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1、复数复数教材内容：教材内容：上海市高级中学课本数学一年级第一学期（华东师范大学出版社）第 37 页至第 38 页教学目的：教学目的：1、了解整数、有理数、实数的产生发展过程；2、知道数集扩展的含义；3、了解复数的产生，理解复数的概念。教学重点难点：教学重点难点：实数发展过程，理解复数的概念。教学过程：教学过程：一、回顾实数今天我们来了解数的产生和发展。数是数学的基础。数学命题最终可化为与“数”有关的命题，为解决数学问题奠定基础。我们从小学开始，学了不少的数的知识。那么，同学们对数有何了解呢？比如：自然数的历史是怎样的？无理数又是如何产生的？在历史上，数是如何一步一步地得到扩展的？提问：自然数是
2、如何产生的？（学生一般回答由计数（数数）产生）自然数，也叫做正整数，就是大家所熟知的.它的形成, 3 , 2 , 1n和我们对它性质的认识都源于经验。这种经验是随加法而来，自然数是由加法产生的，没有加法就没有自然数。象篮球队员的号码只是记号，是某些自然数的借用，它们不能用来作运算，如：33 号是否等于 11 号加 22 号？而另一个例子：到银行去存钱，两个月分别存 1 万元，2 万元，两个月总共存了 123 万元。这个例子中的数就是自然数的意义。人们最初只是造了一个一个孤立的数，后来，用每次加（添）上一个元素（数）的方法，把数排成一个队伍（数列） ，形成自然数., 3 , 2 , 1n对于一个
3、数集，如果其中任意两个数在进行一种运算后，结果仍在这个数集中，那么我们说这个数集对于这种运算是封闭的。自然数对加法、乘法封闭。提问：自然数对减法、除法封闭吗？为什么？（学生一般回答不封闭，如 46，73 两个结果都不能用自然数表示。 ）在生产实践中，人们往往需要测量具有相反意义的量，例如，46 可能表示今天到银行存 4 万元，明天去银行支取（借）6 万元；73 可能表示 7 个苹果三个小朋友分。由减法产生负整数与零。事实上，负数与零是很晚才被人们真正认识的。由除法（即分）产生分数（） ，并把分数（含整数）nmNnZm ，称为有理数。我们知道：12；23. 21 32这里引入了记号，表示 12
4、和 23 的结果。21 32提问：加、减、乘、除这四种运算对有理数集封闭吗？零为什么不能作除数？（学生一般回答从整数集扩展到有理数集后，对加、减、乘、除这四种运算是封闭的。除数为零，是没有意义的。 ）追问：为什么没有意义？（学生一般难以回答）我们得从除法的定义考虑原因。依定义：减法是加法的逆运算，除法是乘法的逆运算。82？ ？的意义即为 ？28. 当然 ？4.我们不妨认为 0 可以作除数。设20，产生于 20. 00.02 02 00另一方面，20数？，数？满足？02，这样的数是不存在的。00数？. 数？满足？00，这样的数是任意的，所以如果记号可以用，那么可以表示任何数，这当然会引起混乱。将
5、来对00 00 00在某些方面进一步学习的同学来说，它表示一个变化过程。古希腊人用线段表示正有理数。有一段时间他们认为一切对象由整数组成（分数可以看作是两个整数的比） 。提问：正有理数可以用线段长表示，反过来，线段长是否一定可以用有理数表示呢？（学生一般回答不能，如两边长为 1 的直角三角形的斜边），211222x我们把满足条件的线段长x记作，它能否开尽（有24 . 12 限小数）？提问：你是如何认识的？它是一个有理数吗？为什么不是？2（学生一般回答含糊，这里可引导学生完成下面的证明。 ）一个在数学史上很重要的证明：证明不是有理数。2用反证法：假设是个有理数，设为，其中p，q是非零整2qp数，
6、且p，q互质，所以p，q中有一个是奇数，因，即222 qp，所以p是偶数，q是奇数，设，代入，得222qp np2222qp ，由此q成了偶数，矛盾。所以不是有理数。222qn 2即，因不能用有限个数字表示，最初人们不Qxxx，222承认它是一个数，但它能用线段量，后来，人们引入了一些新的概念，这样的线段长就成了数，称为无理数。这样，人们承认是一个数了。历史上诞生在公元前的古希腊。2作为一个数的记号。将满足“2=2 且0”的数记作.22开方运算产生无理数。提问：无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或无限循环小数呢？那么为什么 是无限循环小数呢？31（学生一般回答）3333. 031我们再举
