[力学]第章-弯曲应力 物理课件

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1、4-4 梁横截面上的正应力梁的正应力强度条件纯弯曲横力弯曲FS xF F xMFa F alaF . 纯弯曲时梁横截面上的正应力几何方面表面变形情况(1)纵线弯成弧线 ，靠近顶面的 纵线缩短，而 靠近底面的纵 线则伸长； (2)横线仍为直线 ，并与变形后 的纵线保持正 交，只是横线 间相对转动。平面假设 梁在纯弯曲时，横截面仍保持为平面，且与梁 变形后的轴线仍保持正交，只是绕垂直于纵对 称轴的某一轴转动。即中性轴m a b manb nMe Me mmnnaa bb根据变形的连续性可知，梁弯曲时从其凹入 一侧的纵向线缩短区到其凸出一侧的纵向线伸长 区，中间必有一层纵向无长度改变的过渡层，称 为

2、中性层 。中性层中性轴中性层与横截面的交线就是中性轴。中性层中性轴Me Me r 中性层的曲率半径CABryO1O2B1dqdxMe Me mmnnaa bb物理方面单轴应力状态下的胡克定律不计挤压，即认为梁内各点均处于单轴应力状 态。当 5 ），纯弯曲时的正应力计算 公式用于横力弯曲情况，其结果仍足够精确。Fl 4lF例 图示简支梁由56a号工字钢制成，已知F=150kN 。试求危险截面上的最大正应力max 和同一横截面 上翼缘与腹板交界处a点处的正应力a 。B 5 m10 mAF CFA FB 12.521166560za375 kN.mM解：1、作弯矩图如上，2、查型钢表得56号工字钢3

3、、所求正应力为12.521166560za或根据正应力沿梁高的线性分布关系的12.521166560za 梁的正应力强度条件由于max处 =0或极小，并且不计由横向力引起的 挤压应力，因此梁的正应力强度条件可按单向应 力状态来建立：材料的许用弯曲正应力中性轴为横截面对称轴的等直梁拉、压强度不相等的铸铁等脆性材料制成的梁Ozyyt，maxyc，max为充分发挥材料的强度，最合理的设计为例 图示为由工字钢制成的楼板主梁的计算简图。 钢的许用弯曲正应力 =152 MPa 。试选择工字钢 的号码。ABFFF=75kN2.5m2.5m2.5m2.5m 10 mFB FA 解：1、支反力为作弯矩图如上。2

4、81 375单位： kNm2、根据强度条件确定截面尺寸与要求的Wz相差不到1%，可以选用。查型钢表得56b号工字钢的Wz比较接近要求值例 跨长 l= 2m 的铸铁梁受力如图，已知铸铁的许 用拉应力 t =30 MPa，许用压应力 c =90 MPa 。试根据截面最为合理的要求，确定T字形梁横截 面的尺寸d ，并校核梁的强度 。解：根据截面最为合理的要求1m2mBAF=80 kNCy1y2z60220yO280d即得截面对中性轴的惯性矩为y1y2z60220yO280d梁上的最大弯矩于是最大压应力为即梁满足强度要求 。y1y2z60220yO280dOc,maxt,maxz例 图示槽形截面铸铁梁

5、，已知：b = 2m，截面对 中性轴的惯性矩 Iz=5493104mm4， 铸铁的许用拉 应力 t =30 MPa，许用压应力 c =90 MPa。试 求梁的许可荷载F 。解：1、梁的支反力为zyC 形心86134204018012020BF Cbq=F/bDbbAFB FA 据此作出梁的弯矩图如下发生在截面C发生在截面BzyC 形心86134204018012020Fb/2Fb/4BF Cbq=F/bDbbA2、计算最大拉、压正应力注意到因此压应力强度条件由B截面控制，拉应力强度条 件则B、C截面都要考虑。zyC 形心86134204018012020Fb/2Fb/4而考虑截面B ：zyC

6、形心86134204018012020Fb/2Fb/4考虑截面C：因此梁的强度由截面B上的最大拉应力控制zyC 形心86134204018012020Fb/2Fb/44-5 梁横截面上的切应力梁的切应力强度条件、梁横截面上的切应力推导思路：近似方法不同于前面章节各种应力计算公式的分析过程分离体的平衡横截面上切应力 分布规律的假设横截面上弯曲切 应力的计算公式一、矩形截面梁mmnnq(x)F1 F2 xdxbhzyhmmnnnm mdxbzyOxFS(x)M(x )M(x)+d M(x)FS(x)+d FS(x)m nnmm nyzy BAA1 dAy1横截面上纵向力不平 衡意味着纵截面上有水平

7、 剪力，即有水平切应力分 布。面积AA1mm 对中性轴 z的静矩而横截面上纵向力的大小为mnmyy1ABA1B1bdxdAyzOx纵截面上水平剪力值为要确定与之对应的水平切应力 还需要补充条件。mnmyy1ABA1B1bdxdAyzOx矩形截面梁对称弯曲时横截面上切应力的分布规律(1) 由于梁的侧面为 =0的 自由表面，根据切应力互 等定理，横截面两侧边处 的切应力必与侧边平行；(2) 对称轴y处的切应力必沿 y轴方向，即平行于侧边；(3)横截面两侧边处的切应 力值大小相等，对于狭长 矩形截面则沿截面宽度其 值变化不会大。mmnnnm mdxbyA1 ABB1hzyOx窄高矩形截面梁横截面上弯

