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1、141 引言 42 外力偶矩和扭矩43 薄壁圆筒的扭转44 圆轴扭转时的应力 强度计算45 圆轴扭转时的变形 刚度计算46 非圆截面杆扭转简介第四章 扭 转 *圆轴扭转超静定问题241 引 言 轴： 工程中以扭转为主要变形的构件。如：机器中的传动轴、石油钻机中的钻杆、汽车转向轴、搅拌器轴等。受力特点：在垂直于杆轴线的平面内作用有力偶.ABOmmO BA变形特点：任意横截面绕杆轴相对转动。（杆表面纵线螺旋线扭转变形）3扭转角(相对扭转角)（）：任意两横截面绕轴线转动而 发生的角位移。剪应变(切应变)（）：直角的改变量。mmO BA4工 程 实 例542 外力偶矩和扭矩一、外力偶矩 其中：P 功率
2、，千瓦（kW）n 转速，转/分（rpm）其中：P 功率，马力（PS）n 转速，转/分（rpm）1kW = 1000Nm/s = 1.36PS使杆件产生扭转变形的力偶矩。数值上等于杆件所受外 力对杆轴的力矩。传动轴的传递功率、转速与外力偶矩的关系：63 扭矩的符号规定：“T”的转向与截面外法线方向满足右手螺旋法则为正，反之为负。二、扭矩及扭矩图mmmTx1 扭矩：构件受扭时，横截面上的内力偶矩，记作“T”。2 截面法求扭矩74 扭矩图：表示扭矩沿轴线方向变化规律的图线。目 的扭矩变化规律；|T|max值及其截面位置 强度计算（危险截面）。xT8例1已知：一传动轴， n =300r/min，主动轮
3、输入 P1=500kW，从动轮输出 P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW，试绘制扭矩图。n A B C Dm2 m3 m1 m4解：计算外力偶矩9n A B C Dm2 m3 m1 m4112233求扭矩（扭矩按正方向设）求扭矩: 任意截面的扭矩,数值上等于截面一侧轴段所有外力偶 矩的代数和. 转向与这些外力偶矩的合力偶矩之转向相反.10绘制扭矩图BC段为危险截面。xTn A B C Dm2 m3 m1 m44.789.566.37 1143 薄壁圆筒的扭转 薄壁圆筒：壁厚（r0：为平均半径）一、实验：1.实验前：绘纵向线，圆周线；施加一对外力偶 m。122.实验后：圆周线的大
4、小、形状、间距不变； 纵向线变成斜直线，倾角相同。3.结论：各圆周线的间距均未改变横截面上无正应应力.圆周线的形状、大小均未改变，只是绕轴线作了相对转动周向无正应力纵向线倾斜横截面上有切应力.各纵向线均倾斜了同一微小角度 切应力均匀分布. 13acdb横截面上无正应力周向无正应力横截面上各点处，只产生垂直于半径的均匀分布的切应力 ，沿周向大小不变，方向与该截面的扭矩方向一致。微小矩形单元体如图所示：14二、薄壁圆筒切应力 与剪应变： A0：平均半径所作圆的面积。切应力剪应变mmO BA15三、切应力互等定理： 上式称为切应力互等定理。该定理表明：在单元体相互垂直的两个平面上，切应力必然成对出现
5、，且数值相等，两者都垂直于两平面的交线，其方向则共同指向或共同背离该交线。acddxb dyt z16四、剪切虎克定律： 单元体的四个侧面上只有切应力而无正应力作用，这种应力状态称为纯剪切应力状态。薄壁圆筒体扭转实验 17T=m剪切虎克定律：当切应力不超过材料的剪切比例极限时（ p) (在弹性范围内)，切应力与剪应变成正比关系。在一定范围内 18式中：G是材料的一个弹性常数，称为剪切弹性模量，因 无量纲，故G的量纲与 相同，不同材料的G值可通过实验确定，钢材的G值约为80GPa。剪切弹性模量、弹性模量和泊松比是表明材料弹性性质的三个常数。对各向同性材料，这三个弹性常数之间存在下列关系（推导详见
6、后面章节）：可见，在三个弹性常数中，只要知道任意两个，第三个量就可以推算出来。1944 圆轴扭转时的应力 强度计算圆轴横截面应力变形几何方面物理关系方面静力学方面1. 横截面变形后仍为平面；2. 轴向无伸缩；3. 纵向线变形后仍为平行。一、等直圆轴扭转实验观察：2021二、等直圆轴扭转时横截面上的应力：1. 变形几何关系：距圆心为 任一点处的与到圆心的距离成正比。 扭转角沿长度方向变化率(单位长度扭转角)。222. 物理关系：胡克定律：代入上式得：距圆心等距离处的切应力相等233. 静力学关系：OdA 令代入物理关系式 得：24横截面上距圆心为处任一点切应力计算公式。4. 公式讨论： 仅适用于
7、各向同性、线弹性材料，在小变形时的等圆截面直杆。 式中：T横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。 该点到圆心的距离。Ip极惯性矩，纯几何量，无物理意义。25单位：mm4，m4。 尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面杆，只是Ip值不同。对于实心圆截面：DdO26对于空心圆截面：dDOd27 应力分布（实心截面）（空心截面）工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料， 结构轻便，应用广泛。28 确定最大切应力：由知：当Wt 抗扭截面系数（抗扭截面模量），几何量，单位：mm3或m3。对于实心圆截面：对于空心圆截面：29三、等直圆杆扭转时斜截面上的应力低碳钢试件：沿横截面断开。铸铁试件：
