项式拟合的一般方法可归纳为： 例：令写出的一次多项式插值，并估计误差。 解：记则以为插值节点的一次多项式 为因为所以故作业P54 6、11、12、13、16、17、31、36、37
