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1、大毛毛虫倾情搜集精品资料大毛毛虫倾情搜集精品资料20092009 年高考解析数学年高考解析数学( (理科）分项版之专题九立体几何教师版理科）分项版之专题九立体几何教师版【考查要点考查要点】 高考考纲要求 1掌握直线与平面的位置关系。2掌握空间的角和距离的计算。3了解多面体、凸 多面体、正多面体、棱柱、棱锥、球的概念，了解多面体的欧拉定理。掌握棱柱、正棱锥的性质，及球 的表面积、体积公式。4画图、读图、想图的要求。 59（A）还包括，会用反证法证明简单的问题 6能力要求：以空间想象能力为基础，运用 思维能力、运算能力等，对具体的空间图形进行位置关系 的判断、证明和计算 高考分值：一般在 17-2
2、2 分之间，题型一般为 1 个选择题，1 个填空题，1 个解答题. 考查重点 仍然是直线与平面的位置关系判定、证明及角度与距离的计算。直线平面的平行、垂直作为 知识体系的轴心，在考查中地位突出，贯穿整个大题。角度的计算线线角、线面角、二面角是必考内容， 线面角、二面角的出现频率更高些。距离以点面距、异面直线的距离为主，前者的出现频率更高。 考查方式(1)大题以考查直线与平面的位置关系的证明，角度与距离计算为主。大题通常以多面体为载 体，如正方体、长方体、三棱柱、四棱柱、三棱锥、四棱锥，09 年全国大部分试卷中立几以四棱锥为载 体；有时出现不规则几何体，或改变常用几何体的放置方式，这些变化提高了
3、空间想象的要求。 (2)小题类型大体有：直线与平面的位置关系的判定，角度、距离的计算（用于覆盖大题未考查到的内容） ，球的问题，体积、表面积问题，空间想象能力，与其它知识综合的问题（如排列组合等）， 考查难度 立体几何大题一般出现在试卷中第 18、19 题，难度中等，少数省份出现在 20、21 或 17 题位 置，难度中等偏上或偏下。小题通常为容易题、中等题，中上难度的题也时有出现。【名师解题指南名师解题指南】1有关平行与垂直(线线、线面及面面)的问题，是在解决立体几何问题的过程中，大量的、反复遇 到的，而且是以各种各样的问题(包括论证、计算角、与距离等)中不可缺少的内容，因此在主体几何的总
4、复习中，首先应从解决“平行与垂直”的有关问题着手，通过较为基本问题，熟悉公理、定理的内容和 功能，通过对问题的分析与概括，掌握立体几何中解决问题的规律充分利用线线平行(垂直)、线面平 行(垂直)、面面平行(垂直)相互转化的思想，以提高逻辑思维能力和空间想象能力2判定两个平面平行的方法：（1）根据定义证明两平面没有公共点；（2）判定定理证明一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面；（3）证明两平面同垂直于一条直线。 3两个平面平行的主要性质：由定义知：“两平行平面没有公共点”。由定义推得：“两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。两个平面平行的性质定理：“如果两个平行平面同时和第
5、三个平面相交，那 么它们的交线平行”。一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。夹在两个平行平面间的平行线段相等。经过平面外一点只有一个平面和已知平面平行。 以上性质、在课文中虽未直接列为“性质定理”，但在解题过程中均可直接作为性质 定理引用。4空间的角和距离是空间图形中最基本的数量关系，空间的角主要研究射影以及与射影有关的定理、 空间两直线所成的角、直线和平面所成的角、以及二面角和二面角的平面角等解这类问题的基本思路 是把空间问题转化为平面问题去解决空间的角，是对由点、直线、平面所组成的空间图形中各种元素间的位置关系进行定量分析的一个重要概念，由它们的定义，可得其取值范围