8、沿与轴线约成45的螺旋线断开。因此还需要研究斜截面上的应力。301. 点M的应力单元体如图(b)：(a)M(b)(c)2. 斜截面上的应力；取分离体如图(d)：(d) x31(d) xnt转角规定：轴正向转至截面外法线逆时针：为“+”顺时针：为“”由平衡方程：解得： 32分析 ：当 = 0时，当 = 45时，当 = 45时，当 = 90时，45由此可见：圆轴扭转时，在横截面和纵截面上的切应力为最大值；在方向角 = 45的斜截面上作用有最大压应力和最大拉应力。根据这一结论，就可解释前述的破坏现象。 33四、圆轴扭转时的强度计算强度条件：对于等截面圆轴：( 称为许用切应力。)强度计算三方面： 校核
9、强度： 设计截面尺寸： 计算许可载荷：静载下: = ( 0.5 0.6 ) s ( 钢 ) = ( 0.8 1.0 ) s ( 铸铁 )34例2 功率为150kW，转速为15.4转/秒的电动机转子轴如图，许用切应力 =30M Pa, 试校核其强度。T m解：求扭矩及扭矩图计算并校核切应力强度此轴满足强度要求。D3 =135D2=75 D1=70ABCmmx3545 圆轴扭转时的变形 刚度计算一、扭转时的变形由公式知：长为 l一段等截面杆两截面间相对扭转角 为单位: 弧度(rad)36二、单位扭转角：或三、刚度条件或GIp反映了截面抵抗扭转变形的能力，称为截面的抗扭刚度。称为许用单位扭转角。 3
10、7刚度计算的三方面： 校核刚度： 设计截面尺寸： 计算许可载荷：有时，还可依据此条件进行选材。 根据机器要求、轴的工作条件确定。 可查手册。精密机器轴： = （ 0.15 0.30 ）/m一般传动轴： = （ 0.30 .0 ）/m精度不高的轴： = （ .0 . ）/m38例3长为 L=2m 的圆杆受均布力偶 m=20Nm/m 的作用，如图，若杆的内外径之比为 =0.8 ，G=80GPa ，许用切应力 =30MPa，试设计杆的外径；若=2/m ，试校核此杆的刚度，并求右端面转角。解：设计杆的外径3940NmxT代入数值得：D 0.0226m。 由扭转刚度条件校核刚度4040NmxT右端面转角
11、为：41例4 某传动轴设计要求转速n = 500 r / min，输入功率N1 = 500 马力， 输出功率分别 N2 = 200马力及 N3 = 300马力，已知：G=80GPa ， =70M Pa，f=1/m ，试确定：AB 段直径 d1和 BC 段直径 d2 ？若全轴选同一直径，应为多少？主动轮与从动轮如何安排合理？解：图示状态下,扭矩如图，由强度条件得：500400N1N3N2ACBTx7.024 4.21(kNm)42由刚度条件得：500400N1N3N2ACBT x7.0244.21(kNm)43综上 ：全轴选同一直径时44 轴上的绝对值最大的扭矩越小越合理，所以，1轮和2轮应该换
12、位。换位后,轴的扭矩如图所示,此时,轴的最大直径为 75mm。Tx 4.21(kNm)2.81445圆轴扭转的超静定问题解决扭转超静定问题的方法步骤：平衡方程；几何方程变形协调方程；补充方程：由几何方程和物理方程得；物理方程；解由平衡方程和补充方程组成的方程组。46例5长为 L=2m 的圆杆受均布力偶 m=20Nm/m 的作用，如图，若杆的内外径之比为 =0.8 ，外径 D=0.0226m ，G=80GPa，试求固端反力偶。 解：杆的受力图如图示，这是一次超静定问题。平衡方程为：47几何方程变形协调方程 综合物理方程与几何方程，得补充方程： 由平衡方程和补充方程得：另:此题可由对称性直接求得结
13、果。4846 非圆截面杆扭转简介非圆截面等直杆：平面假设不成立。即各截面发生翘曲成空间曲面。因此，由等直圆杆扭转时推出的应力、变形公式不适用，须由弹性力学方法求解。49一、自由扭转：杆件扭转时，横截面的翘曲不受限制，任意两相 邻截面的翘曲程度完全相同。二、约束扭转：杆件扭转时，横截面的翘曲受到限制，相邻截面的翘曲程度不同。三、矩形杆横截面上的切应力:hbh 1T max 注意！b1. 切应力分布如图：（角点、形心、长短边中点）(纵向纤维长度不变, 无 s , 只有 t )（产生 s 、t )502. 最大切应力及单位扭转角hbh 1T max 注意！bIt相当极惯性矩。 和 可查表求得。51例
14、8 一矩形截面等直钢杆，其横截面尺寸为：h = 100 mm， b=50mm，长度L=2m，杆的两端受扭转力偶 T=4000Nm 的作用 ，钢的G =80GPa ，=100M Pa，=1/m ，试校核此杆的强度和刚度。解：查表求 、校核强度52校核刚度综上,此杆满足强度和刚度要求。53一、切应力流的方向与扭矩的方向一致。二、开口薄壁截面杆在自由扭转时的切应力分布如图（a），厚度中点处，应力为零。39 薄壁杆件的自由扭转54三、闭口薄壁截面杆在自由扭转时的切应力分布如图（b），同一厚度处，应力均匀分布。55四、闭口薄壁截面杆自由扭转时的切应力计算，在（c）图上取单元体如图（d）。图（c）d1d xd2t1t2图（d）5657例8下
