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1、4 2 数学通讯一一2 O 1 2年第 l 1 、 1 2期( 上半月) 辅教 导学 一道高考题的深度解析 杨兴军 ( 安徽省六安第二中学 ， 2 3 7 0 0 5 ) 众所周知 ， 数列知识是高中数学 的主干知识 ， 也是高考中重点考察的对象 ， 由于其涉及面广、 综 合性强、 对思维要求高 等特点 ， 常被用来命 制压 轴题 绝大多数数列压轴题以两种类型出现： ( 1 ) 给 出等差 或等 比数 列模 型 ， 考 查有关 性 质 和计算 ； ( 2 )以递推数列为背景， 考查如何转化为 等差或等比模型 ， 在此基础上再求通项或求和 ， 有 时也结合函数、 不 式、 数学归纳法等知识进行综
2、 合考查 2 0 1 2年安徽高专数学理科卷第 2 1题也是一 道数列综合题 ， 它以其深刻 的背景和独特的命题 视角给人 以耳 目一新之感 ， 具体表现为： ( I ) 所 给递推 关 系是 一 个 由 函数 生 成 的 迭代 关系， 无法转化为等差或等比数列 ， 更猜想不 出通 项 公式 ； ( 2 ) 作为大题考查数列单调性比较冷门 可以说， 此题命在了部分教师和学生思维 的 盲区， 引起解题思维受阻 ! 基于此 ， 笔者认 为有必 要研究并揭示出此题的背景和本质， 供教学参考 1 题 目及解 答 为便于分析， 下面摘引安徽省教科院提供 的 一z 井1 一一 ： +z 一c + 一( 1
3、 一 一 z ) z ) 由 可得 1 一 一 z 0 ， 即 z 0 ， 即证 ： z ， 即 z 是递增 数列 由( 1 ) ( 2 )知 ， 使得数列 z ) 单调递增的 c的 1 范围是( o ， 2 。 对 解答 的分析 与反思 以上所给解答实际上是数列( ) 为递增数列 的充 要条件 的两个 方 面 ： ( 1 ) 是 寻找 z ) 为 递增数 辅教 导学 数 学通讯 2 O 1 2年 第 1 1 、 1 2期( 上半 月) 4 3 列的必要条件 ； ( 2 )是 证 明所找条件也具 有充分 性 因此 ， 要想成功解出此题 ， ( 1 )是关键环 节， 是 解 题 重心所 在 为了
4、弄清学生解答这道题 的真实情况 ， 笔者 对所在学校部分考生进行 了调查与询问 ， 考生普 遍反映他们只能从特殊 情形 ( z 时， = z ) 不可能是单调递 增 的 首先注意到 z + 一z = = =f ( x ) 一f ( x - )一 ( 1 一z 一z ， r ) ( z 一z ， r ) ， 于是若 ( z ) 单调递增 ， 则1 一 一z ，广 0 ， z +z 一 1 2 ， 所以， 对一切 7 “ 1 ， X 1 ， 本例中的 相当于上面的 ， 这从一 个侧面解释了标准答案 中为什么会用 减去 z 抖 产生 式这一关键 问题 ， 包括后面的 、 ， 它们 都是为了说明一个共
5、同的目的： X ) 的极限为厄 顺带提一下， 也是函数厂( - ) 的一个不动点， 层 满足 厂 ( ) 一 3 7, ， 或者说 是 Y一 ( z ) 与 Y= 的 图象的一个交点的横坐标 从这个角度讲 ， 我们还 4 4 数学通讯 2 O 1 2年第 1 1 、 1 2期( 上半 月) 辅教导宁 可以数形结合地思考本题的解法 ( 实际上， 部分教 师与考生就是这样做的) 下面给出 是不动点的一个证明： 设n为数列 z 的极 限 ， 则 nl i mz 1 一l i mf ( x ) 一f - l i mx 一 ( 口 ) ， n 。 +o 。 而 n就是 。 ( 6 ) 本 题 中的 f
6、( x ) 一 ， ( ，r ) 可 以 比较 简单 地计算 出来 ， 一般来说 ， 当f ( x ) 一， ( z ，r ) 不好计 算时， 可以利用拉格 朗 日中值定理 得 z 井 一 一 f ( x ) 一 ， ( z )一 f ( ) ( z 一 X r 1 ) ， ( z ，r l ， X ) 这 样 问题 的关键 就是 函数 厂 ( z )的 导 数 在不 动点 附近 ( 因为 左侧任何一个 区间都含有 ) 中某一项后的所有项) 具有什么性质 ， 这也是 问题的本质所在 如， 本题 中， z 0 ， 又f ( z ) 一一2 z +1 在 o ， ) J 1 递减， 只需使f )
7、0 ， 僻得c 。 ( 收稿 日期 ： 2 0 1 20 7 2 4 ) 与高斯函数有关的高考压轴题 董永春 ( 四川省成都戴 氏高考 中考 肖家河 总校数学组 ，6 1 1 0 0 0 ) 早年 ， 数学王子高斯发现并定义了取整函数， 即设 zR， 用I x 表示不超过 的最大整数， 并用 z 表示 z的非负纯小数 ， 则 一 z 称为高斯 函 数 ， 也 叫取整 函数 高斯函数I x 的定义域是 R， 值域为z， 它的图 象 是不 连续 的水平线 段 高斯函数在数论中也有非常重要的作用 ， 在 各种数学竞赛和高考中经常出现含有取整 函数的 问题 ， 高考中多以信息题的形式出现在压轴题 的
8、位置 本文通过一些考题带大家一起去体会高斯 函数 在实际解题过程 中， 经常用到如下与高斯函 数 有关 的基本 知识 ： ( 1 ) z I x + z) ； ( 2 ) z一1 一 1 ； 对某个 正整数 k ， 若 z 抖 z ， 则 一 侗 其中的真命题有 ( 写出所有真命题 的编号 ) 解 依题意 ， 显然 有 X N ( N ) 对 于 ， 因为 。 一 口一 5 ， 所 以 一掣 5 +2 1- 1 3 ， z z 一 一 9 一 ， z 。 ： 3+2 5 F 3+ 2 1 一 2， z 3 = 9 9 一 2 ， 故命题 正确 命题 的意思是 ： 任何这样的数列 z ， 从某 一项开始 ， 后面各项都相等根据 的结果知 ： 当 n：5 时， 数列 ) 的前三项依次为 5 ， 3 ， 2 继续计 算下去 ， 可得 一c T2 + 1 ，
