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1、 52习题三习题三 1 (1) 解：所给函数在定义域(,) +内连续、可导，且 2612186(1)(3)yxxxx=+ 可得函数的两个驻点：121,3xx= =,在(, 1),( 1,3),(3,) +内，y分别取+，+号，故知函数在(, 1,3,) +内单调增加，在 1,3内单调减少. (2)解: 函数有一个间断点0x =在定义域外，在定义域内处处可导，且282yx=，则函数有驻点2x =，在部分区间(0,2内，0y0，故知函数在2,)+内单调增加，而在(0,2内单调减少. (3) 解: 函数定义域为(,) +， 210 1y x= +,故函数在(,) +上单调增加. (4) 解: 函数定
2、义域为(,) +,22(1) (21)yxx=+，则函数有驻点: 11,2xx= =,在1(, 2内， 0y，函数单调增加. (5)解: 函数定义域为0,)+，11eee()nxnxxnynxxxnx= 函数的驻点为0,xxn=,在0, n上0y，函数单调增加；在 ,n +上0y,函数单调增加， 在1 11,2 18上， 0y,函数单调增加， 在2,)+内， 0y,函数单调增加. 故函数的单调区间为: 1(,2 ，1 11,2 18，11,)18+. 2. (1) 证明: 令( )sintan2 ,f xxxx=则22(1 cos )(coscos1)( )cosxxxfxx+=, 当02x为
3、严格单调增加的函数，故( )(0)0f xf=, 即sin2tan2 .xxx (2) 证明: 令2 ( ) = esin12xxf xx+ ,则( ) = ecosxfxxx+, ( ) = esin1e(sin1)0xxfxxx =+，故1x =为极小值点，且极小值为(1)2y=. (2)解: 266yxx=,令0y=，得驻点120,1xx=, 126yx =,010,0xxyy=, 故极大值为( 1)17y =，极小值为(3)47y= . (4)解: 1101yx= =+，令0y=，得驻点0x =. 201,0(1)xyyx=+,故(0)0y=为极大值. (5)解: 32444 (1)y
4、xxxx= +=， 令0y=，得驻点1231,0,1xxx= =. 2 10124, 0,0,xxyxyy= +时， 0y,故13 4x =为极大值点，且极大值为35( )44y=. 因为函数定义域为1x ，故1x =不是极值点. (7)解: 23125(45)xy x=+,令0y=，得驻点12 5x =. 55当12 5x 时， 0y,故极大值为121()205510y=. (8)解: 2131xyxx+=+,22(2) (1)x xyxx+=+, 令0y=，得驻点122,0xx= =. 2223( 22)(1)2(21)(2 ) (1)xxxxxxyxx+ =+200,0xxyy=， 故2
5、2 4kxk=+为极大值点，其对应的极大值为2 4 22()e2kky x+=; 21(21) 4kxk+=+为极小值点，对应的极小值为(21)4 212()e2kky x+= . (10)解: 11211 ln(ln )xxxyxxxxx=, 令0y=，得驻点ex =. 当ex 时， 0y, 故极大值为1 e(e)ey=. (11)解: 2eexxy=,令0y=，得驻点ln2 2x = . ln2 22ee ,0xx xyy =+, 故极小值为ln2()2 22y =. (12)解: 321 31yx= ，无驻点. y 的定义域为(,) +，且 y 在 x=1 处不可导，当 x156时0y，
6、故有极大值为(1)2y=. (13)解: 2321 3(1)y x= +.无驻点.y 在1x = 处不可导，但y恒小于 0，故 y 无极值. (14)解: 21 sec0yx= +, y 为严格单调增加函数，无极值点. 5.证明：232yaxbxc=+，令0y=，得方程2320axbxc+=， 由于 22(2 )4(3 )4(3)0ba cbac =，y 单调递增, 因此 x=3 为 y 的最小值点，最小值为 f(3)=27. 又lim( ) xf x = +，故 f(x)无最大值. (2)解：1102 1yx= =，在( 5,1)上得唯一驻点3 4x =， 又 53,(1)1,( 5)654
7、4yyy=, 故函数( )f x在5，1上的最大值为5 4，最小值为65. (3).解：函数在(1，3)中仅有两个驻点 x=0 及 x=2， 而 y(1)=5， y (0)=2， y (2)=14， y (3)=11, 故在1，3上，函数的最大值是 11，最小值为14. 8. 解：20yaxb=+=得2bxa= 不可能属于以 0 和b a为端点的闭区间上, 57而 22(0)0,bbyyaa=, 故当 a0 时，函数的最大值为22bbyaa=，最小值为(0)0y=; 当 a，在(1000,)+上0y+当 x +; 当 0a 时，()()2211( )0 11fx xxa= ，当(,0)x 时，
