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1、上次课回顾：1、度量梁变形的两个基本位移量：挠度和转角2、挠曲线近似微分方程3、挠曲线近似微分方程的积分4、积分常数确定位移边界条件 ，连续条件 ，光滑条件 。5、积分法求解梁位移的思路 ： 建立合适的坐标系； 求弯矩方程M(x) ； 建立近似微分方程： 用约束条件或连续条件，确定积分常数； 求指定截面的挠度和转角 积分求和5-3 按叠加原理计算梁的挠度和转角由于：1）小变形，轴向位移可忽略；简单载荷下梁的挠度和转角见附录IV，必须记住！因此，梁的挠度和转角与载荷成线性关系，可 用叠加原理求复杂载荷作用下梁的挠度和转角。2）线弹性范围工作。例5-5 利用叠加原理求图a所示弯曲刚度为EI的简支
2、梁的跨中挠度wC和两端截面的转角A，B。解：可将原荷载看成为图b所示关于跨中C截面的正 对称和反对称荷载的叠加。q BAC xyl/2 l(a)(b)+ lACBq/2 Al/2CBl/2q/2q/21）对正对称荷载，跨中截面C的挠度和两端的转角 分别为：2）对反对称荷载，跨中截面C的挠度等于零，并可 分别将AC段和CB段看成为l/2简支梁，即有：将相应的位移进行叠加，即得：（向下）（顺时针）（逆时针）例5-6 利用叠加原理求图示弯曲刚度为EI的悬臂梁 自由端B截面的挠度和转角。解：原荷载可看成为图a和b两种荷载的叠加，对应 的变形和相关量如图所示。FlllEIFABCDB1FC1wC1 wC
3、1C12l 直线wB1(a )D1B2wD1FD1BD直线wD1wB2(b )对图a，可得C截面的挠度和转角为：由位移关系可得此时B截面的挠度和转角为：（向下）（顺时针）B1FC1wC1 wC1C12l 直线wB1(a )对图b，可得D截面的挠度和转角为：同理可得此时B截面的挠度和转角为：（向下）（顺时针）D1B2wD1FD1BD直线wD1wB2(b )将相应的位移进行叠加，即得：（向下）（顺时针）例5-7 由叠加原理求图示弯曲刚度为EI的外伸梁C截 面的挠度和转角以及D截面的挠度。解：可将外伸梁看成是图a和b所示的简支梁和悬臂 梁的叠加。BC(b)F=qa AEI DBqaqa2/2(a)A
4、CaaaF=qa BDEI（1）对图a，其又可看成为图c和d所示荷载的组合。+AF=qa(c)qa2/2(d)图c中D截面的挠度和B截面的转角为：图d中D截面的挠度和B截面的转角为：将相应的位移进行叠加，即得：（向下）（顺时针）（2）对图b，C截面的挠度和转角分别为：所以：原外伸梁C端的挠度和转角也可按叠加原理求得，即：（向下）（顺时针）ACaaaF=qa BDEI B CqBawCq例5-8 利用叠加原理求图示弯曲刚度为EI的中间铰梁 铰接点B处的挠度和B点右截面的转角以及D截面的挠 度，其中：F=2qa。解：可在铰接点处将梁分成图a和b所示两部分，并 可求得铰接点处的一对作用力与反作用力为
5、：qA EIEIF B Ca/2DaaF/2wB直线BwDFw/2+F/2wBqBCAF(a)BCq(b)F/2BC图a和b中分别给出了两部分的变形情况。(c)并且图b又可分解为图c所示两种载荷的组合。（1）对图b，可得其B截面的挠度和转角为：进行相应的叠加可得：（向下）（逆时针）（2）图a可看成为右支座有一定竖直位移（位移量为 wB）的简支梁，此时D截面的挠度为：（向下）F/2wB直线BwDFw/2AF(a)例5-9 用叠加原理求图示弯曲刚度为EI的悬臂梁B截 面的挠度和转角。解：分布荷载可看成为无数微小集中荷载所组成， 求梁的位移也可利用叠加原理。任取一个微段dx。xdx lABq0yxq
6、(x)可将该微段上的均布力看成为作用在x处的一个 微小集中力，讨论此时自由端的位移，如图a所示。xxABq(x)dxdwB l(a)由附录IV可知该微力作用下x处梁的位移为：对图a所示任意截面x处取微段dx，则作用在微 段上的微集中荷载为：在x=0, l范围对q(x)dx的作用进行叠加，相当于 对上两式在前述范围内积分，即：其在B处产生的挠度和转角分别为：5-4 梁的刚度校核提高梁的刚度的措施1、梁的刚度校核保证梁的正常工作除要满足强度条件外，产生的 变形也不能太大，应满足刚度条件，即有：与为许可值，可查设计手册。其中，例5-10 图示简支梁，F=40kN, l=4.5m, =150MPa,
7、w/l=1/400, E=200GPa, 选择工字钢型号。 解：1、由强度条件选择工字 钢型号： 应选22a工字钢，Wz=309cm3, Iz=3400cm42、校核刚度选择22a工字钢。 2）减少梁的跨度或增加支承。2、提高刚度措施除外加载荷外，梁的位移w、还与梁的弯曲刚 度EI成反比，与跨长l的n次方成正比，因此，提高 刚度的措施有：1）升高EI。各种钢材E相差不大，主要提高I，在截面面积 A不变时，尽可能使面积分布远离中性轴。如工字形、箱形等截面。如下图所示结构：超静定梁:BABACB5-5 弯曲应变能或图示纯弯曲梁，弹性范围内的变形有：r(b) OM eM e(a)M elM e则应变
8、能为： 可见，满足线性关系。外力功：功能转换定律：或：全梁的弯曲应变能为： 需分段列出时，V分段求，然后求和。对横力弯曲：弯曲应变能+剪切应变能 对弯曲应变能，取dx段（见左 图）：dx很小，dM(x)为一阶无 穷小量，则dx段上的应变能为对细长梁，剪切应变能与弯曲应变能相比可忽略。M(x)+dM(x)M(x)F(x)Srddx例5-11 求图示弯曲刚度为EI的悬臂梁内储存的应 变能，并利用功能原理求A端的挠度wA。解：梁的弯矩方程为：梁内的应变能为：外载F所作的功为：由功能定理有：xwAB F A l即：最后可得A端的挠度为：练习题：图示悬臂梁，抗弯刚度EI为常数，求B和wB 。 xy作业：5-13，5-15，5-18(a)
