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1、1 / 21第九节函数与方程适用学科 数学 适用年级 高三适用区域 新课标 课时时长（分钟） 60知 识 点1. 方程的根与函数零点的关系2. 函数零点的判断方法3. 二分法的概念4. 用二分法求函数零点问题5. 函数零点个数问题6. 函数与方程的综合问题学习目标 1.结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数2.根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解.学习重点 函数的零点及二分法学习难点 函数的零点及二分法2 / 21学习过程一、复习预习1. 函数图像的作法2. 函数图像的变换3 / 21二、知识讲解考点 1 函数的零点(1)定义：对于
2、函数 y f(x)(xD) ，把使 f(x)0 成立的实数 x 叫做函数 yf(x)(xD)的零点(2)函数的零点与相应方程的根、函数的图象与 x 轴交点间的关系：方程 f(x)0 有实数根函数 yf(x)的图象与 x 轴有交点函数 yf (x)有零点(3)函数零点的判定(零点存在性定理) ：如果函数 yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)0)的图象与零点的关系 0 0 0二次函数yax 2bxc (a0)的图象与 x 轴的交点 (x1,0)，(x 2,0) (x1,0) 无交点零点个数 两个 一个 零个5 / 21考点 3 二分法的定义对于在区间a，b 上
3、连续不断且 f(a)f(b)0，f e 4 3e 10，因此函数 f(x)e x 4x 3 的零点不在区间( 34) ( 34) 34( 12) ( 12) 12上；对于 B，注意到 f 0，f e 4 3e 20，即函数 f(x)在(0，)上单调递增由 f(2)ln 1x 2x2210，知 x0(2，e)，2eg(x0) x02.8 / 21【例题 2】【题干】已知符号函数 sgn(x)Error!则函数 f(x)sgn( x1)ln x 的零点个数为()A1 B2 C3 D49 / 21【答案】C【解析】依题意得，当 x10，即 x1 时，f(x) 1ln x，令 f(x)0 得 xe1；
4、当 x10，即 x1 时，f( x)0ln 10；当 x10)e2x(1)若 yg(x)m 有零点，求 m 的取值范围；(2)确定 m 的取值范围，使得 g(x)f(x)0 有两个相异实根11 / 21【解析】(1)法一： g(x)x 2 2e ，e2x e2等号成立的条件是 xe ，g(x)的值域是2e，)因而只需 m2e ，则 yg(x )m 就有零点法二：作出 g(x)x (x0)的大致图象如图：e2x可知若使 y g(x)m 有零点， 则只需 m2e.(2)若 g(x)f(x) 0 有两个相异的实根，即 g(x)与 f(x)的图象有两个不同的交点，作出 g(x)x (x0)的大致图象e
5、2xf(x)x 2 2exm1(x e) 2m1e 2.其图象的 对称轴为 xe，开口向下，最大 值为 m1e 2.故当 m1e 22e，即 me 22e1 时，g(x) 与 f(x)有两个交点，即 g(x)f (x)0 有两个相异实根m 的取值范围是(e 22e1， )12 / 21【例题 4】【题干】 (2012 福建高考)对于实数 a 和 b，定义运算“*”：a*bError!设 f(x)(2x1)*(x 1)，且关于 x 的方程 f(x)m(mR) 恰有三个互不相等的实数根 x1， x2，x 3，则x1x2x3 的取值范围是_13 / 21【答案】 (1 316 ，0)【解析】由定义可
6、知，f(x) (2x1)*(x1) Error!即 f(x)Error!作出函数 f(x)的图象，如图所示，关于 x 的方程 f(x)m 恰有三个互不相等的实根 x1，x 2，x 3，即函数 f(x)的图象与直线 ym 有三个不同的交点，则 00 时，x 2xm，即 x2x m0，x 2x 31，00 时，f(x)2 012xlog 2 012x，则在 R 上，函数 f(x)零点的个数为_18 / 215已知函数 f(x)满足 f(x1)f(x) ，且 f(x)是偶函数，当 x0,1时，f(x)x 2.若在区间1,3内，函数 g(x)f( x)kxk 有 4 个零点，则实数 k 的取值范围为_ 19 / 21【拔高】6若函数 F(x)|4x x 2|a 有 4 个零点，求实数 a 的取值范围20 / 217设函数 f(x)log 2(2x 1)，g( x)log 2(2x1)，若关于 x 的函数 F(x)g(x)f(x)m 在1,2 上有零点，求 m 的取值范围21 / 21课程小结
