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1、第3章 扭 转本章的主要内容： 1. 扭转内力 2. 薄壁圆筒的扭转 3. 扭转的应力与强度条件 4. 扭转的变形与刚度条件 5. 扭转的超静定问题 6. 扭转的应变能长江江阴大桥缆索塔拉杆桥面工程扭转实例机器中的传动轴直升机传动轴受力特点：在垂直于杆轴的两平面内分别作用两个等值，反向的力偶。变形特点：横截面绕轴线发生相对转动，出现扭转变形。 以扭转变形为主的杆件 称为轴。 扭转角（）：任意两截面绕轴线转动而发生的角位移。 剪应变（）：直角的改变量。 主要讨论圆轴的强度和刚度问题。扭转内力直接计算1.外力偶矩二、外力偶矩 扭矩和扭矩图外力偶矩、扭矩和扭矩图由理论力学知，力偶在单位时间内所做的功
2、等于该力 偶的矩与相应角速度的乘积，即若功率的单位用千瓦，转速用n转/分:按输入功率和转速计算传动轴的外力偶矩 传递轴的传递功率、转速与外力偶矩的关系：其中：P 功率，千瓦（kW）n 转速，转/分（rpm）其中：P 功率，马力（PS）n 转速，转/分（rpm）1PS=735.5Nm/s , 1kW=1.36PS2. 横截面上的扭转内力扭矩的符号规定： 用矢量表示，采用右手螺旋法则： 扭矩矢量指离截面为 + ，指向截面为 -扭矩（T）绕轴线旋转的内力偶矩由截面法TmmIIMeTMeMe扭矩的符号规定：“T”的转向与截面外法线方向满足右手螺旋规则为正，反之为负。扭矩图：表示沿杆件轴线各横截面上扭矩
3、变化规律的图线。扭矩变化规律；|T|max值及其截面位置 强度计算（危险截面）。目 的 某传动轴受力如图所示，已知：MeA=350Nm， MeB=1000Nm， MeC=650Nm。作此轴的扭矩图。解: 求扭矩对AB段：对BC段：作扭矩图BC段为危险截面例5 已知：一传动轴， n =300r/min，主动轮输入 P1=500kW，从动轮输出 P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW，试绘制扭矩图。n A B C Dm2 m3 m1 m4解：计算外力偶矩n A B C Dm2 m3 m1 m4112233求扭矩（扭矩按正方向设）绘制扭矩图BC段为危险截面n A B C Dm2 m3
4、m1 m4xT （kN.m)4.789.566.37 基本变形几何法组合变形叠加法能量法：解决材料力学问题的另外一种途径和方法。应 力应 变变 形外 力物理关系 （胡克定律）静力学关系 （平衡方程）几何关系 （变形协调方程）内 力材料力学学习的基本思路壁厚（r0：为平均半径）一、实验：1.实验前：绘纵向线，圆周线；施加一对外力偶 m。薄壁圆筒的扭转2.实验后： 圆周线不变；纵向线变成螺旋线。3.结论：圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改变，只是绕轴线作了相对转动。各纵向线均倾斜了同一微小角度 。所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。acddxbdy无正应力横截面上各点处，只产生垂直于
5、半径的均匀分布的剪应力 ，沿周向大小不变，方向与该截面的扭矩方向一致。微小矩形单元体如图所示：4. 与 的关系：二、薄壁圆筒剪应力 大小： A0：平均半径所作圆的面积。三、切应力互等定理： 上式称为切应力互等定理。 该定理表明：在单元体相互垂直的两个平面上，切应力必 然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平面的交线， 其方向则共同指向或共同背离该交线。 单元体的四个侧面上只有切应力而无正应力作用，这种应 力状态称为纯剪切应力状态。acddxbdy四、剪切虎克定律： 当剪应力不超过材料的剪切比例极限时（ p），剪应力与剪应变成正比关系。式中：G是材料的一个弹性常数，称为剪切弹性模量，不同 材料的
6、G值可通过实验确定。剪切弹性模量、弹性模量和泊松比是表明材料弹性性质的三 个常数。对各向同性材料，这三个弹性常数之间存在下列关 系：等直圆杆横截面应力变形几何方面物理关系方面静力学方面一、等直圆杆扭转实验观察：1. 横截面变形后仍为平面2. 轴向无伸缩3. 纵向线变形后仍为平行等直圆杆扭转时的应力 强度条件二、等直圆杆扭转时横截面上的应力：1.变形几何关系：距圆心为 任一点处的与到圆心的距离成正比。扭转角沿长度方向变化率。2.物理关系：虎克定律：代入上式得：3.静力学关系：令代入物理关系式 得：OdA 横截面上距圆心为 处任一点剪应力计算公式。4. 公式讨论： 仅适用于各向同性、线弹性材料，在
7、小变形时的等圆截面直杆。 式中：T横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩得。 该点到圆心的距离。 尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面杆，只是Ip值不同。对于实心圆截面：对于空心圆截面： 应力分布（实心截面）（空心截面）工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料，重量轻，结构轻便，应用广泛。确定最大剪应力：由知：当WP 抗扭截面系数（抗扭截面模量），几何量，单位：mm3或m3。对于实心圆截面：对于空心圆截面：三、等直圆杆扭转时斜截面上的应力低碳钢试件： 沿横截面断开。铸铁试件： 沿与轴线约成45的 螺旋线断开。因此还需要研究斜截面上的应力。 xnt转角规定：轴正向转至截面外法线逆时针：
