笔记本电脑的定价及选购数学建模

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1、1摘 要本文针对笔记本电脑的定价及选购这一问题，根据题目要求，选择 6 个品 牌每个品牌 6 种型号的电脑，通过查找数据分析相关资料，综合运用曲线拟合和 层次分析法等方法来建立模型，使问题得到很好的解决。问题（1）,选择的苹果、戴尔、惠普、东芝、联想（含 THINKPAD）和宏基 6 个品牌的笔记本，通过对它们进行样本采集、数据处理分析，发现目前市场主 流笔记本产品的价格定位规律为：利用品牌效应大幅度提高产品价格。利用 消费者注重产品功能而忽略硬件质量的误区，在产品功能上不断创新改进而在硬 件材料上进行相应删减，以获得更的的利润空间。在产品上市初期，往往将售 价定的较高，使其利润率达到 30%

2、左右，随着产品的更新换代，价格下降，当降 到一定程度时，厂商停产并同时开发生产利润率更高的新产品。问题（2）,对问题（1）中已选中的品牌电脑，查找其价格以及国内所占市 场份额的数据，用 Matlab 做出散点图并进行最小二乘曲线拟合，发现它们两者 之间呈负相关性，符合指数曲线拟合。随后分析广告投入对这种关系的影响从而 建立罗杰斯帝克模型，画出相应图形，得到不同品牌的笔记本广告投入在一定范 围内才起作用的，使产品的价格和市占率都提高了。问题（3）,就品牌、功能、价格等为准则，6 种品牌 36 种型号的笔记本电 脑为目标，针对不同的大学生消费群体的需求，用层次分析法进行求解，对于功 能敏感型的顾客

3、推荐购买宏基牌笔记本电脑，价格敏感型的顾客适合购买戴尔笔 记本电脑，品牌敏感型的顾客适合购买苹果牌笔记本电脑。最后，对该问题做了更深刻的探讨，对模型的优缺点进行评价。关键词：关键词：曲线拟合 灰色预测模型 罗捷斯蒂克模型 层次分析法2一、问题的提出随着笔记本电脑在校园里的普及，各大笔记本厂商都已将学生视为巨大的潜 在消费群体，在产品功能定位、价格定位上制定了相应的生产和销售策略。现在， 就此现象，请搜集数据，建立数学模型，回答以下问题： （1）从笔记本电脑品牌、外观、功能、质量等方面分析目前市场主流笔记 本产品的价格定位规律。这里主流产品以戴尔、惠普、东芝、联想（含 THINKPAD）苹果、宏

4、基等笔记本电脑现有市场主流型号为例。 （2）分析各品牌笔记本的价格策略与市场占有份额的关系，并指出广告投 入对这种关系的影响。 （3）按照不同的购买力，不同的功能要求，建立数学模型进行分析，为大 学生消费群体推荐你认为的理想笔记本电脑（品牌及型号）。二、问题的分析在当前大学生成为笔记本电脑巨大的潜在消费群体的环境下，生产商根据消 费人群的特点，在产品功能定位、价格定位上制定相应的生产销售策略是极为必 要的。 对于问题（1）,选取六种品牌的笔记本作为样本，通过查找随即得到他们当 中各个型号的笔记本的配置、价格及上市时间等参数，针对笔记本的配置功能, 确定评判标准。选取 CPU 主频率、内存大小、

5、硬盘大小、显存大小、屏幕大小等 5 个指标，通过对各个指标进行评分来评判配置功能的好坏（满分为 100）。然 后将配置功能所得分数相近的不同品牌笔记本进行价格比较，得到品牌效应对价 格定位的影响 ；再将同一品牌配置情况不同的笔记本进行价格比较，得出配置 功能对价格的影响。而质量方面，则通过对各个品牌及它们各自的型号笔记本的 材质进行分析得出结论。一般来说，品牌好的产品其外观都是挺好的。 对于问题（2） ，各品牌笔记本的价格策略与市场占有率的关系会因为市占率 的不同而不同。一般情况下为：市占率分为独占状态、寡占状态、分散状态、影 响状态和存在状态五个阶段，这五个阶段的价格策略是不同的。而本文所选

