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1、2006 年数学三考研试题及其解答年数学三考研试题及其解答一 填空(1) 11lim_nnn n(2) 设函数的某领域内可导,且,则( )x2f x在 ,21f xfxef 2_f (3) 设函数可微,且,则在点(1,2)处的全微分( )f u 102f 224Zfxy1,2_dz(4) 设矩阵,E 为 2 阶单位矩阵,矩阵 E 满足 BA=B+2E,则21 12A_B (5) 设随机变量 X 与 Y 相互独立,且均服从区间上的均匀分布,则0,3max,1_PX Y (6) 设总体 X 的概率密度为为总体的简单随机样本,其样 121,.2x nf xexx xx 本方差,则 E=_2S2S二
2、选择题(7) 设函数具有二阶导数,且为自变量 x 在点处的增量, yf x 0,0,fxfxx0x分别为在点处对应的增量与微分,若,则 ( )ydy 与 f x0x0x (A)0dyv (B)0ydy (C)0ydy (D)0dyy (8) 设函数在 x=0 处连续,且,则 f x 220lim1 nf nn(A)存在 000ff 且(B)存在 010ff 且(C)存在 000ff 且(D)存在 010ff 且(9) 若级数收敛,则级数 ( )1n na(A) 收敛1n na(B)收敛 11n n na(C)收敛1 1nn na a (D)收敛112nnnaa (10) 设非齐次线性微分方程有
3、两个的解为任意常数,则该方程通解 xxyP yQ 12,yxyxC是:(A)收敛 12C yxyx(B)收敛 112yxC yxyx(C)收敛 12C yxyx(D)收敛 112yxC yxyx(11) 设均为可微函数,且,已知是在约束条件,f x yx y与,0yx y00,xy,f x y下的一个极值点,下列选项正确的是 ( ),0x y(A) 若0000,0,0xyfxyfxy则(B) 若0000,0,0xyfxyfxy则(C) 若0000,0,0xyfxyfxy则(D) 若0000,0,0xyfxyfxy则(12) 设,均为 n 维列向量,A 是矩阵,下列正确的是 ( )125,. m
4、 n(A) 若线性相关,则线性相关125,. 125,.AAA(B) 若相关,则无关125,. 125,.AAA(C) 若无关,则相关125,. 125,.AAA(D) 若无关,则无关125,. 125,.AAA(13) 设 A 为 3 阶矩阵,将 A 的第 2 行加到第 1 行得 B,再将 B 得第一列得-1 倍加到第 2 列得 C,记,则110010 001P (A) 1CP AP(B) 1CPAP(C) TCP AP(D) TCPAP(14) 设随机变量 X 服从正态分布,随机变量 Y 服从正态分布,且2 11,N 2 22,N ,则必有 ( )1211P XP Y(A)12(B) 12
5、(C) 12(D) 12三 解答题(15) 设,求1sin ,0,01arctanxyyyf x yxyxyx () lim, yg xf x y () 0lim xg x (16) 计算二重积分,其中 D 是由直线,所围成的平面区域.2Dyxydxdy,1,0yx yx(17) 证明:当.0, sin2cossin2cosabbbbbaaaa时(18) 在 XOY 坐标平面上,连续曲线 L 过点其上任意点处的切线低斜率与直1,0 ,M,0P x yx 线 OP 的斜率之差等于(0)axa常数() 求 L 的方程:() 当 L 与直线 y=ax 所围成平面图形的面积为时,确定 a 的值.8 3
6、(19) 求幂级数的收敛域及和函数. 12111 21nnnx nn ( )s x(20) 设 4 维向量组 1231,1,1,1,2,2,2,2,3,3,3,3,TTTaaa 问 a 为何值时线性相关?当线性相关时,求其一个极大线性44,4,4,4Ta 1234, 1234, 无关组,并将其余向量用该极大线性无关组线性表出. (21) 设 3 阶实对称矩阵 A 的各行元素之和均为 3,向量121,2, 1,0, 1,1TT 是线性方程组 Ax=0 的两个解.() 求 A 的特征值与特征向量() 求正交矩阵 Q 和对角矩阵 A,使得;TQ AQA()求 A 及,其中 E 为 3 阶单位矩阵.6
