模糊数学原理及其应用

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1、绪言任何新生事物的产生和发展，都要经过一个由弱到强,逐步成长壮大的过程，一种新理论、一种新学科的问世，往往一开始会受到许多人的怀疑甚至否定。模糊数学自 1965 年 L.A.Zadeh 教授开创以来所走过的道路，充分证实了这一点，然而，实践是检验真理的标准，模糊数学在理论和实际应用两方面同时取得的巨大成果，不仅消除了人们的疑虑，而且使模糊数学在科学领域中，占有了自己的一席之地。经典数学是适应力学、天文、物理、化学这类学科的需要而发展起来的，不可能不带有这些学科固有的局限性。这些学科考察的对象，都是无生命的机械系统，大都是界限分明的清晰事物，允许人们作出非此即彼的判断，进行精确的测量，因而适于用

2、精确方法描述和处理。而那些难以用经典数学实现定量化的学科，特别是有关生命现象、社会现象的学科，研究的对象大多是没有明确界限的模糊事物，不允许作出非此即彼的断言，不能进行精确的测量。清晰事物的有关参量可以精确测定，能够建立起精确的数学模型。模糊事物无法获得必要的精确数据，不能按精确方法建立数学模型。实践证明，对于不同质的矛盾，只有用不同质的方法才能解决。传统方法用于力学系统高度有效，但用于对人类行为起重要作用的系统，就显得太精确了，以致于很难达到甚至无法达到。精确方法的逻辑基础是传统的二值逻辑，即要求符合非此即彼的排中律，这对于处理清晰事物是适用的。但用于处理模糊性事物时，就会产生逻辑悖论。如判

3、断企业经济效益的好坏时，用“年利税在 100 万元以上者为经济效益好的企业”表达，否则，便是经济效益不好的企业。根据常识，显而易见：“比经济效益好的企业年利税少 1 元的企业，仍是经济效益好的企业” ，而不应被划为经济效益不好的企业。这样，从上面的两个结论出发，反复运用经典的二值逻辑，我们最后就会得到， “年利税为 0 者仍为经济效益好的企业”的悖论。类似的悖论有许多，历史上最著名的有“罗素悖论” 。它们都是在用二值逻辑来处理模糊性事物时产生的。客观实际中存在众多的模糊性事物和现象，促使人们寻求建立一种适于描述模糊事物和现象的逻辑模式。模糊集合理论便是在这种形势下应运而生的。模糊方法的逻辑基础

4、是连续值逻辑，它是建立在0，1上的。如若我们把年利税在 100 万元以上者的属于“经济效益好”的企业的隶属度规定为 1，那末，相比之下，年利税少 1 元的企业，属于“经济效益好”的企业的隶属度就应相应减少一点，比如为 0.99999，依此类推，企业的年利税每减少 1 元，它属于“经济效益好”的企业的隶属度就要相应减少一点。这样下去，当企业的年利税为 0 时，它属于“经济效益好”的企业的隶属度也就为 0 了，显然，模糊方法的这种处理方式，是符合于人们的认识过程的，连续值逻辑是二值逻辑的合理推广。现代科学发展的总趋势是，从以分析为主对确定性现象的研究，进到以综合为主对不确定性现象的研究。各门科学在

5、充分研究本领域中那些非此即彼的典型现象之后，正在扩大视域，转而研究那些亦此亦彼的非典型现象。自然科学不同学科之间，社会科学不同学科之间，自然科学和社会科学之间，相互渗透的趋势日益加强，原来截然分明的学科界限一个个被打破，边缘科学大量涌现出来。随着科学技术的综合化、整体化，边界不分明的对象，亦即模糊性对象，以多种多样的形式普遍地、经常地出现在科学的前沿。模糊集合理论自诞生以来，获得了长足的发展，每年全世界发表的研究论文的数量，以指数级速度增长。研究范围从开始时的模糊集合，发展为模糊数、模糊代数、模糊测度、模糊积分、模糊规划、模糊图论、模糊拓扑等众多的分枝。和模糊集合理论的发展速度相比，模糊技术的

