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1、52四、一元二次方程式四、一元二次方程式就一般而言，凡是使得方程式等號成立的數稱之為方程式的解；解；而使得多項式的值為零的數稱之為多項式的 根根。因此，一元二次方程式的解就是所對應的二次多項式的根。所以，我們也稱此類 方程式的解為根。我們將先介紹常見的一元二次方程式的三種解法： 因因式式分分解解法法、配配方法方法和公式解公式解，然後在 4-2 節中利用判別式來探討兩根的特性，至於根與係數之間的關係，則在附錄二中討論。4-1 一元二次方程式的解法一元二次方程式的解法【因式分解法因式分解法】因為一元二次方程式（a、b 和 c 為實數且 a0）的左20axbxc式為二次多項式，如果我們能將這個多項式
2、因式分解成兩個一次多項式的乘積，就很容易求得方程式的解。我們以下面的例子來說明這種解法。【範例範例 1】求的解。22151xx 【解解】 利用移項可把原方程式改寫為= 0。2252xx由因式分解，可得= 2252xx(21)(2)xx因此，原方程式改寫為= 0(21)(2)xx所以，可得或210x 20x即或。1 2x 2x 【類題練習類題練習 1】求的解。231030xx53【配方法配方法】我們也可以利用配方及平方根的概念來解方程式，例如將改寫為的形式，進而解得。其過程如2420xx2(2)2=0x22x 下：配方 2420xx222222220xx即 2(2)20x左式可寫成完全平方式 2
3、(2)2x右式為正，兩邊開平方 22x 22x 上面的例子是先利用配成完全平方式的方法，將方程式改寫成(xh)2k 的形式。當時，我們就可以利用平方根的概念來解題：0k2()0xhk即 2()0xhk兩邊同時開方 xh k移項 xhk註：x表示 x或 x。hkhkhk我們將這個方法稱為配方法，也就是配成完全平方的意思。【範例範例 2】求下列各方程式的解：(1) (2) 2680xx22460xx【解解】 (1) 2680xx222332380xx2(3)10x 2(3)1x31x x31 或 x31x4 或 x254(2) 22460xx2230xx2213101xx 2(1)40x2(1)4
4、x12x 或12x 12x 或1x 3x 在上例中，我們當然也可用十字交乘法來做因式分解。但下面的例題，因不易做因式分解，所以配方法會成為一個很好用的解法。【範例範例 3】求下列各方程式的根：(1) 0 (2) 0262xx2354xx【解解】 (1) 2620xx222332320xx 2(3)70x2(3)7x37x 或37x37x 或37x 37x 註：我們常以 x來表示 x或 x。373737(2) 23540xx254033xx2225( )5(54206)663xx 2573()0636x2573()636x5 6x73 6573 6x 55【類題練習類題練習 2】利用配方法求下列
5、各式的解：(1) 0 (2) 0231xx2432xx【想想看想想看】在範例 3 第(1)題中，兩個根的和為，(37)(37)6兩個根的積為2。(37)(37)223( 7)97 在範例 3 第(2)題中，兩個根的和為，573573 66 5 3兩個根的積為573573 66 2225( 73) 6。48 364 3同學們能看出這兩個方程式的兩根和與積似乎和方程式的係數之間有著某種關係嗎？【公式解公式解】將配方法運用在一般式(a0)的求解時，其步驟如下：20axbxc方程式(a0)20axbxc兩邊同除以a20bcxxaa配方222()22202()b ab abcxxaa 化簡2 2 24(
6、)024bbacxaa左式可化為完全平方 2 2 24()24bbacxaa這個結果與前面(xh)2k 的形式相同，因為恆為正數或2()2bxa560，所以當時，我們得到042 acb，224 24bbacxaa 即（或寫成 x） 。24 22bbacxaa 24 2bbac a 也就是說，當時，方程式的解為：240bac20axbxc或 x = 。24 2 bbacxa24 2 bbac a雖然利用配方法解一元二次方程式的程序較為複雜，但觀察其過程，每一步驟都有跡可循。若避開繁複的運算過程，直接將方程式的係數代入這個解的通式，即可得到方程式的解。因此，我們利用上面的通式求解，稱為公式解公式解
7、。雖然我們將在下一節中，才會完整的討論如何由的符號來24bac了解方程式兩個根的特性，在這裡仍先稱為方程20axbxc24bac式根的判別式根的判別式。【範例範例 4】用公式解求的解。2620xx【解解】 先檢驗判別式是否大於 0 或等於 0。因為280，所24bac以方程式有實數解。由公式解得知：x( 6)28 2 1 62 7 237【類題練習類題練習 3】利用公式解下列方程式：(1) (2) 2310xx 24320xx57我們可以利用一元二次方程式的解法，來解某些特殊類型的方程式，現在來看下面的例子。【範例範例 5】已知一個正數比其倒數的兩倍多 1，求此數。【解解】 設此正數為 x。依
