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1、弹性力学弹性力学课件制作：课件制作： 丁勇、单艳玲、章子华丁勇、单艳玲、章子华 配套教材：配套教材： 弹性与塑性力学引论中国水利水电出版社，丁勇弹性与塑性力学引论中国水利水电出版社，丁勇宁波大学 建筑工程与环境学院宁波大学 建筑工程与环境学院联系方式：联系方式：弹性力学弹性力学第第6章 弹性力学问题的 建立与基本解法章 弹性力学问题的 建立与基本解法6.1 弹性力学基本方程与边界条件6.1 弹性力学基本方程与边界条件弹性力学基本方程弹性力学基本方程平衡方程：平衡方程：应力分量与体力分量间的关系式用张量公式表示为用张量公式表示为000yxxzx bxxyyzy byyzxzz bzFxyzFxy
2、zFxyz+= += +=0,=+bijijF6.1 弹性力学基本方程与边界条件6.1 弹性力学基本方程与边界条件几何方程：几何方程：应变分量与位移分量间的几何关系式xxyyyzzzxuuv xyx vvw yzy wwu zxz =+=+ =+用张量公式表示为用张量公式表示为()ijjiijuu,21+=此外还可补充6个应变协调方程此外还可补充6个应变协调方程弹性力学基本方程弹性力学基本方程6.1 弹性力学基本方程与边界条件6.1 弹性力学基本方程与边界条件本构方程：本构方程：应变分量与应力分量间的物理关系式用张量公式表示为用张量公式表示为弹性力学基本方程弹性力学基本方程()()()111x
3、y xyxxyzyz yyzxyzzx zzxyzxvGEvEGvEG=+ =+= =+=kkijijijEv Ev+=1(物理方程)(物理方程)6.1 弹性力学基本方程与边界条件6.1 弹性力学基本方程与边界条件应力边界条件 ：应力边界条件 ：坐标面上的应力分量与边界面上 的面力分量之间的关系式弹性力学边界条件弹性力学边界条件xxxyxyzxzyxyxyyzyzzxzxyzyzzpnnnpnnn pnnn =+ =+ =+jijinp=（张量形式)（张量形式)位移边界条件 ：位移边界条件 ：边界上位移与约束间的关系式iiuu =（张量形式)（张量形式)混合边界条件 ：混合边界条件 ：iijj
4、pn=S在上在上iiuu =在上在上uS6.1 弹性力学基本方程与边界条件6.1 弹性力学基本方程与边界条件弹性力学问题是在给定边界或内部作用（温度、外力等）下，求解物体内部的应力、应变和位移场。弹性力学问题是在给定边界或内部作用（温度、外力等）下，求解物体内部的应力、应变和位移场。弹性力学问题的提法：弹性力学问题的提法：弹性力学问题共有15个方程，即3个平衡方程、6个几何方程、6个本构方程；求解变量也是15个，即3个位移分量、6个应变分量、6个应力分量，在给定边界条件时，问题可解。弹性力学问题共有15个方程，即3个平衡方程、6个几何方程、6个本构方程；求解变量也是15个，即3个位移分量、6个
5、应变分量、6个应力分量，在给定边界条件时，问题可解。0,=+bijijFkkijijijEv Ev+=1()ijjiijuu,21+=本构方程：几何方程：平衡方程：本构方程：几何方程：平衡方程：6.2 弹性力学问题的基本解法6.2 弹性力学问题的基本解法6.2.1 位移法6.2.1 位移法位移法是以位移为基本未知量的解法位移法是以位移为基本未知量的解法，为此需要用位移表示 平衡方程。即先将应力用应变表示，再将应变用位移表示；最后 代入平衡方程，得到用位移表示的平衡方程，为此需要用位移表示 平衡方程。即先将应力用应变表示，再将应变用位移表示；最后 代入平衡方程，得到用位移表示的平衡方程22222