6、的 6 个品牌在中国笔记本市场的占有率大致处在影响状态阶段。通过 excel 和 matlab 对数据进行处理，发现此阶段的市占率与价格策略呈负相关关系，用 matlab 进 行曲线拟合，得到相应的价格策略与市占率曲线函数表达式。然后考虑广告投入 对这种关系的影响。因为根据经济学上的知识，广告投入与产生的效益满足一函 数关系，即罗杰斯蒂克模型。通过这个模型，求出广告投入对这种关系的影响。 对问题（3）,根据不同大学生的不同需求，推荐不同类型的笔记本电脑。首 先，将大学生消费人群分为品牌敏感型、功能敏感型、价格敏感型三种，从而建 立层次分析模型，为大学生消费群体推荐理想笔记本电脑。三、基本假设查

7、到的数据都具有真实性。 所选的品牌及型号具有代表性。 品牌效应与广告费的关系为连续函数，但品牌效应有最大限度。3人们一旦知道这种产品，就不会忘记。 电脑市场稳定、近期不会出现较大波动。四、定义符号说明（1）：表示第 种型号，第种指标（ =1,2,n；1,2,n）；ijaiji（2）（40 5 15 20 20）：表示 5 种指标对应的权重满分； ijaW（3）：表示第 类产品的得分；iCi（4）:表示每种类型电脑之间的分数差；CV （5）：表示第 类机型的第项指标的实际得分与第项指标的满分比值；ijijj（6）：表示广告投入为 m 时，产生的品牌效应；( )N m（7）：表示初始品牌效应；0N

8、（8）K：表示最大品牌效应； （9）：表示模型精度；0P （10）：表示相对误差。五、模型的分析、建立及求解 5.1.对于问题（1）的价格定位问题，首先考虑配置功能的影响，将配置功 能量化。考虑到=( CPU 主频率、内存大小、硬盘大小、显存大小、屏幕大小)ija这五种指标的边际成本有明显差异，所以有必要按照边际成本的大小进行权重的 分配。最终确定 CPU 主频率、内存、硬盘大小、显存、屏幕大小五种指标的权重 分别为： （40 5 15 20 20）i=1,2,n j=1,2,n.然后，根据权重标准对每种型号 ijaW的笔记本打分，最后记下总分 。将六种品牌中，分数相51ijiija jCW1

9、,2,.in近的型号放在一起，对其进行数据分析。 1）配置相近，品牌不同的电脑价位分析 为了研究品牌效应在笔记本电脑市场上的影响，我们将分数相差（ CFRPGFRPABS 材料。这也就解释了，为什么 E40 在六种型号电脑中性能最高而价格却很低，性能 稍逊的 T410 价格却那么高。关键还是两种型号所采用的材质不同。E40 采用的是5价格低廉、性能一般的 ABS 材料，而 T410 所采用的 CFRP 和镁合金等材料，其质 量要好很多，与此同时，产品的成本也随之上升。 4）考虑上市时间的影响 以联想 thinkpad 的 R400A52 型号为研究对象。它的上市时间为 2009 年 2 月 份

10、。通过市场调查，得到这款电脑从上市至今的售价情况，见下图：图 3 市场价位随时间变化关系图由图可见，R400A52 在上市之初，达到 7600 元的高位，而经过一年半的时 间，它的价格就下降了 29%。考虑到近一年来人民币通货膨胀的因素后，它是实 际售价下降了近 30%。值得注意的是，这款电脑在今年 4 月份就停产。通过市场 调查了解到 A52 的停产原因并不是质量有问题，而是像笔记本电脑这种快速更新 换代的 IT 产品随着时间的推移，其价格会不断降低。当价格降到生产厂商所规 定的利润率以下的时候，该产品就会停产。生产商转而生产利润空间更大的新产 品。例如，在 R400A52 停产的同时，th

