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1、函数的周期性 主要知识：主要知识：周期函数的定义：对于定义域内的每一个，都存在非零常数，使得1.( )f xxT恒成立，则称函数具有周期性，叫做的一个周期，()( )f xTf x( )f xT( )f x则（）也是的周期，所有周期中的最小正数叫的最小正周期.kT,0kZ k( )f x( )f x几种特殊的抽象函数：具有周期性的抽象函数：2.函数满足对定义域内任一实数（其中为常数）, yf xxa，则是以为周期的周期函数； f xf xa yf xTa，则是以为周期的周期函数； f xaf x xf2Ta，则是以为周期的周期函数； 1f xaf x xf2Ta，则是以为周期的周期函数；f x
2、af xa xf2Ta，则是以为周期的周期函数.1( )()1( )f xf xaf x xf2Ta，则是以为周期的周期函数.1( )()1( )f xf xaf x xf4Ta，则是以为周期的周期函数.1( )()1( )f xf xaf x xf4Ta函数满足（），若为奇函数，则其周期为( )yf x()()f axf ax0a ( )f x，4Ta若为偶函数，则其周期为.( )f x2Ta函数的图象关于直线和都对称，则函数是以( )yf xxRxaxbab( )f x为周期的周期函数；2 ba函数的图象关于两点、都对称，则函数( )yf xxR0,A a y0,B b yab是以为周期的
3、周期函数；( )f x2 ba函数的图象关于和直线都对称，则函数( )yf xxR0,A a yxbab是以为周期的周期函数；( )f x4 ba 3、图象的对称性 一个函数的对称性：1、函数的图象关于点对称( )yf x( , )a b ( )2(2)f xbfaxbxafxaf2)()(特殊的有： 函数的图象关于点对称。( )yf x( ,0)a( )(2)f xfax 函数的图象关于原点对称（奇函数）。( )yf x)()(xfxf函数是奇函数关于点 对称。)(axfy)(xf0 , a，函数关于点 对称cxbfxaf)()()(xfy )2,2(cba 2、两个函数的对称性：)(xfy
4、 与)(xfy关于 X 轴对称。)(xfy 与)( xfy关于 Y 轴对称。)(xfy 与)2(xafy关于直线ax 对称。函数与函数的图象关于直线对称.()yf mxa()yf bmx2abxm函数与函数关于直线对称。)(xafy)(bxy2bax特殊地: 与函数的图象关于直线对称()yf xa()yf axxa与关于直线对称。)(xfy )(2xfayay 关于点(a,b)对称。)2(2)(xafbyxfy与关于直线对称)()(1xfyxfy与xy 例例 1 1 定义在 R 上的非常数函数满足：为偶函数，且，则)10(xf)5()5(xfxf一定是（ ）)(xfA. 是偶函数，也是周期函数
5、B. 是偶函数，但不是周期函数C. 是奇函数，也是周期函数D. 是奇函数，但不是周期函数解：因为为偶函数，所以。)10(xf)10()10(xfxf所以有两条对称轴，因此是以 10 为其一个周期的周期函数，)(xf105xx与)(xf所以 x0 即 y 轴也是的对称轴，因此还是一个偶函数。故选（A） 。)(xf)(xf例例 2 2 设是定义在 R 上的偶函数，且，当时，)(xf)1 ()1 (xfxf01x，则_xxf21)()6 . 8(f解：因为 f(x)是定义在 R 上的偶函数，所以的对称轴；)(0xfyx 是又因为的对称轴。故是以 2 为周)(1)1 ()1 (xfyxxfxf也是所以
6、)(xfy 期的周期函数，所以3 . 0)6 . 0()6 . 0()6 . 08()6 . 8(ffff例例 3 3 函数的图像的一条对称轴的方程是（ ）)252sin(xy45.8.4.2.xDxCxBxA解：函数的图像的所有对称轴的方程是，所以)252sin(xy2252kx，显然取时的对称轴方程是，故选（A） 。2kx1k2x例例 4 4 设是定义在 R 上的奇函数，且的图象关于直线，则：)(xf)(xfy 21x_)5()4()3()2() 1 (fffff解：函数的图像既关于原点对称，又关于直线对称，所以周期是 2，)(xfy 21x又，图像关于对称，所以，所以0)0(f21x0)
7、 1 (f0)5()4()3()2() 1 (fffff例 5、函数对于任意实数满足条件，若则 f xx 12f xf x 15,f _。 5ff练习 1.设 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且 f(1+x)= f(1x),当1x0 时，f (x) = x，则 f (8.6 ) = _ （第八届希望杯高二 第一试题）21解：f(x)是定义在 R 上的偶函数x = 0 是 y = f(x)对称轴；又f(1+x)= f(1x) x = 1 也是 y = f (x) 对称轴。故 y = f(x)是以 2 为周期的周期函数，f (8.6 ) = f (8+0.6 ) = f (0.6 ) = f (
