东莞市高中数学高三备考交流材料

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1、1东莞市高中数学高三备考交流材料东莞市高中数学高三备考交流材料 三角函数与平面向量 东莞高级中学 赵永红 【三角函数部分三角函数部分】 一、近三年广东省数学卷三角函数部分分析一、近三年广东省数学卷三角函数部分分析年份题号分值知识点所占比值04(5)(9) (11)(17)27三角函数运算、灵活运用、等比数列、 三角函数的知识和运用能力18%05(13) (15)(16)18二项式定理、三角函数的知识和运用能力， 函数的性质，求值12%06(15)14三角函数的知识和运用能力：诱导公式、 周期、最值、求值。9.33%再看全国高考题可以发现：再看全国高考题可以发现： 2004 年，在 15 套试题

2、中，除辽宁、上海两个省市没有命制三角函数解答试题外，其他的 13 道三角函 数解答题，均处在解答题的第一个位置，涉及三角形的三角函数题有 3 题；三角函数知识内部综合的有 11 道，与学科外的知识（数列、向量）综合的有 2 道。2005 年，高考的 16 套试题中，出现三角函数解答试题的有 12 套，其中涉及三角形的三角函数求值 7 道，关联三角形的求值的 4 道，一求三角函数的最值或值域的有 2 道，与导数结合的有 3 道。2006 年，高考的 18 套试题中，出现三角函数解答试题的有 18 道（江苏没有，但上海有 2 道，其中一 个为三角函数应用题） ，其中涉及三角形的有 6 道，求三角函

3、数的最值的 8 道，和向量结合的 4 道。 由此可见： 三角函数解答题是高考命题的一个常考的基础性题形，其命题的热点是章节内部的三角函数求值、 图象的性质问题，命题的冷点是跨章节的学科综合问题。 二、课标解读：课标解读： 新课程标准（讨论搞）：新课程标准（讨论搞）： 1.1.三角函数三角函数 （1）任意角的概念、弧度制 了解任意角的概念. 了解弧度制概念，能进行弧度与角度的互化. （2）三角函数 理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义. 能利用单位圆中的三角函数线推导出，的正弦、余弦、正切的诱导公式，能画出 2的图像，了解三角函数的周期性.sin ,cos ,tanyx yx yx 理解

4、正弦函数、余弦函数在区间0，2的性质（如单调性、最大和最小值与轴交点等）.理解正切x函数在区间（）的单调性.2,2 理解同角三角函数的基本关系式： , 1cossin22xx.tancossinxxx 了解函数的物理意义；能画出的图像，了解参数对函数图sin()yAxsin()yAx,A 像变化的影响. 了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题 2.2.简单的三角恒等变换简单的三角恒等变换 能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不 要求记忆）.解三角形2（1）正弦定理和余弦定理 掌握正弦定理、余弦定理，并能解

5、决一些简单的三角形度量问题. (2) 应用能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题. 新课标强调三角函数是描述周期现象的重要函数模型，重点是三角函数的图象性质（含三角形应用）新课标强调三角函数是描述周期现象的重要函数模型，重点是三角函数的图象性质（含三角形应用） 和应用。新课标重视集合的直观作用，借助三角函数图象（单位员圆）理解周期性，和应用。新课标重视集合的直观作用，借助三角函数图象（单位员圆）理解周期性， （在一个周期上的）单（在一个周期上的）单 调性、最值、图象与调性、最值、图象与 x x 轴的交点等性质；重视信息技术直观地分析三角函数轴的交点等性质；

6、重视信息技术直观地分析三角函数 y=Asiny=Asin（x+x+）的图象和性）的图象和性 质极其变化规律；在三角函数应用部分，增加了范例和课时，突出数学建摸思想方法和应用意识；对传统质极其变化规律；在三角函数应用部分，增加了范例和课时，突出数学建摸思想方法和应用意识；对传统 的（简单的）三角恒等变形，要求能进行三角函数求值化简和证明，对积化和差、和差化积、半角公式只的（简单的）三角恒等变形，要求能进行三角函数求值化简和证明，对积化和差、和差化积、半角公式只 作为基本训练。作为基本训练。 解三角形作为几何度量问题处理运用正弦定理、余弦定理等知识解决一些测量和几何计算解三角形作为几何度量问题处理

7、运用正弦定理、余弦定理等知识解决一些测量和几何计算 有关的实际问题，体现量化思想，对三角变换（含三角形中的恒等变形）应控制难度。有关的实际问题，体现量化思想，对三角变换（含三角形中的恒等变形）应控制难度。 三、复习建议：三、复习建议：试题中的三角函数题相对比较传统，难度较低，位置靠前。因此，在复习过程中一要注重三角知识的基 础性，突出三角函数的图象、周期性、单调性、奇偶性、对称性等性质；二要对化简、求值和最值等重点 内容进行复习；三要注重三角知识的工具性，突出三角与代数、几何、向量的综合联系及三角知识的应用 问题。 从 06 年考纲到现在的课标将三角函数的图象和性质，由“了解”改为“理解” ，