6、2 2 zyx+=其中，其中，()()()222000bxbybzuFxvFywFz+ +=+ += + +=xyz=+6.2 弹性力学问题的基本解法6.2 弹性力学问题的基本解法上述位移法平衡方程表示为张量形式为上述位移法平衡方程表示为张量形式为位移法：位移法：位移法平衡方程的推导包含了平衡方程、几何方程和本构方程的信息，求解时只需补充边界条件。位移法平衡方程的推导包含了平衡方程、几何方程和本构方程的信息，求解时只需补充边界条件。当边界条件为给定位移时，可以直接使用；当边界条件为给定面力时，则可通过广义胡克定律和几何关系，将其中的应力用位移来表示。当边界条件为给定位移时，可以直接使用；当边界
7、条件为给定面力时，则可通过广义胡克定律和几何关系，将其中的应力用位移来表示。()0,=+ijjijijfuu无需应变协调方程！无需应变协调方程！6.2 弹性力学问题的基本解法6.2 弹性力学问题的基本解法应力法是以应力为基本未知量的方法，平衡方程应力法是以应力为基本未知量的方法，平衡方程6.2.1 6.2.1 应力法应力法由应力求得的应变还需要满足应变协调方程由应力求得的应变还需要满足应变协调方程。因为前面的应变协调方程是用应变表示的，所以还需要转化为用应力表示。因为前面的应变协调方程是用应变表示的，所以还需要转化为用应力表示。=+=+=+000bzzyzxzbyzyyxybxzxyxxFzy
8、xFzyxFzyx需要应变协调方程！需要应变协调方程！6.2 弹性力学问题的基本解法6.2 弹性力学问题的基本解法应力表示的应变协调方程称为应力表示的应变协调方程称为米切尔方程：米切尔方程：应力法：应力法：因此，应力法求解弹性力学问题，归结为求满足3个平衡 方程，6个应变协调方程以及边界条件的6个应力分量因此，应力法求解弹性力学问题，归结为求满足3个平衡 方程，6个应变协调方程以及边界条件的6个应力分量。2 2 22 2 22 2 22 21211121112111 1bybxbzbx xbybybxbz ybybybxbz ybybx xyFvFFF vxvxyzxFFvFF vyvxyzy
9、FFvFF vyvxyzyFF vx yxy+= + += + += + += + 2 22 21 11 1bybz yzbxbz zxFF vy zyzFF vz xzx += + += + 6.4 解的唯一性定理圣维南原理叠加原理6.4 解的唯一性定理圣维南原理叠加原理6.4.1 解的唯一性定理6.4.1 解的唯一性定理弹塑性力学基本方程在给定边界条件情况下，其解是唯一 的。下面在小变形、线弹性条件下来证明。假设同一弹性力学问题的存在两组应力解，它们的差为弹塑性力学基本方程在给定边界条件情况下，其解是唯一 的。下面在小变形、线弹性条件下来证明。假设同一弹性力学问题的存在两组应力解，它们的差
10、为 ( )( )21* ijijij=由由平衡方程平衡方程( )01 ,=+bijijF( )02 ,=+bijijF0* ,=jij得到得到由由应变协调方程应变协调方程得到得到011 ,*2=+ijijv由由边界条件边界条件( ) ijijPn =1( ) ijijPn =2得到得到0*=jijn（*）（*）（*）（*）（*）（*）综上所述，满足无体力、无面力的自然状态下的平衡方程和边界条件，此时综上所述，满足无体力、无面力的自然状态下的平衡方程和边界条件，此时6.4.1 解的唯一性定理6.4.1 解的唯一性定理6.4 解的唯一性定理 圣维南原理 叠加原理6.4 解的唯一性定理 圣维南原理