6、，如两异面直线所成的角 (0，直线与平面所成的角2，二面角的大小，可用它们的平面角来度量，其平面角 0，0,2 对于空间角的计算，总是通过一定的手段将其转化为一个平面内的角，并把它置于一个平面图形，大毛毛虫倾情搜集精品资料大毛毛虫倾情搜集精品资料而且是一个三角形的内角来解决，而这种转化就是利用直线与平面的平行与垂直来实现的，因此求这些 角的过程也是直线、平面的平行与垂直的重要应用通过空间角的计算和应用进一步培养运算能力、逻 辑推理能力及空间想象能力 如求异面直线所成的角常用平移法（转化为相交直线）与向量法；求直线与平面所成的角常利用射 影转化为相交直线所成的角；而求二面角 l 的平面角（记作）
7、通常有以下几种方法： (1) 根据定义； (2) 过棱 l 上任一点 O 作棱 l 的垂面 ，设 OA，OB，则AOB ； (3) 利用三垂线定理或逆定理，过一个半平面 内一点 A，分别作另一个平面 的垂线 AB(垂足为 B),或 棱 l 的垂线 AC(垂足为 C)，连结 AC，则ACB 或ACB； (4) 设 A 为平面 外任一点，AB，垂足为 B，AC，垂足为 C，则BAC或 BAC； (5) 利用面积射影定理，设平面 内的平面图形 F 的面积为 S，F 在平面 内的射影图形的面积为S，则 cos.SS5.空间的距离问题，主要是求空间两点之间、点到直线、点到平面、两条异面直线之间（限于给出
8、公 垂线段的）、平面和它的平行直线、以及两个平行平面之间的距离 求距离的一般方法和步骤是：一作作出表示距离的线段；二证证明它就是所要求的距离； 三算计算其值此外，我们还常用体积法求点到平面的距离 6棱柱的概念和性质 理解并掌握棱柱的定义及相关概念是学好这部分知识的关键，要明确“棱柱 直棱柱 正棱柱” 这一系列中各类几何体的内在联系和区别。 平行六面体是棱柱中的一类重要的几何体，要理解并掌握“平行六面体 直平行六面体 长方 体 正四棱柱 正方体”这一系列中各类几何体的内在联系和区别。 须从棱柱的定义出发，根据第一章的相关定理对棱柱的基本性质进行分析推导，以求更好地理解、 掌握并能正确地运用这些性
9、质。 关于平行六面体，在掌握其所具有的棱柱的一般性质外，还须掌握由其定义导出的一些其特有的 性质，如长方体的对角线长定理是一个重要定理并能很好地掌握和应用。还须注意，平行六面体具有一 些与平面几何中的平行四边形相对应的性质，恰当地运用平行四边形的性质及解题思路去解平行六面体 的问题是一常用的解题方法。 多面体与旋转体的问题离不开构成几何体的基本要素点、线、面及其相互关系，因此，很多问题 实质上就是在研究点、线、面的位置关系，与直线、平面、简单几何体第一部分的问题相比，唯一 的差别就是多了一些概念，比如面积与体积的度量等从这个角度来看，点、线、面及其位置关系仍是 我们研究的重点 经纬度及球面距离
10、 根据经线和纬线的意义可知，某地的经度是一个二面角的度数，某地的纬度是一个线面角的度数， 设球 O 的地轴为 NS，圆 O 是 0纬线，半圆 NAS 是 0经线，若某地 P 是在东经 120，北纬 40， 我们可以作出过 P 的经线 NPS 交赤道于 B，过 P 的纬线圈圆 O1交 NAS 于 A，那么则应有： AO1P=120(二面角的平面角) ，POB=40（线面角）。 两点间的球面距离就是连结球面上两点的大圆的劣弧的长，因此，求两点间的球面距离的关键就 在于求出过这两点的球半径的夹角。 例如，可以循着如下的程序求 A、P 两点的球面距离。线段 AP 的长 AOP 的弧度数 大圆劣弧 AP