8、題意列式121xx兩邊同乘以 x，得22xx移項得一元二次方程式220xx 022xx(1)(2)xx x2 或 x1（不合題意）所以，此正數為 2。【類題練習類題練習 4】解方程式。236xx【範例範例 6】一個長為 a，寬為 b 的矩形，如果它的長與寬滿足的bab ab關係，我們稱之為黃金矩形黃金矩形 。求黃金矩形的長與寬的比值 為何？【解解】 令。axb 1bababa abbbb 111baxabx 再來解分式方程式。11xx兩邊同乘以 x，得 21xx移項得 210xx 利用根的公式，可得aba-bbb58x =2( 1)( 1)4 1 ( 1) 2 1 所以，x = 或 x = (
9、負的不合)。15 215 2因此，長與寬的比值為(約為 1.6)。15 2【類題練習類題練習 5】解方程式。22113 16xx xx【重點整理重點整理】1. 一元二次方程式的解法中常用的有因式分解法、配方法及公式法。2. 一元二次方程式的根的公式為。20axbxc24 2 bbacxa3. 形如的分式方程式，可用通分或去分母化成一元二次方baxdxc程式來求解，但須注意求得的解應檢驗是否使分母為 0。【家庭作業家庭作業】基礎題基礎題1. 解下列各方程式：12171026xx 22(3)2(3)30xx3236xx420.50.10.5xx592. 已知可化為的形式，求 p、q 的值。1216
10、32 xxqpx2)(3利用求方程式的兩根。21021632 xx進階題進階題3. 已知為的一根，求 a 的值及另一根。1 2230axxa4. 設為方程式的一根，求 c 的值。2210442cxx5. 解下列各方程式：151 71x x2252xx3 31 21 41 11 xxxx6. 若 x 滿足，求的值。14xx xx17. 已知某水果商人以6000 元買進芒果一批。淘汰賣相不佳的芒果30 公斤，其餘的以每公斤按成本價加10 元賣出，商人共得款8100 元。問此商人原先買進芒果多少公斤？604-2 根的判別根的判別在前一節中，我們利用配方法將方程式(a0)改寫為 20axbxc。因為恆
11、為正數或 0，所以右式中2 2 24()24bbacxaa2()2bxa224 4bac a的分子必須為正數或 0 時，此方程式才會有實數解。當24bac24bac0 時，我們不可能找到一個實數 x 使得等於，所以此2()2bxa224 4bac a方程式沒有實數解。因此，一個一元二次方程式有沒有實數解，便可由 ，或來判別，故稱為根的判別式根的判別式或簡240bac240bac24bac 稱為判別式判別式 。現在將方程式根的判別規則整理如下：20axbxc(1) 若，則方程式的兩根為：240bacx或 x24 2bbac a 24 2bbac a 因為兩根均為實數且不相等，所以稱此方程式有兩個
12、相異實根兩個相異實根。(2) 若，則兩根為相等實數。所以稱此方程式有兩個相等兩個相等240bac實根實根，或稱此方程式有一個二重根二重根，並常以 x(重根重根)來表2b a示。(3) 若，則此方程式無實根無實根。240bac【範例範例 1】判別下列方程式是否有兩個相異實根，一個二重根或沒有實數 根：(1) (2) (3) 2350xx22560xx2690xx【解解】 (1) 判別式22434 1 ( 5)290bac 方程式有兩個相異實根：x = 2334 1 ( 5)329 2 12 (2) 判別式224( 5)42 6230bac 方程式沒有實數根61(3) 判別式22464 ( 1)
13、( 9)0bac 方程式有一個二重根：x2664 ( 1) ( 9) 2 ( 1) 3(重根)60 2 【類題練習類題練習 1】判別下列方程式是否有兩個相異實根，一個二重根或沒有實數根：(1) (2) 22410xx 2132022xx(3) ，其中a1。2(1)420axx【範例範例 2】已知一元二次方程式有一個二重根，求 a 的值。220axax【解解】 原方程式有一個二重根判別式等於 0即 2420aa (8)0a a或0a 8a 因為二次項係數 a 不能為 0，所以 a8。【類題練習類題練習 2】已知 a 為正整數且方程式有兩個相異根，230xax 求 a 的最小值。在高一上的第一章中，同學們會學習複數(complex number)的記法，其中 a、b 為實數，且，也就是說，。所以，範例abi21i 1i 162第(2)題中的方程式沒有實數根，但是 x是這個方22560xx523 4i程式的複數根。【重點整理重點整理】1. 的根有下列性質：20axbxc(1) 若，兩根為相異實根；240bac(2) 若，兩根為重根；240bac(3) 若，無實根。240bac【家庭作業家庭作業】基礎題基礎題1. 判別下列方程式兩根的性質：102082