11、inkpad 推出了利润空间更大的 E40 系列。 在性能上，E40 有过之而无不及。但在硬件配置上却明显不及 R400，见下表：表 2 型号R400A52E40 材料碳纤维强化材料工程塑料 蓝牙支持无 WiFi支持无这些硬件上的品质降低大幅度降低了 E40 成本。这使得 E40 在价格上保持 优势的同时又能保持巨大的利润空间。 通过以上分析可知笔记本生产商的定价策略为： 1)利用品牌效应大幅度提高产品附加值。 2)利用消费者注重产品功能而忽略硬件质量的误区，在产品功能上不断创新和改 善而在硬件材料上进行相应的删减，以获得更大的利润空间。 3)在产品上市初期，往往将售价定的较高，使其利润率达到

12、 30%左右。随着产品 的更新换代，价格的下降，当该产品的价格下降到一定程度的时候，厂商开始停 产该产品转而生产利润率更高的新产品。65.2.1.价格与市占率的关系模型 对于问题（2） ，查找了历年的各品牌产品市占率，如下：表 3 2006-2010 年各品牌笔记本市场占有率（%） 品牌联想东芝惠普戴尔宏基苹果 06 年32.14.112.410.17.40 07 年28.8710.711.270 08 年27.31011.515.56.30 09 年35.7813.713.76.10 10 年28.7151.193.60 均价（元）4000430045005000600010005通过 ma

13、tlab 将价格与市占率的关系用最小二乘拟合求出，具体如下： 1） 用 matlab 求解出价格与市占率的关系图，如下：图 4 价格与市占率关系图根据以上这幅图，假设占有率与价格的关系满足指数拟合函数关系，关系式 为： （1）bxyae为了求出参数、，分别两边取对数，得：ab（2）InyInabx可以把上式（2）看作一次线性函数，A=（）,使得, b Ina用解超定方程的方法求解，此时，6 2 min 1( , ) ( ) .ii iQa bf xIny7126111xxRx MM已知有 6 组独立观测值：，通过 matlab 求解得到参数1,12266(),(,),.(,)x yxyxy，,

14、所以模型为： 2.26361.3ae0.0009b 0.00091.3xye相应的函数图像如下图：图 5 价格与市占率关系图通过对图 4 与图 5 的观察，发现拟合效果比较好。从图中发现，随着笔记本单价 的上升，市场占有率逐渐下降，当（4000 6000）时，随着笔记本价格上涨，x 市场占有率下降很快，这部分人更看重价格，应为大众消费群体， （6000 x 10000）时，市场占有率下降很慢。这部分人更看重质量，外观，应为富有人群。 因为普通消费群体远远大于富有人群，所以商家应生产符合大众品味的适当价位， 比如 4000 元左右的，才能占有更多的市场份额。 5.2.2 罗杰斯蒂克模型 1）分析

15、广告投入对这种关系的影响8已知随着广告的投入，产品的品牌效应会越来越显著，但是达到一定程度， 品牌效应将趋于稳定状态，所以我们引入罗捷斯蒂克模型来说明广告投入对产品 品牌效应的影响关系。根据罗捷斯蒂克模型，我们得出如下表达式：（3）0( )( )( )(1)(0)dN mN mN mNNdmk由(3)式得 （4）0( ) 1 (1)mkN mkeN 其中：0, k N 为常数2）模型解的再分析与检验对（4）式求二阶导数可得（5）220( )( )2( )(1)(1) 1 (1)md N mN mN mkdmkeN 我们分析得到品牌效应与市占率的关系图如下：图 6 广告对市占率的影响广告费用 (

16、 )N mk市占率m，即无论品牌效应初值如何广告费均以为极限，并且lim( ) mN mk k是图形的水平渐近线。( )N mk( )N m9这说明 N(m)是单调递增的；又由( )( )0( ),( )(1)0,dN mN mN mkN mdmk当时（5）式得，当,当,即22( )( ),02kd N mN mdm时22( )( ),02kd N mN mdm时是 N(m)图形的拐点。这就是说，品牌效应提高率在最大，相( )2kN m ( )2kN m 应的广告费为，所以当投入的广告费在时，产品的市0ln(1)kmN0ln(1)kmN场占有份额高，且节约额外的广告费。建议商家把广告费定在时，0ln(1)kmN利润会较好。 5.2.3 灰色预测模型 1)预测各品牌笔记本（以宏基为例）的中国市场占有率走势表 4 06 年-10 年宏基笔