6、应用虽稍迟一步，但也取得了令人可喜的进展。自 1980 年第一例应用模糊技术的产品问世以来，有关这方面的研究报告已逾 7000 多篇，制造出近千种模糊产品，如计算机、电饭煲、摄像机、微波炉、洗衣机、空调器等。如日本松下公司研制的智能化家用空调器，可根据内置的传感器提供的室内空气温度数据，在室温高或低于 25时，会自动地“稍稍”调节空调器的阀门，进行 4608 种不同状态设定选择，从而获得最佳开启状态和尽可能少的消耗。而这种“稍稍”的程度，只有通过有经验的人的感觉来决定。模糊技术方法不是对精确的摒弃，而是对精确更圆满的刻画。它通过模糊控制规划，利用人类常识和智慧，理解词语的模糊内涵和外延，将各方

7、面专家的思维互相补充。虽然，目前要使模糊技术接近于人的思维，尚难以做到，但正如日本夏普公司电子专家日吉考庄所说：一个普遍应用模糊技术的时代，不久就会到来。我国自 70 年代开始模糊数学研究以来，成就突出，已形成了 2000 至 3000人的世界最庞大的研究队伍，并在高速模糊推理研究等领域，居世界领先地位。但同时在其它方面，也存在着一些差距，尤其突出的是实验室里的成果，还有许多未转化成经济效益。需要在政府和工业界的支持和参与下，成立专门的开发实体，制定规划，并积极开展国际交流，为我国 21 世纪的技术发展和科学腾飞奠定基础。第 二 章 模 式 识 别2-1 模 式 识 别 及 识 别 的 直 接

8、 方 法在 日 常 生 活 中 生 活 中 ， 经 常 需 要 进 行 各 种 判 断 、 预 测 。 如 图 象 文 字 识 别 、 故障 （ 疾 病 ） 的 诊 断 、 矿 藏 情 况 的 判 断 等 ， 其 特 点 就 是 在 已 知 各 种 标 准 类 型 前 提 下 ，判 断 识 别 对 象 属 于 哪 个 类 型 的 问 题 。 这 样 的 问 题 就 是 模 式 识 别 。一 、 模 糊 模 式 识 别 的 一 般 步 骤模 式 识 别 的 问 题 ， 在 模 糊 数 学 形 成 之 前 就 已 经 存 在 ， 传 统 的 作 法 主 要 用 统 计方 法 或 语 言 的 方 法

9、 进 行 识 别 。 但 在 多 数 情 况 下 ， 标 准 类 型 常 可 用 模 糊 集 表 示 ， 用模 糊 数 学 的 方 法 进 行 识 别 是 更 为 合 理 可 行 的 ， 以 模 糊 数 学 为 基 础 的 模 式 识 别 方 法称 为 模 糊 模 式 识 别 。模 式 识 别 主 要 包 括 三 个 步 骤 ：第 一 步 ： 提 取 特 征 ， 首 先 需 要 从 识 别 对 象 中 提 取 与 识 别 有 关 的 特 征 ， 并 度 量这 些 特 征 ， 设 分 别 为 每 个 特 征 的 度 量 值 ， 于 是 每 个 识 别 对 象 就nx,1 x对 应 一 个 向 量

10、 ， 这 一 步 是 识 别 的 关 键 ， 特 征 提 取 不 合 理 ， 会 影 响)(2识 别 效 果 。第 二 步 ： 建 立 标 准 类 型 的 隶 属 函 数 ， 标 准 类 型 通 常 是 论 域的 模 糊 集 ， 是 识 别 对 象 的 第 个 特 征 。),(1nxUixi第 三 步 ： 建 立 识 别 判 决 准 则 ， 确 定 某 些 归 属 原 则 ， 以 判 定 识 别 对 象 属 于 哪 一个 标 准 类 型 。 常 用 的 判 决 准 则 有 最 大 隶 属 度 原 则 （ 直 接 法 ） 和 择 近 原 则 （ 间 接 法 ）两 种 。二 、 最 大 的 隶 属

11、 度 原 则若 标 准 类 型 是 一 些 表 示 模 糊 概 念 的 模 糊 集 ， 待 识 别 对 象 是 论 域 中 的 某 一 元 素（ 个 体 ） 时 ， 往 往 由 于 识 别 对 象 不 绝 对 地 属 于 某 类 标 准 类 型 ， 因 而 隶 属 度 不 为1， 这 类 问 题 人 们 常 常 是 采 用 称 为 “最 大 隶 属 度 原 则 ”的 方 法 加 以 识 别 ， 这种 方 法 （ 以 及 下 面 的 “阈 值 原 则 ”） 是 处 理 个 体 识 别 问 题 的 ， 称 为 直 接 法 。最 大 隶 属 度 原 则 ： 设 是 个 标 准 类 型 ， ， 若 )