8、0.6 ) = 0.3练习 2 设 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且 f(x+2)= f(x),当 0x1 时，f (x) = x，则 f (7.5 ) = （ ）(A) 0.5(B) 0.5(C) 1.5(D) 1.5解：y = f (x)是定义在 R 上的奇函数，点（0，0）是其对称中心；又f (x+2 )= f (x) = f (x)，即 f (1+ x) = f (1x)， 直线 x = 1 是y = f (x) 对称轴，故 y = f (x)是周期为 2 的周期函数。f (7.5 ) = f (80.5 ) = f (0.5 ) = f (0.5 ) =0.5 故选(B)练习 3
9、 已知在R上是奇函数，且( )f xA2(4)( ),(0,2)( )2,(7)f xf xxf xxf当时，则A.-2 B.2 C.-98 D.98练习 4、 函数满足，若，则( C ) f x 213f xf x 12f 99f（） （） （） （）13213 22 13练习 5、 若 f(x)是 R 上周期为 5 的奇函数，且满足 f(1)=1，f(2)=2 则的值)4() 3(ff为（ ）A、 B、1 C、 D、212练习 6、 已知函数( )f x是(,) 上的偶函数，若对于0x ，都有(2( )f xf x），且当0,2)x时，2( )log (1f xx ），则( 2008)(2
10、009)ff的值为 ( C )A2 B1 C1 D2练习 7、 定义在R上的函数 xf是奇函数又是以2为周期的周期函数,则 741fff等于( B )A.-1 B.0 C.1 D.4 练习 8、 函数( )f x的定义域为 R，若(1)f x与(1)f x都是奇函数，则2) 1 (f( D ) )2009(fA、2009 B、-2009 C 、-2 D.、2练习 9、的定义域是，且,若( )f xR(2)1( )1( )f xf xf x (0)2008f求 f(2008)的值。解：(4)11(2)11(4)1( )(8)(4)1(2)1(4)1(4)1f x f xf xf xf xf xf
11、 xf x f x周期为8，(2008)(0)2008ff 练习 10、已知函数 f（x）的定义域为 R，则下列命题中：若 f（x2）是偶函数，则函数 f（x）的图象关于直线 x2 对称；若 f（x+2）f（x2），则函数 f（x）的图象关于原点对称；函数 yf（2+x）与函数 yf（2x）的图象关于直线 x2 对称；函数 yf（x2）与函数 yf（2x）的图象关于直线 x2 对称.其中正确的命题序号是 .【解析】 是错误的，由于 f（x2）是偶函数得 f（x2）f（x2），所以 f（x）的图象关于直线 x2 对称；是错误的，由 f（x+2）f（x2）得 f（x+4）f（x），进而得 f（x+
12、8）f（x），所以 f（x）是周期为 8 的周期函数；是错误的，在第一个函数中，用x 代 x，y 不变，即可得第二个函数，所以这两个函数图象关于 y 轴对称；是正确的，令x2t，则2xt，函数yf（t）与yf（t）的图象关于直线t0对称， 即函数yf（x2）与yf（2x）的图象关于直线x2对称. 练习 11、f（x）是定义在 R 上的以 3 为周期的奇函数，且 f（2）0，则方程 f（x）0 在区间（0，6）内解的个数的最小值是 ( D )A2 B3 C4 D5【解析】 f（x）为奇函数，f（0）0，又函数 f（x）以 3 为周期，且 f（2）0，f（2）0，f（1）0，f（4）0，f（3）0
13、，f（5）0，在区间（0，6）内的解有 1，2，3，4，5.故选 D.练习 12、对函数 f（x），当 x（，）时，f（2x）f（2+x），f（7x）f（7+x），在闭区间0,7上，只有 f（1）f（3）0.（1）试判断函数 yf（x）的奇偶性；（2）试求方程 f（x）0 在闭区间2005，2005上的根的个数，并证明你的结论.【分析】 由已知 f（2+x）f（2x），f（7x）f（7+x）知f（x）的图象有两条对称轴 x2 和 x7，从而知 f（x）是周期为 10 的周期函数，又在区间0，7上，只有f（1）f（3）0，画图易知，它是非奇非偶函数，且在一个周期0，10上只有 2 个根，故易求得方程 f（x）0 在的根的个数.【解】 （1）由已知得 f（0）0，f（x）不是奇函数，又由 f（2x）f（2+x），得函数yf（x）的对称轴为 x2，f（1）f（5）0，f（1）f（1），f（x）不是偶函数.故函数 yf（x）是非奇非偶函数；（2）由 f（4x）f（14x） f（x）f（x+10），从而知 yf（x）的周期是 10.又 f（3）f（1）0，f（11）f（13）f（7）f（9）