8、曲切应力分布的假设：(1) 横截面上各点处的切应力均与侧边平行；(2) 横截面上距中性轴等远各点处的切应力大小相等。根据切应力互等定理推得：(1) 沿截面宽度方向均匀分 布；(2) 在dx微段长度内可以认为 没有变化。mmnnnm mdxbyA1 ABB1hzyOx根据前面的分析mnmyy1ABA1B1bdxdAyzOx即又由两式得其中：FS 横截面上的剪力；Iz 整个横截面对于中性轴的惯性矩；b 与剪力垂直的截面尺寸，此时是矩形的宽度；矩形截面梁弯曲切应力计算公式zyyy1 横截面上求切应力的点处横线以外部分面积对 中性轴的静矩矩形横截面上弯曲切应力的变化规律zyyy1(1) 沿截面高度按二

9、次抛物 线规律变化；(2) 同一横截面上的最大切应 力max在中性轴处( y=0 )；(3)上下边缘处（y=h/2)，切 应力为零。maxzyOmax二.工字形截面梁1、腹板上的切应力xydhz OdbydAxzyOA*dx腹板与翼缘交界处中性轴处zyOmaxminmax2、翼缘上的切应力a、因为翼缘的上、下表面无切 应力，所以翼缘上、下边缘处平行 于y 轴的切应力为零；b、计算表明，工字形截面梁的 腹板承担的剪力(1) 平行于y 轴的切应力可见翼缘上平行于y 轴的切应力很小，工程上一 般不考虑。xydhz Odby(2) 垂直于y 轴的切应力d11xydhz Odb即翼缘上垂直于y轴的切应

10、力随按线性规律变化。且通过类似的推导可以得知，薄壁工字刚梁上 、下翼缘与腹板横截面上的切应力指向构成了“切应 力流”。zyOmaxmaxmin1max、梁的切应力强度条件 一般max发生在FS ,max所在截面的中性轴处，该位置 =0。不计挤压，则max所在点处于纯剪切应力状态。梁的切应力强度条件为材料在横力弯曲时的许用切应力对等直梁，有EmaxFmaxEm m l/2qG HC DFlql2/8ql/2ql/2梁上max所在点处于 单轴应力状态，其正 应力强度条件为 梁上任意点G 和H 平面应力状态， 若这种应力状态的点需校核强度时不 能分别按正应力和切应力进行，而必 须考虑两者的共同作用（

11、强度理论） 。CmaxDmaxEm m l/2qG HC DFlql2/8ql/2G H 横力弯曲梁的强度条件：强度 足够确定截面尺寸验 证设计截面时Em m l/2qG HC DFlql2/8ql/2例 图示为一槽形截面简支梁及其横截面的尺寸和 形心C的位置。已知横截面对中性轴的惯性矩 Iz=1152104mm4。试绘出D截面上的切应力分布 图。解 求出支反力D截面的剪力0.6m0.4mADF=110 kN B D FBFA2201010 yzC1034714010中性轴以下两块腹板对中性轴的面积矩a点以下一块腹板对中性轴的面积矩a点处的切应力为y220a1010zC1034714010d点

12、处的水平剪应力为d点以右部分腹板对中性轴的面积矩y220d1010zC1034714010yCzFSDdmaxa例 跨度为6m的简支钢梁，是由32a号工字钢在其中间 区段焊上两块 10010 3000mm的钢板制成。材料均 为Q235钢，其 =170MPa， =100MPa。试校核该 梁的强度。解 计算反力得F1F2 50kN40kN60kNCAB FB1.5 m1.5 mFA1.5 m 1.5 mzy9.51001032010FS(kN)xM(kNmm)x80203070120150105F1F2 50kN40kN60kNCAB FB1.5 m1.5 mFA1.5 m 1.5 mzy9.51

13、001032010最大弯矩为F1F2 50kN40 kN60kNCAB FB1.5 m1.5 mFA1.5 m 1.5 mzy9.51001032010EC截面弯矩为FS(kN)xM(kNmm)x80203070120150105但未超过的5%，还是 允许的。F1F2 50kN40 kN60kNCAB FB1.5 m1.5 mFA1.5 m 1.5 mzy9.51001032010例 跨度 l=4m 的箱形截面简支梁，沿全长受均布荷 载q作用，该梁是用四块木板胶合而成如图所示。已 知材料为红松，其弯曲容许正应力，顺纹容许剪应力 ；胶合缝的容许剪应力。试求该梁的容许荷载集度q 之值。yz2010

14、0100101802404545解：yz201001001018024045454-6 梁的合理设计一、合理配置梁的荷载和支座控制强度条件：MWz辅梁lFl4FFl 4l4l2Fl 8l/2qlql2/8BAqlaal/2ECDqa2 2 ql2qla- 82二、合理选取截面形状1、 尽可能使横截面面积分布在距中性轴较远处 ，以使弯曲截面系数与面积比值W/A增大。yzzybhz2、 对于由拉伸和压缩强度相等的材料 制成的 梁，其横截面应以中性轴为对称轴。yzzybhz3、对于拉、压强度不等的材料制成的梁，应采用 对中性轴不对称的截面，以尽量使梁的最大工作 拉、压应力分别达到(或接近)材料的许用拉应力 t 和许用压应力 c 。Ozyy1y2三、合理设计梁的外形考虑各截面弯矩变化可将梁局部加强或设计为变截 面梁。F1F2 50kN40 kN60kNCAB FB1.5 m1.5 mFA1.5 m 1.5 mzy9.51001032010若梁的各横截面上的最大正应力都达到材料的 许用应力，则称为等强度梁（鱼腹梁）。(a)l2Fh(x)b(b)Fl2