7、3()2AE(22) 设随机变量 X 的概率密度为为二维随机变量 1, 102 1,02,4 0,xxfxx 其它2,YXF X Y令的分布函数,求:,X Y() Y 的概率密度 Yfy() cov,X Y()1,42F(23) 设总体 X 的概率密度为,其中是未知参数,01 ,1,12 0,x f xx 其它为来自总体的随机样本,记 N 为样本值中小于 1 的个数,求:1201 ,.nXXX12,.nXXX() 的矩估计; () 的最大似然估计.题解题解 高数高数 一、填空题填空题：（1） 11lim1.nnn n【解解】， ( 1)111lnlim ( 1) ln1limlimeenn n
8、nnn nnnnn n而数列有界，所以.( 1)n1limln0 nn n1lim( 1) ln0nnn n故 . 1 01lime1nnn n（2）设函数在的某邻域内可导,且，则( )f x2x ef xfx 21f 322e .f 【解解】由题设知，两边对求导得 ef xfxx， 2e( )ef xf xfxfx两边再对求导得 ，又，x 23( )2e( )2ef xf xfxfx 21f故 . 323(2)2e2eff （3）设函数可微,且,则在点(1,2)处的全微分( )f u 102f 224zfxy1,2d4d2d .zxy【解解】方法一：因为，22 (1,2)(1,2)(4) 8
9、4zfxyxx，22 (1,2)(1,2)(4)22zfxyyy 所以 .1,21,21,2ddd4d2dzzzxyxyxy方法二：对微分得224zfxy，222222d(4)d(4)(4) 8 d2 dzfxyxyfxyx xy y故 .1,2d(0) 8d2d4d2dzfxyxy二、选择题：二、选择题：（7）设函数具有二阶导数，且，为自变量在点处的增量，( )yf x( )0,( )0fxfxxx0x分别为在点处对应的增量与微分，若，则dyy 与( )f x0x0x (A) . (B) .0dyy 0dyy (C) . (D) . d0yy d0yy 【解解】 由知，函数单调增加，曲线(
10、)0,( )0fxfx( )f x凹向，作函数的图形如右图所示，显然当( )yf x( )yf x时，0x ，故应选(). 00d()d()0yyfxxfxx （8）设函数在处连续，且，则 f x0x 220lim1 hf hh(A) 存在 (B) 存在 000ff 且 010ff 且(C) 存在 (D) 存在 C 000ff 且 010ff 且【解解】由知，.又因为在处连续，则 220lim1 hf hh 20lim0 hf h f x0x . 200(0)lim( )lim0 xhff xf h 令，则.2th 2200(0)1limlim(0) htf hf tffht所以存在，故本题选
11、（C）.(0)f（9）若级数收敛，则级数1n na(A) 收敛 . （B）收敛.1n na 1( 1)nn na(C) 收敛. (D) 收敛. 1 1nn na a 112nnnaa 【解解】 由收敛知收敛，所以级数收敛，故应选().1n na1 1n na 112nnnaa 或利用排除法：取，则可排除选项（） ， （） ；1( 1)nnan 取，则可排除选项（）.故（）项正确.1( 1)nnan （10）设非齐次线性微分方程有两个不同的解为任意常数，则该方程( )( )yP x yQ x12( ),( ),y xyx C的通解是（）. （）. 12( )( )C y xyx112( )( )
12、( )y xC y xyx（）. （） 12( )( )C y xyx112( )( )( )y xC y xyx【解解】由于是对应齐次线性微分方程的非零解，所以它的通解是 12( )( )y xyx( )0yP x y，故原方程的通解为 12( )( )YC y xyx，故应选().1112( )( )( )( )yy xYy xC y xyx（11）设均为可微函数，且，已知是在约束条件( , )( , )f x yx y与( , )0yx y00(,)xy( , )f x y下的一个极值点，下列选项正确的是( , )0x y(A) 若，则. 00(,)0xfxy00(,)0yfxy(B) 若，则. 00(,)0xfxy00(,)0yfxy(C) 若，则. 00(,)0xfxy00(,)0yfxy(D)