11、 的长球的表面积及体积公式 S球表=4R2 V球=R334球的体积公式可以这样来考虑：我们把球面分成若干个边是曲线的小“曲边三角形”；以球心为 顶点，以这些小曲边三角形的顶点为底面三角形的顶点，得到若干个小三棱锥，所有这些小三棱锥的体 积和可以看作是球体积的近似值.当小三棱锥的个数无限增加，且所有这些小三棱锥的底面积无限变小时， 小三棱锥的体积和就变成球体积，同时小三棱锥底面面积的和就变成球面面积,小三棱锥高变成球半径.由于第 n 个小三棱锥的体积Snhn（Sn为该小三棱锥的底面积,hn为小三棱锥高），所以 V球S球31 31大毛毛虫倾情搜集精品资料大毛毛虫倾情搜集精品资料面R4R2RR3.3
12、1 34球与其它几何体的切接问题，要仔细观察、分析、弄清相关元素的位置关系和数量关系，选择最佳角 度作出截面，以使空间问题平面化。【09【09 真题全解全析真题全解全析】考点考点1：证明空间线面平行与垂直证明空间线面平行与垂直1 山东理 5. 已知 ， 表示两个不同的平面，m 为平面 内的一条直线，则“”是“”的( )mA.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件大毛毛虫倾情搜集精品资料大毛毛虫倾情搜集精品资料4 全国 1 理 18（本小题满分 12 分）如图，四棱锥中，底面为矩形，底面SABCDABCDSD ， ，点 M 在侧棱上，=60ABCD2AD 2D
13、CSDSCABM（I）证明：M 在侧棱的中点SC（II）求二面角的大小。SAMB大毛毛虫倾情搜集精品资料大毛毛虫倾情搜集精品资料5 四川理 19（本小题满分 12 分）如图，正方形所在平面与平面四边形所在平面互相垂直，ABCDABEF是等腰直角三角形，（I）求证：；ABE,45ABAE FAFEAEFEFBCE 平面（II）设线段的中点为，在直线上是否存在一点，使得？若存在，请指CDPAEMPMBCEA平面出点的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由；（III）求二面角的大小。MFBDA6 辽宁理（18）（本小题满分 12 分）如图，已知两个正方行 ABCD 和 DCEF 不在同一平面内，
14、M，N 分别为 AB，DF 的中点。（I）若平面 ABCD 平面 DCEF，求直线 MN 与平面 DCEF 所成角的正值弦；（II）用反证 法证明：直线 ME 与 BN 是两条异面直线。 大毛毛虫倾情搜集精品资料大毛毛虫倾情搜集精品资料()假设直线 ME 与 BN 共面，8 分则 AB平面 MBEN，且平面 MBEN 与平面 DCEF 交于 EN 由已知，两正方形不共面，故 AB平面 DCEF。又 AB/CD，所以 AB/平面 DCEF。面 EN 为平面 MBEN 与平面 DCEF 的交线，所以 AB/EN。又 AB/CD/EF，所以 EN/EF，这与 ENEF=E 矛盾，故假设不成立。所以
15、ME 与 BN 不共面，它们是异面直线. 12 分 7 宁夏理（19）（本小题满分 12 分）如图，四棱锥S-ABCD 的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边 长的倍，P 为侧棱 SD 上的点。 （）求证：ACSD；（）若SD平面PAC，求二面角P-AC-D的大2小（）在（）的条件下，侧棱 SC 上是否存在一点 E，使得 BE平面 PAC若存在，求 SE:EC 的值； 若不存在，试说明理由。 解法一：（）连 BD，设 AC 交 BD 于 O，由题意。在正方形 ABCD 中，所以SOACACBD,得.ACSBD 平面ACSD()设正方形边长，则。又，所以, a2SDa2 2ODa060SOD连，由（）知,所以, w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 且,所以是二面角OPACSBD 平面ACOPACODPOD的平面角。由,知,所以,即二面角的大PACDSDPAC 平面SDOP030PODPACD小为。030大毛毛虫倾情搜集精品资料大毛毛虫倾情搜集精品资料（）在棱上存在一点使.由（）知是平面的一个法向量，且 SCE/BEPAC
