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1、 13第 4 章 习题 A 1.设随机变量 X 的分布律为 X 0 0 1 1 2 2 kp 1 41 21 4求:()E X, 2(2)E X +及()D X. 解 由期望的定义,可得111()0121424E X =+ + =, 22221113()0124242E X=+= 从而 2237(2)()2222E XE X+=+=+= ()221()()2D XE XE X= 2.把4个球随机地投入4个盒子中,设X表示空盒子的个数,求:()E X和()D X. 解 先求 X 的概率分布.X 的可能取值为 0,1,2,3.于是 44!60464P X= 111 443 43361464C C
2、CP X= 232 444 4(2)212464CCCP X+= 4413464P X= 于是 63621181()01236464646464E X=+ + + = 22222636211129()01236464646464E X=+= 222 2129811695()() ()()646464D XE XE X= 3.设随机变量 X 的概率密度为 2(1)01( )0xxf x= 其它求: (1) 2YX=;(2) 2XYe=的数学期望. 解 (1) 由于 X 服从参数为 1 的指数分布,故()1E X =. 从而 ( )(2)2 ()2E YEXE X=. (1) 2201( )()3
3、XxxE YE eee dx+=10.设随机变量和是相互独立的,且服从同一分布,已知的分布律为 1,1,2,33Pii=.又设max( , )X =,min( , )X =. (1) 求二维随机变量(X,Y)的分布律; (2) 求()E X和(/)E X Y. 解 (1) (X,Y)的分布律为 16Y X 1 2 3 1 1 92 92 92 0 1 92 93 0 0 1 9(2) 由(X,Y)的分布律可得关于 X 的边缘分布律为 X 1 2 3 p 1 91 35 9故 11522()1239399E X = + + = 11223221323116(/ )1919192929399E X
4、 Y =+= 11.设随机变量(X,Y)的概率密度为 1( , )(),02,028f x yxyxy=+故 (1,1)(1)(1) (1)P XXP XP XP X= 20可见 X 与X不相互独立. 19.已知随机变量(1,9)XN,(0,16)YN,且 X 和 Y 的相关系数为1 2XY= .设32XYZ =+. (1)求( )E Z和( )D Z; (2)求 X 与 Z 的相关系数. 解 由题意知, ()1,()9,( )0,( )16E XD XE YD Y=. 而1(, )()( )3 462XYCov X YD XD Y= = 所以 111( )()()( )32323XYE ZE
5、E XE Y=+=+= ( )()()()2(,)323232XYXYX YD ZDDDCov=+=+ 111()( )(, )943D XD YCov X Y=+ ()11191663943= + = (2) (,)(,)32XYCov X ZCov X=+ 11(,)(, )32Cov X XCov X Y=+ 119( 6)032= + = 习题 B 1.已知随机变量 X 服从二项分布,且()2.4E X =和()1.44D X =,求二项分布的参数, n p的值. 解 由()2.4E X =,可得2.4np =.由()1.44D X =,可得(1)1.44npp=. 从而由上解得 6,
6、0.4np= 2.某流水生产线上每个产品不合格的概率为(01)pp求:( )E Y和( )D Y. 解 由题意,X 的概率密度为 22111( )2 0xf x =00111(0)( )22P Xf x dxdx + =+ +=+ =故1(4, )2YB,得11 1( )42,( )4122 2E YD Y= 所以22()( ) ( )145E YD YE Y=+= +=. 5.设随机变量 Y 服从参数为 1 的指数分布,随机变量 1(1,2)0kYkXkYk=求: (1)()12,XX的分布律; (2) ()12E XX+. 解 由已知,Y 的概率密度为 230( )00yeyf yy=()
7、12,XX所有可能取值为(0,0),(0,1),(1,0),(1,1). (1)()()120,01,2P XXP YY=()11011yP Ye dye= ()()120,11,20P XXP YY= ()()121,01,2P XXP YY=()212112yPYe dyee=()222yP Ye dye+=(2) ()()()1212(1)(2)E XXE XE XP YP Y+=+=+ 1212yye dye dyee+=+=+6.设 X 和 Y 是两个相互独立且均服从正态分布1(0, )2N的随机变量,求EXY. 解 记XY=,由11(0, ),(0, )22XNYN,知 ( )()
8、( )0EE XE Y= 11( )()( )122DD XD Y=+=+= 即 (0,1)N 所以 2222 0122()222xx EXYExedxxedx+=7.设 A,B 随机事件,且1( )4P A =,1(|)3P B A =,1(|)2P A B =,令 1 0AXA= 发生不发生,1 0BYB= 发生不发生求: (1)二维随机变量(X,Y)的概率密度;(2)X 与 Y 的相关系数. 解 ()1()|3( )P ABP B AP A= 11 11()( )33 412P ABP A= 24又()1(|)( )2P ABP A BP B= 1( )2 ()6P BP AB= (1)
9、 1(1,1)()12P XYP AB= 111(0,1)()( )()61212P XYP ABP BP AB= 111(1,0)()( )()4126P XYP ABP AP AB= 2(0,0)()1()1( )( )()3P XYP ABP ABP AP BP AB= = += 故(X,Y)的分布律为 Y X 0 1 0 2 31 121 1 61 12(2) 由(1)易得关于 X,Y 的分布律分别为 故 211(),(),44E XE X= 222113()() ()( )4416D XE XE X= 211( ),(),66E YE Y= 222115( )() ( )( )663
10、6D YE YE Y= 而由(X,Y)的分布律,可知 11()1 11212E XY = = 故得 11 1 ()() ( )1124 6 ()()3515 1636XYE XYE X E Y D XD X= 8.将一枚硬币重复掷 n 次,以 X 和 Y 分别表示正面向上和反面向上的次数,Y 0 1 p 5 61 6X 0 1 p 3 41 425求 X 和 Y 的相关系数. 解 因为XYn+=,所以YnX=. 故( )()()D YD nXD X=, (, )(,)(,)()Cov X YCov X nXCov X XD X= = 所以 X 和 Y 的相关系数为 (, )()1()( )()()XYCov X YD X D XD YD XD X= 。
