函数的周期性与函数的图

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1、函数的周期性 主要知识:主要知识:周期函数的定义:对于定义域内的每一个,都存在非零常数,使得1.( )f xxT恒成立,则称函数具有周期性,叫做的一个周期,()( )f xTf x( )f xT( )f x则()也是的周期,所有周期中的最小正数叫的最小正周期.kT,0kZ k( )f x( )f x几种特殊的抽象函数:具有周期性的抽象函数:2.函数满足对定义域内任一实数(其中为常数), yf xxa,则是以为周期的周期函数; f xf xa yf xTa,则是以为周期的周期函数; f xaf x xf2Ta,则是以为周期的周期函数; 1f xaf x xf2Ta,则是以为周期的周期函数;f x

2、af xa xf2Ta,则是以为周期的周期函数.1( )()1( )f xf xaf x xf2Ta,则是以为周期的周期函数.1( )()1( )f xf xaf x xf4Ta,则是以为周期的周期函数.1( )()1( )f xf xaf x xf4Ta函数满足(),若为奇函数,则其周期为( )yf x()()f axf ax0a ( )f x,4Ta若为偶函数,则其周期为.( )f x2Ta函数的图象关于直线和都对称,则函数是以( )yf xxRxaxbab( )f x为周期的周期函数;2 ba函数的图象关于两点、都对称,则函数( )yf xxR0,A a y0,B b yab是以为周期的

3、周期函数;( )f x2 ba函数的图象关于和直线都对称,则函数( )yf xxR0,A a yxbab是以为周期的周期函数;( )f x4 ba 3、图象的对称性 一个函数的对称性:1、函数的图象关于点对称( )yf x( , )a b ( )2(2)f xbfaxbxafxaf2)()(特殊的有: 函数的图象关于点对称。( )yf x( ,0)a( )(2)f xfax 函数的图象关于原点对称(奇函数)。( )yf x)()(xfxf函数是奇函数关于点 对称。)(axfy)(xf0 , a,函数关于点 对称cxbfxaf)()()(xfy )2,2(cba 2、两个函数的对称性:)(xfy

4、 与)(xfy关于 X 轴对称。)(xfy 与)( xfy关于 Y 轴对称。)(xfy 与)2(xafy关于直线ax 对称。函数与函数的图象关于直线对称.()yf mxa()yf bmx2abxm函数与函数关于直线对称。)(xafy)(bxy2bax特殊地: 与函数的图象关于直线对称()yf xa()yf axxa与关于直线对称。)(xfy )(2xfayay 关于点(a,b)对称。)2(2)(xafbyxfy与关于直线对称)()(1xfyxfy与xy 例例 1 1 定义在 R 上的非常数函数满足:为偶函数,且,则)10(xf)5()5(xfxf一定是( ))(xfA. 是偶函数,也是周期函数

5、B. 是偶函数,但不是周期函数C. 是奇函数,也是周期函数D. 是奇函数,但不是周期函数解:因为为偶函数,所以。)10(xf)10()10(xfxf所以有两条对称轴,因此是以 10 为其一个周期的周期函数,)(xf105xx与)(xf所以 x0 即 y 轴也是的对称轴,因此还是一个偶函数。故选(A) 。)(xf)(xf例例 2 2 设是定义在 R 上的偶函数,且,当时,)(xf)1 ()1 (xfxf01x,则_xxf21)()6 . 8(f解:因为 f(x)是定义在 R 上的偶函数,所以的对称轴;)(0xfyx 是又因为的对称轴。故是以 2 为周)(1)1 ()1 (xfyxxfxf也是所以

6、)(xfy 期的周期函数,所以3 . 0)6 . 0()6 . 0()6 . 08()6 . 8(ffff例例 3 3 函数的图像的一条对称轴的方程是( ))252sin(xy45.8.4.2.xDxCxBxA解:函数的图像的所有对称轴的方程是,所以)252sin(xy2252kx,显然取时的对称轴方程是,故选(A) 。2kx1k2x例例 4 4 设是定义在 R 上的奇函数,且的图象关于直线,则:)(xf)(xfy 21x_)5()4()3()2() 1 (fffff解:函数的图像既关于原点对称,又关于直线对称,所以周期是 2,)(xfy 21x又,图像关于对称,所以,所以0)0(f21x0)

7、 1 (f0)5()4()3()2() 1 (fffff例 5、函数对于任意实数满足条件,若则 f xx 12f xf x 15,f _。 5ff练习 1.设 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且 f(1+x)= f(1x),当1x0 时,f (x) = x,则 f (8.6 ) = _ (第八届希望杯高二 第一试题)21解:f(x)是定义在 R 上的偶函数x = 0 是 y = f(x)对称轴;又f(1+x)= f(1x) x = 1 也是 y = f (x) 对称轴。故 y = f(x)是以 2 为周期的周期函数,f (8.6 ) = f (8+0.6 ) = f (0.6 ) = f (