8、为“+”顺时针：为“ ”由平衡方程：45实心圆截面轴 和空心圆截面轴 的材料、扭转力偶 矩 Me 和长度 l 均相同，最大切应力也相等。若空心圆截面内、外径之比 =0.8， 试求空心圆截面的外径与实心圆截面直径之比及两轴的重量之比。验算薄壁圆筒横截面上切应力公式的精度。已知圆筒 的壁厚 和平均直径 d0。已知： P7.5kW, n=100r/min,最 大切应力不得超过40MPa,空心圆 轴的内外直径之比 = 0.5。二轴长度相同。求: 实心轴的直径d1 和空心轴的外直径D2；确定二轴的重量之比。解：首先由轴所传递的功率计算作用在轴上的扭矩实心轴空心轴长度相同的情形下，二轴的重量之比即为横截面
9、面积之比已知：P114kW,P2= P3=P1/2， n1=n2=120r/min,D1=36,D3=12; d1=70mm, d 2=50mm, d3=35mm. 求:各轴横截面上的最大切应力。P1=14kW, P2= P3= P1/2=7 kWn1=n2= 120r/min解： 1、计算各轴的功率与转速T1=1114 N.m T2=557 N.m T3=185.7 N.m2、计算各轴的扭矩33、计算各轴的横截面上的最大切应力四、圆轴扭转时的强度计算强度条件：对于等截面圆轴：( 称为许用剪应力。)强度计算三方面： 校核强度： 设计截面尺寸： 计算许可载荷：功率为150kW，转速为15.4转/
10、秒的电动机转子轴如图，许用剪应力 =30M Pa, 试校核其强度。T m解：求扭矩及扭矩图计算并校核剪应力强度此轴满足强度要求。D3 =135D2=75D1=70ABCmmx面积为A1的实心圆轴，两端受扭转力偶矩作用，其许可载 荷为 T1 。若将轴的面积增加为A2=4A1 ，则其许可载荷 T2 为：（A） 2 T1 （B）4 T1 （C）6 T1 （D）8 T1 答：（D）面积 A2=4A1 ，则直径D2=2D1 ，许可载荷与轴直径的立方成 正比。 一、扭转时的变形由公式知：长为 l 的轴两截面间相对扭转角 为等直圆杆在扭转时的变形 刚度条 件二、单位扭转角 ：或三、刚度条件或GIp反映了截面
11、抵抗扭转变形的能力，称为截面的抗扭刚度。 称为许用单位扭转角。刚度计算的三方面： 校核刚度： 设计截面尺寸： 计算许可载荷：有时，还可依据此条件进行选材。长为 L=2m 的圆杆受均布力偶 m=20Nm/m 的作用，如图，若杆的内外径之比为 =0.8 ，G=80GPa ，许用剪应力 =30MPa，试设计杆的外径；若=2/m ，试校核此杆的刚度，并求右端面转角。解：设计杆的外径m=20Nm/m2mD 0.0226m。 由扭转刚度条件校核刚度 右端面转角为：某传动轴设计要求转速n = 500 r / min，输入功率 N1 = 500 马力，输出功率分别 N2 = 200马力及N3 = 300马力，
12、已知：G=80GPa ， =70M Pa， =1/m ，试确定： AB 段直径 d1和 BC 段直径 d2 若全轴选同一直径，应为多少 主动轮与从动轮如何安排合理解：图示状态下,扭矩如图500400N1N3N2ACBTx7.024 4.21(kNm)由刚度条件得：由强度条件得：综上：全轴选同一直径时 轴上的绝对值最大的扭矩越小越合理，所以，1轮和2轮应该换位。换位后,轴的扭矩如图所示，此时，轴的最大直径才为 75mm。 Tx 4.21(kNm)2.814ABC2m1m1mD有一外径D=100mm，内径d=80mm的空心圆轴与一直径 d=80mm的实心圆轴用键联接(如图所示)。在A轮输入功率为P
13、1=300马力。在B、C轮处分别负载P2=150马力、 P3=150马力。若已知轴的转速为n=300转/分。材料的剪 切弹性模量为G=80GPa，轴的扭转许用剪应力 =40MPa，许用单位长度扭转角=1/m ，要求：1.校核轴的强度和刚度(不考虑键的影响) 2.三个轮的位置应如何设置才较为合理 3.经合理布置各轮位置后，求C截面相对A截面转角解： 计算外力偶 绘制扭矩图m1m2m32m1m1m+T (kNm) 刚度校核“AD”轴“ DC”轴故全轴刚度足够。 强度校核CD轴：CD轴强度足够。AD轴：故AD轴强度不够。m2=3.5kNmm1=7kNmm3=3.5kNm2m1m1m+ T (kNm)
14、 3.53.5 合理布置轮的位置，交换轮1和轮2的位置， 则轴的受力图和扭矩图如下图所示：m1m2m3 Tmax比原来小，这样布置显然更为合理，原来AD轴 强度不够，现再对它进行强度校核 求变形(扭转角)解决扭转超静定问题的方法步骤：平衡方程；几何方程变形协调方程；补充方程：由几何方程和物理方程得；物理方程；解由平衡方程和补充方程组成的方程组。等直圆杆的扭转超静定问题长为 L=2m 的圆杆受均布力偶 m=20Nm/m 的作用，如图，若杆的内外径之比为 =0.8 ，外径 D=0.0226m ，G=80GPa，试求固端反力偶。解：杆的受力图如图示，这是一次超静定问题。平衡方程为：m=20Nm/m2mmAmB 几何方程变形协调方程 综合物理方程与几何方程，得补充方程： 由平衡方程和补充方程得：另:此题可由对称性直接求得结果。扭矩T是x的函数时可否得到等直圆杆在扭转时的应变能acddxb dydz zxy单元体微功：应变比能：
