《55 二次型及其标准型(同济大学第五版)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《55 二次型及其标准型(同济大学第五版)（14页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、5 5 5 5 二次型及其标准形二次型及其标准形解析几何中，二次曲线的一般形式解析几何中，二次曲线的一般形式 a a a ax x x x2 2 2 2 + + + + bxybxybxybxy + + + + cycycycy2 2 2 2 = 0 = 0 = 0 = 0通过选择适当的的旋转变换通过选择适当的的旋转变换使得使得 mx mx mx mx 2 2 2 2 + + + + ny ny ny ny 2 2 2 2 = 0 = 0 = 0 = 0 定义：定义：含有含有 n n n n 个变量个变量 x x x x1 1 1 1, , , , x x x x2 2 2 2, , , ,
2、, , , , x x x xn n n n 的二次齐次函数的二次齐次函数称为称为二次型二次型cossin ,cossin ,cossin ,cossin ,sincos .sincos .sincos .sincos .xxyxxyxxyxxyyxyyxyyxyyxy= =+=+=+=+ 222222222222 12111222121112221211122212111222121213131,1121213131,1121213131,1121213131,1(,)(,)(,)(,)222222222222nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnf xxxa xa
3、 xa xf xxxa xa xa xf xxxa xa xa xf xxxa xa xa xa x xa x xaxxa x xa x xaxxa x xa x xaxxa x xa x xaxx=+=+=+=+222222222222 12111222121112221211122212111222121213131,1121213131,1121213131,1121213131,12 2 2 2 1111212111111212111111212111111212112 2 2 2 2121222222121222222121222222121222222 2 2 2 11221122
4、11221122,1,1,1,1222222222222(,)(,)(,)(,)nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn n n nijijijijijijijij i ji ji ji jf xxxa xa xa xf xxxa xa xa xf xxxa xa xa xf xxxa xa xa xa x xa x xaxxa x xa x xaxxa x xa x xaxxa x xa x xaxxa xa x xa x xa xa x xa x xa xa x xa x xa
5、 xa x xa x xa x xa xax xa x xa xax xa x xa xax xa x xa xax xa x xax xa xa x xax xa xa x xax xa xa x xax xa xa x xa x xa x xa x x= = = =+=+=+=+=+=+=+=+ + + += = = = 令令 a a a ai i i ij j j j = = = = a a a aj j j ji i i i，则，则 2 2 2 2 a a a aij ij ij ij x x x xi i i i x x x xj j j j = = = = a a a ai i i
6、 ij j j j x x x xi i i i x x x xj j j j + a+ a+ a+ aj j j ji i i i x x x xi i i i x x x xj j j j ，于是，于是2 2 2 2 121111212111211112121112111121211121111212112 2 2 2 2121222222121222222121222222121222222 2 2 2 1122112211221122(,)(,)(,)(,)nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnf xxxa xa x xa x
7、xf xxxa xa x xa x xf xxxa xa x xa x xf xxxa xa x xa x xa x xa xax xa x xa xax xa x xa xax xa x xa xax xa x xax xa xa x xax xa xa x xax xa xa x xax xa x=+=+=+=+ + + +11111221111112211111122111111221()()()()nnnnnnnnx a xa xa xx a xa xa xx a xa xa xx a xa xa x+22112222221122222211222222112222()()()()nn
8、nnnnnnx a xa xa xx a xa xa xx a xa xa xx a xa xa x+1122112211221122()()()()nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnx a xa xa xx a xa xa xx a xa xa xx a xa xa x+11112211111221111122111112212112222211222221122222112222 121212121122112211221122(,)(,)(,)(,)nnnnnnnnnnnnnnnn n n n nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnna xa xa xa xa xa xa
9、 xa xa xa xa xa x a xa xaxa xa xaxa xa xaxa xa xaxxxxxxxxxxxxxa xaxa xa xaxa xa xaxa xa xaxa x+ += = = = + 111211111211111211111211212222212222212222212222 1212121212121212(,)(,)(,)(,)n n n nn n n n n n n nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnaaaxaaaxaaaxaaax aaaxaaaxaaaxaaaxxxxxxxxxxxxxaaaxaaaxaaaxaaax = = = = T T
10、T Tx Axx Axx Axx Ax= = = =对称阵对称阵111211111211111211111211212222212222212222212222 121212121212121212121212(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)n n n nn n n n nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnaaaxaaaxaaaxaaax aaaxaaaxaaaxaaaxf xxxxxxf xxxxxxf xxxxxxf xxxxxxaaaxaaaxaaaxaaax = = = = 11121111211112111121212222122221222212
11、2212121212n n n nn n n nnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaA A A Aaaaaaaaaaaaa = = = = 对称阵对称阵 A A A A 的秩也叫做的秩也叫做二次型二次型 f f f f 的秩的秩 线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系. .对称阵的对称阵的 二次型二次型二次型二次型 的矩阵的矩阵对于二次型，寻找可逆的线性变换对于二次型，寻找可逆的线性变换使二次型只含平方项，即使二次型只含平方项，即f f f f = = = = k k k k1 1 1 1 y y y y1 1 1
12、12 2 2 2 + + + + k k k k2 2 2 2 y y y y2 2 2 22 2 2 2 + + + + + + + + k k k kn n n n y y y yn n n n2 2 2 2 定义：定义：只含平方项的二次型称为二次型的只含平方项的二次型称为二次型的标准形标准形（或法式）（或法式）. . . .如果标准形的系数如果标准形的系数 k k k k1 1 1 1 , , , , k k k k2 2 2 2 , , , , , , , , k k k kn n n n 只在只在 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 1 1 1 1三个数中取值三个数中取值, , , ,即即 f f f f = = = = k k k k1 1 1 1 y y y y1 1 1 12 2 2 2 + + + + + + + + k k k kp p p p y y y yp p p p2 2 2 2 k k k kp p p p+1+1+1+1 y y y yp p p p+1+1+1+12 2 2 2 k k k kr r r r y y y yr r r r2 2 2 2 则上式称为二次型的则上式称为二次型的规范形规范形说说明：这里只讨论实二次型，所求线性变换也限于实数范围明：这里只讨论实二次型，所求线性变换也限于实数范围. . . .1111