12、(,21UFAn Ux0nkxxki 1 ma)(00则 认 为 相 对 隶 属 于 所 代 表 的 类 型 。0xiA例 1 通 货 膨 胀 识 别 问 题通 货 膨 胀 状 态 可 分 成 五 个 类 型 :通 货 稳 定 ;轻 度 通 货 膨 胀 ;中 度 通 货 膨 胀 ;重度 通 货 膨 胀 ;恶 性 通 货 膨 胀 .以 上 五 个 类 型 依 次 用 (非 负 实 数 域 ,下 同 )上R的 模 糊 集 表 示 ,其 隶 属 函 数 分 别 为 :54321,A5 ,3exp01)(21 x)50(2A7e)(23x)93(p4x50 ,1 ,50e)(25 xxA其 中 对 ,

13、表 示 物 价 上 涨 。 问 时 ， 分 别 相 对 隶 属 于 哪 种 类0x%x4,8型 ？解 ，3679.)8(1A521.0)8(2A，0534.)(5，41A0.)(2A，03.)(3 19465由 最 大 隶 属 原 则 ， 应 相 对 隶 属 于 ， 即 当 物 价 上 涨 时 ， 应 视8x2A%8为 轻 度 通 货 膨 胀 ； ， 应 相 对 隶 属 于 ， 即 当 物 价 上 涨 时 ， 应 视40540为 恶 性 通 货 膨 胀 。三 、 阈 值 原 则在 使 用 最 大 隶 属 度 原 则 进 行 识 别 中 ， 还 会 出 现 以 下 两 种 情 况 ， 其 一 是

14、 有 时 待识 别 对 象 关 于 模 糊 集 中 每 一 个 隶 属 程 度 都 相 对 较 低 ， 这 时 说 明 模0xnA21,糊 集 合 对 元 素 不 能 识 别 ； 其 二 是 有 时 待 识 别 对 象 关 于 模 糊 集nA21,x x中 若 干 个 的 隶 属 程 度 都 相 对 较 高 ， 这 时 还 可 以 缩 小 的 识 别 范 围 ，nA21,关 于 这 两 种 情 况 有 如 下 阈 值 原 则 。阈 值 原 则 ： 是 个 标 准 类 型 ， 为 一 阈 值)(,21UFAn 1,0(,0dUx（ 置 信 水 平 ） 令 nkxk1ma0若 则 不 能 识 别

15、， 应 查 找 原 因 另 作 分 析 。d若 d 且 有 ， 则 判 决 相 对 地 属 于dAi)(01 di)(02 dxAmi)(00xmiiiA21例 2 三 角 形 识 别 问 题我 们 把 三 角 形 分 成 等 腰 三 角 形 ,直 角 三 角 形 , 正 三 角 形 ,非 典 型 三IRE角 形 ,这 四 个 标 准 类 型 ,取 定 论 域TCBABACxX,180),(这 里 是 三 角 形 三 个 内 角 的 度 数 ， 通 过 分 析 建 立 这 四 类 三 角 形 的 隶 属 函CBA,数 为 ：)()(601)(BxI 9AR)(18)(CxE 902,),(3,

16、min0ACBT现 给 定 ， ， 对 上 述 四 个 标 准 类 型 的 隶 属 度 为 ：4508)(Axx06.)(7.)( 9.)( 916.0)( 00 TERI由 于 关 于 , 的 隶 属 程 度 都 相 对 高 ， 故 采 用 阈 值 原 则 ， 取 ，xI 8.0d因 ， ， 按 阈 值 原 则 ， 相 对 属 于 ,8.)(0I 8.4.)(0x 0xIR即 可 识 别 为 等 腰 直 角 三 角 形 。x例 3 癌 细 胞 识 别在 癌 细 胞 识 别 问 题 中 细 胞 分 成 四 个 标 准 类 型 ， 即 ： 癌 细 胞 ， 重 度)(M核 异 质 细 胞 ， 轻 度 核 异 质 细 胞 ， 正 常 细 胞)(N)(R。)(T选 取 表 征 细 胞 状 况 的 七 个 特 征 ：.: ,