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1、1高等数学下册空间解析几何与向量代数空间解析几何与向量代数多元函数函数微分学多元函数函数微分学多元函数函数积分学多元函数函数积分学无穷级数无穷级数上册上册：一元函数微积分，一元函数微积分， 特点：特点： 只含一个变量只含一个变量下册下册：多元函数微积分，多元函数微积分，特点：特点： 含多个变量含多个变量一元函数微积分和多元函数微积分一元函数微积分和多元函数微积分理论上相似理论上相似研究多元函数微积分研究多元函数微积分要借助于一元函数微积分方法和理论要借助于一元函数微积分方法和理论学习下册时要学习下册时要 温故而知新温故而知新为了研究多元微积分，为了研究多元微积分，需要解析几何做基础需要解析几何
2、做基础第八章 空间解析几何与向量代数第八章 空间解析几何与向量代数第八章空间解析几何与向量代数几何问题代数化几何问题代数化,把把代数的问题用几何方法直观表示代数的问题用几何方法直观表示平面直角坐标系平面直角坐标系平面上的点平面上的点P1-11-1 有序实数对(有序实数对(x x, ,y y) )平面曲线平面曲线L1-11-1( )yf x Oxy ),(yxP 或或() = 0,f x y一、空间直角坐标系一、空间直角坐标系1、空间直角坐标系的建立、空间直角坐标系的建立Oxy),(yxP Oxy),(yxP z规定：规定：三个坐标轴的正方向符合三个坐标轴的正方向符合右手系.右手系.一、空间直角
3、坐标系一、空间直角坐标系x横轴横轴y纵轴纵轴z竖轴竖轴 原点原点o右手系空间直角坐标系右手系空间直角坐标系三个坐标轴的正方向符合三个坐标轴的正方向符合右手系.右手系.1、空间直角坐标系的建立、空间直角坐标系的建立Oxy),(yxP zxyozxoy面面yoz面面zox面面空间直角坐标系共有空间直角坐标系共有八个卦限八个卦限空间直角坐标系的构成空间直角坐标系的构成2 xyzo2、空间中点的坐标、空间中点的坐标给定空间中一点给定空间中一点0P0P1P0z0z是个数，是个数， 其绝对值为其绝对值为01P P长度长度0P在在oxy面之上时，面之上时，0z为正为正0P在在oxy面之下时，面之下时，0z为
4、负为负0x0y 有序数组有序数组000(,)xyz 平面上的点平面上的点P1-11-1有序实数对有序实数对(x,y)由点得到坐标，由点得到坐标，反过来，也可由坐标得到点反过来，也可由坐标得到点横坐标横坐标, 纵坐标，纵坐标， 竖坐标.竖坐标.0x微软用户1微软用户2八个卦限八个卦限zyx0MxyNzM(1,2,3)点的坐标点的坐标.1. 空间直角坐标系空间直角坐标系空间直角坐标系空间直角坐标系特殊点的表示:特殊点的表示:OM xyzo( ,0,0)x(0, ,0)y(0,0, ) zA(0, , )y z( , , )x o z坐标轴上的点坐标轴上的点,P,Q,R坐标面上的点坐标面上的点,A,
5、B,C(0,0,0)( , , )x y z2、空间中点的坐标、空间中点的坐标原点原点( , ,0)x yBCPQRxyozxoy面面yoz面面zox面面2、空间中点的坐标、空间中点的坐标特殊点的表示:特殊点的表示:OP在在oxy面上面上:(0,0,0)原点原点P(x,y,0)P在在oxz面上面上: P(x,0,z)P在在x轴上轴上:P(x,0,0)P在在y轴上轴上:P(0,y,0)x0zyM点的对称点点的对称点 关于关于xoy面面:(x,y,z)(x,y,-z)关于关于x轴轴:(x,y,z)(x,-y,-z)Q0关于原点关于原点:(x,y,z)(-x,-y,-z)1. 空间直角坐标系空间直角
6、坐标系空间直角坐标系空间直角坐标系.M(x,y,z)xRP(x,y,-z)(x,-y,-z)(-x,-y,-z)向量向量(矢量矢量) ：既有大小又有方向的量.既有大小又有方向的量.向量的几何表示：向量的几何表示：以以1M为起点，为起点，2M为终点的有向线段为终点的有向线段.a21MM1、向量的概念、向量的概念或或二、 向量及其线性运算二、 向量及其线性运算两类量两类量:有向线段有向线段向量的方向.向量的方向.向量的大小向量的大小,1M2M a数量(标量):数量(标量): 可用一个数值来描述的量可用一个数值来描述的量;有向线段的长度表示有向线段的长度表示有向线段的方向表示有向线段的方向表示比如力
7、，速度比如力，速度比如身高比如身高向量的符号表示：向量的符号表示：21MM表示表示：幻灯片 7幻灯片 7微软用户1 微软用户1 讲两个问题，一个给点求得到坐标，二已知坐标得到点 微软用户, 2011-2-18 微软用户2 微软用户2 有了点和坐标的关系，可以讨论很多内容 微软用户, 2011-2-183相等向量：相等向量：大小相等且方向相同的向量.大小相等且方向相同的向量.ab模为1的向量.模为1的向量.零向量：零向量：模为0的向量.模为0的向量.0单位向量：单位向量：e ba 向量向量(矢量矢量) ：既有大小又有方向的量.既有大小又有方向的量.1、向量的概念、向量的概念向量的方向.向量的方向