7、个具体例子。求证：是一个循环小数。2311证明：设，nqqqq321. 02311nnqqqq 1010101033 221其中，.90iq, 2 , 1ni 是这样计算出来的，iq11231011rq 2212310rqr，其中3322310rqr4432310rqr112310kkkrqr.230ir算下去，从第一个不为 0 的 开始，一定会有某两个（因为1rtsrr 中只有 23 个不同的数） ，这样必出现循环或某一个0.ir1kr事实上，这个例子中，不会有某一个0，即不会是有限小1kr2311数，因为若某一个0，则，由是 23 的整数倍，且1kr12310kkqrkr10得0，进而所有
8、的 0（） ，这不可能。230krkrirki, 2 , 1所以，是一个循环小数。2311由于有理数都可以表示成有限小数或循环小数，所以无限不循环小数不是有理数，就称它为无理数了。有理数集加入全体无理数后，扩展成了实数集。在数集从整数集扩展到实数集后，除了对四则运算加减乘除封闭外，正数能进行开方运算，但负数呢？我们先来看两个解方程的例子。例：请分别在我们学过的整数集、有理数集、实数集中解下列方程。（1）；（2）；（3）；（4）.153x42x22x12x（学生一般都能回答：（1）无解，；（2），；（3）无解，无解，3434222；（4）无解，无解，无解。 ）2例：解关于x的方程（）. 02xb
9、xax0a（学生一般都能回答：（） ）aacbbx2422, 1042 acb这个公式形式是非常有意义的，式子中有我们初中所学的六种代数运算，加、减、乘、除、乘方、开方。提问：是怎么来的？当时呢？042 acb042 acb（学生一般都能回答：当有实数解，当时没042 acb042 acb有实数解。 ）是的，历史上，对于x的二次方程，当判别式时，认为042 acb没有解，可以不去解，以前也确实这么做的。到了后来，数学家发现，不仅在推导三次方程求根公式时，要用到负数开平方的运算，即使是解某些有三个实数根的三次方程在用到求根公式时，也要用到负数开平方。于是，慢慢地，产生了负数开方的做法，即认识到负
10、数开平方有意义，是能够运算的。二、引入新数方程求解启发了新数，这样的新数是为了使负数能进行开平方运算。引入新数：引入新数i，称为虚数单位，它具有性质，并且可与实数按12i多项式的四则运算法则进行四则运算。对于实数b（）与虚数单位i相乘，得bi.0b提问：bi为什么不是实数？而是一个新数？（学生一般较难回答）当时，因为，所以bi（）不是实数；0b0)(2222bibbi0b当b=0 时，规定.00ibi注：这里虽有，但还是无法说明.是定义00)0(222ii00 i00 i的。关于虚数单位i的乘方（）有niNn，ii 112iiiii23134iiiii因此，有，（） ，14niiin14124
11、niiin34Nn即虚数单位i的乘方结果只为或.1i将a与bi（）用加号连接：，成为形如的数。Rba、bia biaz我们可以知道，将形式为（）的数，进行加减乘除四bia Rba、则运算，经过合并整理，其结果仍是这种形式，为实数集添加虚数单位i（）后进行多项式四则运算的结果的最简单最基本的形式。12i所以我们称形式（）为复数，且为复数的一般形式，bia Rba、其中a，b分别叫做复数的实部与虚部，并且用与表示。biazzRezIm复数的全体叫做复数集，用字母C表示.复数集是实数集的扩展，在扩展中引入一个新数“i” ，即虚数单位。实数a成为复数在时的特殊情况，因此.bia 0bCR 虚部不为 0 的复数叫做虚数，实部为 0 的虚数叫做纯虚数。实际上，在实数集里添加了虚数单位i后，实数集扩展为复数集，复数集里具有两个单位量，一个是实数单位 1，另一个是虚数单位i，有关实数的，都归并到实部a，有关纯虚数的，都归并到虚部b，所以它一般表示为（）的形式。bia Rba、三、课余练习课本上相应练习；习题册相应练习（略）教案说明：作为复数的第一节课，没有把重点放在复数的介绍，而是和学生一起重点回顾学习了初中所学的实数发展过程，介绍了数集扩展的需要和可能，突出了数的本质在于运算。对学生提高数学修养，有很多好处。
