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1、长沙一中 2012 届高三月考试卷（一）文科数学一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分1已知集合 M1，2，3，4，MN2，3，则集合 N 可以为 A1，2，3 B1，3，4 C1，2，4 D2，3，5 答案答案：D2在等比数列an中，已知 a24，a48，则 a6 A16 B16 或16 C32 D32 或32 答案答案：A3在复平面内，复数 i(i1)对应的点在 A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 答案答案：C4为得到函数的图象，只需将函数 ysin2x 的图象sin(2)3yxA向左平移个长度单位 B向右平移个长度单位6 6C向左平移个长度单位 D向右平
2、移个长度单位3 3答案答案：A5ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，若，则 a 等于3,3,120cbBA B2 C D632答案答案：C6命题“若 ab，则 a1b1”的否命题是 A若 ab，则 a1b1 B若 ab，则 a1b1 C若 ab，则 a1b1 D若 ab，则 a1b1 答案答案：C7在ABC 中，则ABC 的面积为(cos23 ,sin23 ),(2cos68 ,2sin68 )ABAC A B C D2 22 222 3答案答案：B8已知函数 f(x)log2(a2x)x2，若 f(x)存在零点，则实数 a 的取值范围是 A(，44，) B1，) C2，)
3、D4，) 答案答案：D二、填空题：本大题共 8 个小题，考生作答 7 小题，每小题 5 分，共 35 分 （一）选做题（请在第 9、10 两题中任选一题作答，如果全做，则按前一题计分） 9从 11，14(12)，149123，14916(1234)， 推广到第 n 个等式为 答案答案：12223242(1)n1n2(1)n1(1234n)10在平面几何里有射影定理：设ABC 的两边 ABAC，D 是 A 点在 BC 上的射影，则 AB2BDBC拓展到空间，在四面体 ABCD 中，DA面 ABC，点 O 是 A 在面 BCD 内 的射影，且 O 在面 BCD 内，类比平面三角形射影定理，ABC，
4、BOC，BDC 三者面 积之间关系为 答案答案：(SABC)2SBOCSBDC11函数 f(x)log2(1x2)的定义域为 答案答案：(1，1)12已知数列an的前 n 项和为 Sn，且 Sn2an2，则 a2 答案答案：413曲线 C：y3x22x 在 x1 处的切线与直线 axy10 互相平行，则实数 a 的值为 答案答案：814如图所示的程序框图输出的结果为 答案答案： 1 215设向量，若 ab，则 ab 1( ,cos ),(sin ,1),0,22xxxab答案答案：3 2 416在数学中“所有”一词，叫做全称量词，用符号“”表示；“存在”一词，叫做存在量词，用符号“”表示设23
5、8( )(2), ( )(1,2)2xxxf xxg xaax（1）若使 f(x0)m 成立，则实数 m 的取值范围是 02,)x（2）若使得 f(x1)g(x2)，则实数 a 的取值范围是 122,),(2,)xx 答案答案：（1）3，) （2）(1, 3)三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分17 （本小题满分 12 分） 已知等差数列an中，a311，前 9 项和 S9153 （1）求数列an的通项公式； （2）若从数列an中依次取出第 2，4，8，2n，项，按原来的顺序排成一个新的数 列，试求新数列的前 n 项和 An 解析解析：（1）数列an为等差数列，a311，S9153.，
6、解之得112119 891532adad153ad an5(n1)33n2 6 分（2）新数列的前 n 项和 24823(2482 )2nn nAaaaan12 分 2(12 )326(21)212n nnn18 （本小题满分 12 分）已知函数( )cos( 3sincos)222xxxf x （1）求函数 f(x)的最小正周期及单调递增区间；（2）若 f(x)1，求的值2cos(2 )3x解：（1） 2311( )cos( 3sincos)sin(1cos )sin().2222262xxxf xxxx分 所以函数 f(x)的最小正周期为 T2 4 分令，得22,262kxkkZ222,3