8、.向量的大小向量的大小,有向线段的长度表示有向线段的长度表示有向线段的方向表示有向线段的方向表示自由向量 ：自由向量 ：1M2M a与起始点无关的向量与起始点无关的向量|a21MM| |向量的模：向量的模：向量的大小.向量的大小.或或空间两向量的夹角的概念：空间两向量的夹角的概念：, 0 a, 0 bab 向量向量a与向量与向量b 的夹角的夹角 ),(ba ),(ab 0() 1、向量的概念、向量的概念向量向量(矢量矢量) ：既有大小又有方向的量.既有大小又有方向的量.向量的方向.向量的方向.向量的大小向量的大小,有向线段的长度表示有向线段的长度表示有向线段的方向表示有向线段的方向表示1M2M
9、 a零向量与任何向量的夹角为零向量与任何向量的夹角为之间的任意值之间的任意值0 与与自由向量：自由向量：不考虑起点位置的向量.不考虑起点位置的向量.相等向量：相等向量：大小相等且方向相同的向量.大小相等且方向相同的向量.ab模为1的向量.模为1的向量.零向量：零向量：模为0的向量.模为0的向量.0单位向量：单位向量：e ba 平行向量：平行向量：ba 又称两向量又称两向量( , )a b0 或或 共线共线.向量共面向量共面设有设有k个向量，个向量，起点放在同一点时起点放在同一点时他们的终点和起点在一个平面上他们的终点和起点在一个平面上1 加法：加法：ab 三角形法则三角形法则有时也用平行四边形
10、法则表示向量的加法有时也用平行四边形法则表示向量的加法2、向量的线性运算、向量的线性运算（1） 向量的加减法） 向量的加减法二、 向量及其线性运算二、 向量及其线性运算baaabbb c仿照力学上求合力用平行四边形法则仿照力学上求合力用平行四边形法则1 加法：加法：cba abc（平行四边形法则）（平行四边形法则）特殊地：若特殊地：若ababc |c 分为同向和反向分为同向和反向bac |c （平行四边形法则有时也称为三角形法则）（平行四边形法则有时也称为三角形法则）2、向量的线性运算、向量的线性运算（1） 向量的加减法） 向量的加减法|ab |ab 二、 向量及其线性运算二、 向量及其线性运
11、算ba向量的加法符合下列运算规律：向量的加法符合下列运算规律：（1）交换律：（1）交换律：ab （2）结合律：（2）结合律：abc ).(cba 2、向量的线性运算、向量的线性运算1 加法：加法：cba.ba ()abcba abcababc ab bc （3）()aa 0. 4向量的加法符合下列运算规律：向量的加法符合下列运算规律：2 减法减法abab2、向量的线性运算、向量的线性运算1 加法：加法：cba ab c如果如果cba则则c abc abba ba ab2 减法减法ab ba ab2、向量的线性运算、向量的线性运算1 加法：加法：cba ()ab 三角形不等式：三角形不等式：ab
12、 ababba ab abab, 0)1( |a , 0)2( a , 0)3( a 与与a反向，反向，|a a a2a 21 3. 向量与数的乘法向量与数的乘法|a | |a 0 a a与与同向同向a 设设是一个数，是一个数， 与与的乘积的乘积规定为规定为a向量向量二、 向量及其线性运算二、 向量及其线性运算0a ，b a ，b .a 定理定理1： 设向量设向量则向量则向量平行于平行于的充分必要条件是：的充分必要条件是： 存在唯一的实数存在唯一的实数使使3. 向量与数的乘法向量与数的乘法, 0)1( |a , 0)2( a , 0)3( a 与与a反向，反向，|a |a | |a 0 a a
13、与与同向同向a 设设是一个数，是一个数， 与与的乘积的乘积规定为规定为a向量向量2、向量的线性运算、向量的线性运算0a ，b a ，b .a 定理定理1：设向量设向量则向量则向量平行于平行于的充分必要条件是：的充分必要条件是： 存在唯一的实数存在唯一的实数使使a 按照向量与数的乘积的规定，按照向量与数的乘积的规定， 1 |aa上式表明：上式表明：ae ae 为为设与非零向量设与非零向量同方向的单位向量同方向的单位向量一个与原向量同方向的单位向量.一个与原向量同方向的单位向量.一个非零向量除以它的模的结果是一个非零向量除以它的模的结果是向量的加法符合下列运算规律：向量的加法符合下列运算规律：2 减法：减法：ab abb b cba ba ab2、向量的线性运算、向量的线性运算1 加法：加法：cba ( 1)ab cab c如果如果cba 则则c abab 5数与向量的乘积符合下列运算规律：数与向量的乘积符合下列运算规律：（1）结合律：（1）结合律：()a a)( （2）分配律：（2）分配律：()a ()ab ()a aa ab 3. 向量与数的乘法向量与数的乘
