点函数的积分概念

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1、第八节第八节 点函数的积分概念点函数的积分概念迄今为止, 我们先后学习了定积分、二重积分、三重积分、曲线积分、曲面积分等多 种不同类型的积分. 在学习过程中, 我们也注意到上述各类积分在定义与性质的表述上相当 类似,那么是否可从上述积分概念中抽象出一种统一的积分概念的表述, 使得上述各类积分 都是它的一种特殊情形呢? 这个问题的答案是肯定的. 由此要引入点函数积分的概念.内容分布图示内容分布图示 引 言 点函数积分的概念 点函数积分的性质 点函数积分的分类及其关系 返回内容要点：内容要点： 点函数积分的概念 点函数积分的性质 点函数积分的分类及其关系一、点函数积分的概念一、点函数积分的概念定义

2、定义 1 设为有界闭区域, 函数为上的有界点函数. 将形体)(PPfu任意分成 n 个子闭区域其中表示第 i 个子闭区域, 也表示它的,21ni度量, 在上任取一点, 作乘积iiP), 2 , 1()(niPfii并作和 niiiPf1)(如果当各子闭区域的直径中的最大值趋近于零时, 这和式的极限存在, 则称此极限i为点函数在上的积分, 记为, 即)(Pf dPf)(.)(lim)(10 niiiPfdPf 其中称为积分区域积分区域, 称为被积函数被积函数, P 称为积分变量积分变量, 称为被积表达式被积表达式, )(PfdPf)(称为的度量微元度量微元.d 点函数积分具有如下物理意义: 设一

3、物体占有有界闭区域, 其密度为则该物体的质量),)(PPf)0)(,)(PfdPfM特别地, 当时, 有1)(Pf).(lim10度量 niid 如果点函数在有界闭区域上连续, 则在上可积.)(Pf)(Pf二、点函数积分的性质二、点函数积分的性质设在有界闭区域上都可积, 则有)(),(PgPf性质性质 1 .)()()()( dPgdPfdPgPf性质性质 2 )()()(为常数kdPfkdPkf 性质性质 3 ,)()()(21 dPfdPfdPf其中且与无公共内点.,21 12性质性质 4 若 则, 0)(PPf. 0)( dPf性质性质 5 若 则,),()(PPgPf.)()( dPg

4、dPf特别地, 有.| )(|)( dPfdPf性质性质 6 若在积分区域上的最大值为 M, 最小值为 m, 则)(Pf.)( MdPfm性质性质 7 (中值定理)若在有界闭区域上连续, 则至少有一点使得)(Pf,*P.)()(* PfdPf其中称为函数在上的平均值平均值. dPf Pf)( )(*)(Pf三、点函数积分的分类及其关系三、点函数积分的分类及其关系1.若这时则,Rba,),()(baxxfPf(1).)()(badxxfdPf这是一元函数在区间上的定积分定积分. 当时, 是区间长.)(xf,ba1)(xfabdxba2.右且 L 是一平面曲线, 这时于是,2RL ,),(),()

5、(LyxyxfPf(2)LdsyxfdPf),()(当时, 是曲线的弧长. (2)式称为第一类平面曲线积分第一类平面曲线积分.1)(Pfsds L3.若且是空间曲线, 这时则,3R,),(),()(zyxzyxfPf(3).),()( dszyxfdPf当时, 是曲线的弧长. (3)式称为第一类空间曲线积分第一类空间曲线积分.1)(Pfsds 2、3 的特殊情形是曲线为直线段, 而直线段上的点函数积分本质上是一元函数的定积分,这说明可用一次定积分计算, 因此用了一次积分号.dszyxfdsyxf L),(,),(4.若且 D 是平面区域, 这时 则,2RD ,),(),()(DyxyxfPf(

6、4)DdyxfdPf),()(4)式称为二重积分二重积分. 当时, 是平面区域 D 的面积.1),(yxf Dd5.若且是空间曲面, 这时 则,3R,),(),()(zyxzyxfPf(5) dSzyxfdPf),()(5)式称为第一类曲面积分第一类曲面积分. 当时, 是空间曲面的面积.1)(PfSdS 由于(5)的特殊情形是平面区域上的二得积分, 说明该积分可化为两次定积分的计算, 因此 用二重积分号.6.若为空间立体, 这时 则3R,),(),()(zyxzyxfPf(5).),()( dvzyxfdPf(6)式称为三重积分三重积分. 当, 则是空间立体的体积.1)(PfVdv 更进一步, 我们还可以利用点函数积分的概念统一来表述占有界闭区域的物体的重心、 转动惯量、引力等物理概念, 此处不再表述.