8、0.6 ) = 0.3练习 2 设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且 f(x+2)= f(x),当 0x1 时,f (x) = x,则 f (7.5 ) = ( )(A) 0.5(B) 0.5(C) 1.5(D) 1.5解:y = f (x)是定义在 R 上的奇函数,点(0,0)是其对称中心;又f (x+2 )= f (x) = f (x),即 f (1+ x) = f (1x), 直线 x = 1 是y = f (x) 对称轴,故 y = f (x)是周期为 2 的周期函数。f (7.5 ) = f (80.5 ) = f (0.5 ) = f (0.5 ) =0.5 故选(B)练习 3

9、 已知在R上是奇函数,且( )f xA2(4)( ),(0,2)( )2,(7)f xf xxf xxf当时,则A.-2 B.2 C.-98 D.98练习 4、 函数满足,若,则( C ) f x 213f xf x 12f 99f() () () ()13213 22 13练习 5、 若 f(x)是 R 上周期为 5 的奇函数,且满足 f(1)=1,f(2)=2 则的值)4() 3(ff为( )A、 B、1 C、 D、212练习 6、 已知函数( )f x是(,) 上的偶函数,若对于0x ,都有(2( )f xf x),且当0,2)x时,2( )log (1f xx ),则( 2008)(2

10、009)ff的值为 ( C )A2 B1 C1 D2练习 7、 定义在R上的函数 xf是奇函数又是以2为周期的周期函数,则 741fff等于( B )A.-1 B.0 C.1 D.4 练习 8、 函数( )f x的定义域为 R,若(1)f x与(1)f x都是奇函数,则2) 1 (f( D ) )2009(fA、2009 B、-2009 C 、-2 D.、2练习 9、的定义域是,且,若( )f xR(2)1( )1( )f xf xf x (0)2008f求 f(2008)的值。解:(4)11(2)11(4)1( )(8)(4)1(2)1(4)1(4)1f x f xf xf xf xf xf

11、 xf x f x周期为8,(2008)(0)2008ff 练习 10、已知函数 f(x)的定义域为 R,则下列命题中:若 f(x2)是偶函数,则函数 f(x)的图象关于直线 x2 对称;若 f(x+2)f(x2),则函数 f(x)的图象关于原点对称;函数 yf(2+x)与函数 yf(2x)的图象关于直线 x2 对称;函数 yf(x2)与函数 yf(2x)的图象关于直线 x2 对称.其中正确的命题序号是 .【解析】 是错误的,由于 f(x2)是偶函数得 f(x2)f(x2),所以 f(x)的图象关于直线 x2 对称;是错误的,由 f(x+2)f(x2)得 f(x+4)f(x),进而得 f(x+

12、8)f(x),所以 f(x)是周期为 8 的周期函数;是错误的,在第一个函数中,用x 代 x,y 不变,即可得第二个函数,所以这两个函数图象关于 y 轴对称;是正确的,令x2t,则2xt,函数yf(t)与yf(t)的图象关于直线t0对称, 即函数yf(x2)与yf(2x)的图象关于直线x2对称. 练习 11、f(x)是定义在 R 上的以 3 为周期的奇函数,且 f(2)0,则方程 f(x)0 在区间(0,6)内解的个数的最小值是 ( D )A2 B3 C4 D5【解析】 f(x)为奇函数,f(0)0,又函数 f(x)以 3 为周期,且 f(2)0,f(2)0,f(1)0,f(4)0,f(3)0

13、,f(5)0,在区间(0,6)内的解有 1,2,3,4,5.故选 D.练习 12、对函数 f(x),当 x(,)时,f(2x)f(2+x),f(7x)f(7+x),在闭区间0,7上,只有 f(1)f(3)0.(1)试判断函数 yf(x)的奇偶性;(2)试求方程 f(x)0 在闭区间2005,2005上的根的个数,并证明你的结论.【分析】 由已知 f(2+x)f(2x),f(7x)f(7+x)知f(x)的图象有两条对称轴 x2 和 x7,从而知 f(x)是周期为 10 的周期函数,又在区间0,7上,只有f(1)f(3)0,画图易知,它是非奇非偶函数,且在一个周期0,10上只有 2 个根,故易求得方程 f(x)0 在的根的个数.【解】 (1)由已知得 f(0)0,f(x)不是奇函数,又由 f(2x)f(2+x),得函数yf(x)的对称轴为 x2,f(1)f(5)0,f(1)f(1),f(x)不是偶函数.故函数 yf(x)是非奇非偶函数;(2)由 f(4x)f(14x) f(x)f(x+10),从而知 yf(x)的周期是 10.又 f(3)f(1)0,f(11)f(13)f(7)f(9)

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