11、叠加原理所以所以* ij0*=ij( )( )0*21=ijijij即和实际上是同一组解，由此说明弹性力学问题的解是唯一的。即和实际上是同一组解，由此说明弹性力学问题的解是唯一的。( )1 ij( )2 ij无初应力假定无初应力假定解的唯一性定理可以简化弹塑性力学问题的求解，它是逆解法、半逆解法的理论依据。解的唯一性定理可以简化弹塑性力学问题的求解，它是逆解法、半逆解法的理论依据。6.4.1 解的唯一性定理6.4.1 解的唯一性定理在所有的未知量中，预先假设一部分已知，另一部分则根据基本方程和边界条件求出，从而得到全部的未知量预先选取一组位移或应力函数，然后验证其满足弹塑性基本方程和边界条件
12、，该组函数即为问题的解。在所有的未知量中，预先假设一部分已知，另一部分则根据基本方程和边界条件求出，从而得到全部的未知量预先选取一组位移或应力函数，然后验证其满足弹塑性基本方程和边界条件 ，该组函数即为问题的解。逆解法 ：半逆解法 ：逆解法 ：半逆解法 ：解的唯一性定理说明由逆解法、半逆解法得到的解答是弹塑性力学问题的唯一解。解的唯一性定理说明由逆解法、半逆解法得到的解答是弹塑性力学问题的唯一解。6.4 解的唯一性定理 圣维南原理 叠加原理6.4 解的唯一性定理 圣维南原理 叠加原理作用在弹性体表面局部面积上的力系，如果被同一作用面上的等效力系所代替，只会影响与荷载作用处很近处的应力，对荷载较
13、远处只有极小的影响。作用在弹性体表面局部面积上的力系，如果被同一作用面上的等效力系所代替，只会影响与荷载作用处很近处的应力，对荷载较远处只有极小的影响。6.4.2 圣维南原理6.4.2 圣维南原理6.4 解的唯一性定理 圣维南原理 叠加原理6.4 解的唯一性定理 圣维南原理 叠加原理上图钳子夹住一根直杆，那么直杆上加上了一组平衡力系，实验证明，无论作用的力有多大，在A区域以外的应力很小。这一现象可以用圣维南原理来解释。研究表明，影响区域的大小，大致与外力作用区的大小相当。上图钳子夹住一根直杆，那么直杆上加上了一组平衡力系，实验证明，无论作用的力有多大，在A区域以外的应力很小。这一现象可以用圣维
14、南原理来解释。研究表明，影响区域的大小，大致与外力作用区的大小相当。在上图中，即使端部应力分布不均匀，到距离受力端超过b以后，杆件横截面上应力接近均匀分布。在上图中，即使端部应力分布不均匀，到距离受力端超过b以后，杆件横截面上应力接近均匀分布。6.4.2 圣维南原理6.4.2 圣维南原理右图试验中，端部施加的既不是集中力，也不是均布力，因此按均布力考虑的受力分析图与实际情况存在一定的差异。右图试验中，端部施加的既不是集中力，也不是均布力，因此按均布力考虑的受力分析图与实际情况存在一定的差异。6.4 解的唯一性定理 圣维南原理 叠加原理6.4 解的唯一性定理 圣维南原理 叠加原理但是根据但是根据
15、圣维南原理圣维南原理，这种差异只会影响作用点附近的应力，影响范围与杆件横截面的尺寸接近这种差异只会影响作用点附近的应力，影响范围与杆件横截面的尺寸接近。6.4.3 叠加原理6.4.3 叠加原理6.4 解的唯一性定理 圣维南原理 叠加原理6.4 解的唯一性定理 圣维南原理 叠加原理在弹性力学中，可以将复杂荷载作用分解为多个简单荷载的叠加，复杂荷载下的弹性力学解也是简单荷载单独作用下解的叠加，这就是叠加原理。在弹性力学中，可以将复杂荷载作用分解为多个简单荷载的叠加，复杂荷载下的弹性力学解也是简单荷载单独作用下解的叠加，这就是叠加原理。叠加原理成立时，如果是面力和体力作用下的弹性力学问题的解，是面力和体力作用下的弹性力学问题的解，那么是面力