8、提高了一个层次。因 此，考生在复习中要作出相应的调整，要能比较熟练地画出三角函数图象，理解诸如周期、单调性、最值、 对称中心、对称轴之间的相互联系；在解答试题时，要注意先化简三角函数式，再研究其图象和性质。化 简的思路是： 化为一角、一名、一次的正弦（余弦） 。 宏观上的预测范围：宏观上的预测范围：三角函数的考查近年有逐步强化的趋势，主要表现在对三角函数的图像与性质的 考查。 高考题型大致可以分为如下几类问题：与三角函数单调性有关的问题，与三角函数图像有关的问题， 应用同角变换和诱导公式，求三角函数的值及化简、等式的证明的问题，与周期性和对称性有关的问题， 三角形中的问题等。 难度对策难度对策

9、：由于三角函数题是基础题，常规题，属于容易题、可做题的范畴，因此，三角函数部分的 复习应控制在课本的范围和难度上，这样就能适应高考命题的要求。 微观上的把握：微观上的把握： 1、根据 06 年考纲将三角函数的图象和性质，由“了解”改为“理解” ，提高了一个层次。因此，在复习中 要作出相应的调整，要能比较熟练地画出三角函数图象，理解诸如周期、单调性、最值、对称中心、对称 轴之间的相互联系；在解答试题时，要注意先化简三角函数式，再研究其图象和性质。 化简的思路是：化为一角、一名、一次的正弦（余弦） 。 2、三角函数的化简、求值与证明。主要考查公式的灵活运用、变换能力，一般运用和角与差角、倍角公式，

10、 常常采用以下一些基本策略。 （1）常值代换：特别是用“1”的代换，如 1=cos2+sin2=tanxcotx=tan45等。 （2）项的分拆与角的配凑。 如分拆项：sin2x+2cos2x=(sin2x+cos2x)+cos2x=1+cos2x； 配凑角：=（+），=?等。 （3）降幂与升幂。 （4）化弦（切）法。 （5）引入辅助角（化一） asin+bcos=sin(+)，这里辅助角 所在象限由 a、b 的 符号确定， 角的值由 tan=ba 确定。 （6）公式变用：tan+tan+tan（+）tantan=tan（+） 要注意三角变换一个难点也是易错 点是：符号的确定。 考生既要知道在

11、用诱导公式和开方时要确定符号；又要真正理解确定符号如何看象 限。 3、三角函数的应用，通过解三角形来考查学生三角恒等变形及对三角函数性质的综合应用能力；一要善于 根据条件选用正弦和余弦定理，二要善于联想平面几何性质和向量工具，使得视野更加开阔。 3四、四、 【典例分析典例分析】 （）理解三角函数的定义和同角关系和会用诱导公式，特别注意开方时符号的选取；（）理解三角函数的定义和同角关系和会用诱导公式，特别注意开方时符号的选取；1.如果，且是第四象限的角，那么_cos51)2cos(（）能运用和与差的三角函数公式、二倍角进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角（）能运用和与差的三角函数

12、公式、二倍角进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角 公式，但对这三组公式不要求记忆）公式，但对这三组公式不要求记忆） 三角公式是三角函数的心脏，它贯穿于三角运算的整个过程之中。三角公式是三角函数的心脏，它贯穿于三角运算的整个过程之中。2.已知函数，12sin(2)4( )cosx f xx （）求的定义域；（）设是第四象限的角，且，求的值.( )f x4tan3 ( )f解：（）由得。cos0x ()2xkkZ故的定义域为， f x,2x xkkZ（）因为且第四象限的角，所以43tan,cos,55 43sin,cos,55 故 12sin(2)4 cosf 2212(sin2c

13、os2 )22 cos 1 sin2cos2 cos 22cos2sincos cos 2 cossin14 5（）会用三角公式进行简单的三角函数式的化简和求值（）会用三角公式进行简单的三角函数式的化简和求值3.已知，40,sin25（）求的值；（）求的值。22sinsin2 coscos2 5tan()4解：()由，得，所以。40,sin253cos522sinsin2 coscos2 22sin2sincos203cos1 （），。sin4tancos35tan11tan()41tan7（）理解正弦函数、余弦函数在区间（）理解正弦函数、余弦函数在区间00，22的性质（如单调性、最大和最小值

14、与轴交点等）的性质（如单调性、最大和最小值与轴交点等）. .理解正切理解正切函数在区间函数在区间（）的单调性的单调性. .2,24.已知函数,则的值域是11( )(sincos )sincos22f xxxxx( )f x(A) (B) (C) (D)1,12,12 21,2 21,2 4【解析】cos (sincos )11( )(sincos )sincossin (sincos )22xxxf xxxxxxxx即等价于，故选择答案 C。minsin ,cos xx（重点）5.已知函数.( )sinsin(),2f xxxxR(I)求的最小正周期；(II)求的的最大值和最小值；( )f x

15、( )f x解：)4sin(2cossin)2sin(sin)(xxxxxxf（）的最小正周期为;)(xf212T（）的最大值为和最小值；)(xf22（）因为，即,即43)(f167cossin243cossin 1672sin（选做）6. 已知函数，且的最大值为 2，其图2( )sin ()(0,0,0)2f xAxA( )yf x象相邻两对称轴间的距离为 2，并过点（1,2）. （I）求（II）计算.(1)(2)(2008)fff解：（I）2sin ()cos(22 ).22AAyAxx的最大值为 2，.( )yf x0A 2,2.22AAA又其图象相邻两对称轴间的距离为 2，01 2()2,.2 24.22( )cos(2 )1 cos(2 )2222f xxx 过点