8、0y，故曲线图形在(0,)+是凹的. (4) 解：2arctan1xyxx=+，2220(1)yx =+故曲线图形在(,) +内是凹的. 16.(1)；解：23103yxx=+ 610yx =，令0y =可得5 3x =. 当5 3x 时，0y ，故曲线在5 ,)3+内是凹弧. 因此5 20,3 27是曲线的唯一拐点. (2) 解：(1)e , e(2)xxyxyx= 60令0y =，得 x=2 当 x2 时，0y ，即曲线在2,)+内是凹的； 当 x 故函数的图形在(,) +内是凹的，没有拐点. (4) 解：222222(1), 1(1)xxyyxx=+令0y =得 x=1 或 x=1. 当
9、1，即曲线在1，1内是凹的. 当 x1 或 x时，0y，即曲线在1(, 2内是凹的， 故有唯一拐点1arctan21( ,e)2. (6)解：函数 y 的定义域为(0，+)且在定义域内二阶可导. 324(12ln4),144ln .yxxyxx= 令0y =，在(0，+)，得 x=1. 当 x1 时，0y ，即曲线在1,)+内是凹的; 当 0 ， 则曲线 y=f(x)是凹的，因此, x yR+， ( )( ) 22f xf yxyf+. 则曲线 y=f(x)是凹的，,x yRxy 则 ( )( ) 22f xf yxyf+0) 1( )ln1,( )0(0)fxxfxxx=+= 则曲线( )y
10、f x=是凹的，, x yR+，xy，有 ( )( ) 22f xf yxyf+. 18. (1)解：22223d33d3(1),d2d4ytyt xtxt+= 令22d0dy x=，得 t=1 或 t=1 则 x=1，y=4 或 x=1，y=4 当 t1 或 t，曲线是凹的， 62当 00，不失一般性，当3tan3 时，即 33， 当tan3 或tan3 时，22d0dy x； 当(23,23)x+时0y, 因此，曲线有三个拐点(1，1)，1313(23,),(23,)44 +. 63因为 111131234 131234 +=0 因此三个拐点在一条直线上. 20. 解：y=3ax2+2bx
11、, y=6ax+2b 依题意有 3 620ab ab+= +=解得 39,22ab= =. 21. 解：令 f(x)= ax3+bx2+cx+d 联立 f(2)=44，f (2)=0，f(1)=10，f (1)=0 可解得 a=1，b=3，c=24，d=16. 22. 解：224(3),12 (1)ykx xyk x= 令0y =，解得 x=1，代入原曲线方程得 y=4k， 只要 k0，可验证(1，4k)，(1，4k)是曲线的拐点. 18xky= ，那么拐点处的法线斜率等于1 8km，法线方程为1 8yxk= m. 由于(1，4k)，(1，4k)在此法线上，因此 148kk= , 得22321
12、, 321kk= (舍去) 故 12 832k = = . 23. 答：因00()()0fxfx=，且0()0fx，则 x=x0不是极值点.又在0(, )U x o 中，000( )()()( )()( )fxfxxxfxxf=+=，故( )fx在0x左侧与0()fx异号，在0x右侧与0()fx同号，故( )f x在 x=x0左、右两侧凹凸性不同，即00(,()xf x是拐点. 24. (1)；解：函数的定义域为(，+),且为奇函数, 222222222 3121 (1)(1)2 (3) (1)xxxyxxx xyx+=+ =+令0y=，可得1x = ， 64令0y =，得 x=0，3, 列表
13、讨论如下： x 0 (0，1) 1 (1，3) 3 (3，+) y + 0 y 0 0 + y 0 极大 拐点 当 x时，y0，故 y=0 是一条水平渐近线. 函数有极大值1(1)2f=，极小值1( 1)2f = ，有 3 个拐点，分别为3,3,4(0，0)， 33,4 ，作图如上所示. (2) 解：函数定义域为(，+)，且为奇函数, 222211 4 (1)yx xyx= + =+令 y=0，可得 x=1， 令 y=0，可得 x=0. 列表讨论如下： x 0 (0，1) 1 (1，) y 0 + y 0 + + y 0 极小 又 ( )2limlim(1arctan )1 xxf xxxx=
14、 且 lim ( )lim( 2arctan ) xxf xxx += 故yx=是斜渐近线，由对称性知yx=+亦是渐近线.函数有极小值(1)12y= ，极大值( 1)12y =.(0，0)为拐点.作图如上所示. (3)；解：函数的定义域为,1xR x . 22232 (1)(2)(1)(1)(1) 2 (1)xxxx xyxxxyx+= + =+65令0y=得 x=0，x=2 当(, 2x 时，0,( )yf x单调增加； 当 2, 1)x 时，0,( )yf x单调增加, 故函数有极大值 f(2)=4，有极小值 f(0)=0 又211lim( )lim1xxxf xx= +，故 x=1 为无穷型间断点且为铅直渐近线. 又因( )