7、3kxkkZ函数 yf(x)的单调递增区间为 622,2,()33kkkZ分（2） ，11( )sin()1,sin()6262f xxx即122221cos(2 )cos2()2cos ()12sin ()133362xxxx 分19 （本小题满分 12 分） 已知向量 a(1，2)，b(cos ，sin )，设 matb(t 为实数)（1）若，求当|m|取最小值时实数 t 的值；4（2）若 ab，问：是否存在实数 t，使得向量 ab 和向量 m 的夹角为，若存在，请求4出 t；若不存在，请说明理由解：（1）因为223 3,(,),4222ba b则22223 21()523 25()22t
8、tttttmaba b所以当时，|m|取得最小值，最小值为 63 2 2t 2 2分由条件得，又因为，() ()cos4t tabab ab ab2()6abab22()5,() ()5tttttabababab则有且 t5，整理得 t25t50， 252,26 5tt 所以存在满足条件. 12 分53 5 2t 20 （本小题满分 13 分） 在奥运会垒球比赛前，C 国教练布置战术时， 要求击球手以与连结本垒及游击手的直线成15的方向把球击出，根据经验及测速仪的显示，通常情况下球速为游击手最大跑速的 4 倍，问按这样的布置，游击手能不能接着球？ 解析解析：设游击手能接着球，接球点为 B，而游
9、击手从点 A 跑出，本垒为 O 点(如图所示) 设从击出球到接着球的时间为 t，球速为 v，则15 ,4vAOBOBvt ABt在AOB 中，由正弦定理，得,sinsin15OBAB OAB62sinsin156244OAvtOABvtAB 而2( 62)84 384 1.741,sin1,OAB 即这样的OAB 不存在，因此，游击手不能接着球 13 分21 （本小题满分 13 分） 已知数列an的前 n 项和为 Sn，且(a1)Sna(an1)(a0，nN*) （1）求证数列an是等比数列，并求 an； （2）已知集合 Ax | x2a(a1)x，问是否存在实数 a，使得对于任意的 nN*都
10、有SnA？若存在，求出 a 的取值范围；若不存在，请说明理由 解析解析：（1）当 n1 时，(a1)S1a(a11)，a1a(a0)； 1 分 当 n2 时，(a1)Sna(an1)( a0)，(a1)Sn1a(an11)( a0)，(a1) ana(anan1)，变形得： 41(2),nnaa na分 数列是以 a1a 为首项，a 为公比的等比数列，anan 6 分 （2）当 a1 时，A1，Snn，只有 n1 时，SnA，a1 不合题意； 8 分 当 a1 时，Ax | 1xa，S2aa2a，S2A，a1 时不存在满足条件得实数 a； 10 分 当 0a1 时，Ax | ax1，11 分2
11、3(1) ,)11nn naaSaaaaaaaa因此对任意的 nN*，要使 SnA，只需011,0,211a aa a即即综上得实数 a 的取值范围是 13 分1(0, .222 （本小题满分 13 分）已知函数 f(x)lnx，21( )(0)2g xaxbx a（1）若 a2 时，函数 h(x)f(x)g(x)在其定义域上是增函数，求 b 的取值范围； （2）设函数 f(x)的图象 C1与函数 g(x)的图象 C2交于 P、Q，过线段 PQ 的中点 R 作 x 轴的 垂线分别交 C1、C2于点 M、N，问是否存在点 R，使 C1在 M 处的切线与 C2在 N 处的切线 平行？若存在，求出
12、R 的横坐标；若不存在，请说明理由 解析解析：（1）依题意：h(x)lnxx2bx 因为 h(x)在(0，)上是增函数，对 x(0，)恒成立， 2 分1( )20h xxbx则b 的取值范围为 4 分12 .0,bxxx 122 2.xx(,2 2.（2）设点 P、Q 的坐标是(x1，y1)，(x2，y2)，且 0x1x2.则点 M、N 的横坐标为12.2xxxC1在 M 处的切线斜率为C2在点 N 处的切线斜率为1 122.kxx12 2().a xxkbx假设 C1在点 M 处的切线与 C2在点 N 处的切线平行，则 k1k2，即1212()2.2a xxbxx则22 222121 212211 122()()()()()222xxa xxaab xxxbxxbxxx2 2121 1lnlnln,xyyxxx22211211212(1)2()
