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1、1初二几何第四章 第三单元 梯形一、教法建议【抛砖引玉抛砖引玉】本单元的内容分为：梯形、平行线等分线段的定理、三角形、梯形的中位线。 梯形是与平行四边形并列的另一种特殊四边形，它有一组对边平行，而另一组对边 不平行。除研究一般梯形外，重点研究一种特殊梯形等腰梯形。在介绍了平行 四边形和梯形的基础上，介绍平行线等分线段定理，进一步应用这个定理的推论， 证明三角形，梯形的中位线定理。本单元的重点是平行线等分线段定理，因为它不仅是推证三角形，梯形中位线 定理的基础，而且是第五章中“平行线分线段成比例定理”的基础，要使学生掌握 这个定理，并且认识它的变式。在研究梯形时，对常用辅助线的添设，平移法，作等
2、高线要熟练掌握，以便把 梯形问题转化为三角形或平行四边形去解决。转化法孕育在教学的各部分，让学生 领会化未知为已知，用已知求未知的思想方法，从而提高学生分析问题和解决问题 的能力。【指点迷津指点迷津】本单元中应用辅助线比较多，辅助线添设的恰当与否，将以梯形问题转化为三 角形问题及平行四边形问题起着关键性的一步，为此，对梯形有关定理一定要熟练 掌握，添设辅助线的常用方法及基本图形要熟记，如下图：【精典题解精典题解】课本 193 页第 20 题，是这样叙述的：从ABCD 的顶点 A、B、C、D 向形外的任意直线 MN 引垂线 AA、BB、CC、DD，垂足分别为 A、B、C、D。（如图 1）求证：A
3、A+CC=BB+DD现在把原题做些变化，直线 MN 是“形外的任意直线”，如果把直线位移将 有什么结果。2从图 1，将 MN 向上平移，使 A 点在 MN 的一侧，B、C、D 在 MN 的另一 侧，（如图 2）这时 AA、BB、CC、DD之间存在着什么关系？从图 2，将 MN 继续向上平移（如图 3），AA、BB、CC、DD之间存在 着什么关系？根据图 2、图 3，写出你的猜想，并加以证明。 揭示思路 1：通过实际测量，发现垂线段之间关系。试题中问我们，“垂线段 AA、BB、CC、DD之间存在什么关系？”显然告 知我们要求它们之长的长度和、差关系。怎样知道几条垂线段的长度呢？实际精确 测量是解
4、决线段长度的一种基本方法，（人教版几何第一册，物理第一册都介绍了 具体测量方法），在学习几何过程中，为了发现问题，如果图形画的十分准确，也 可以采用测量的方法去探求思路，测量后还要加以证明。根据图 2，图 3 分别测量， 测量结果如下：图乙各垂线段长度：AA=0.6cm，BB=0.4cm，CC=2.2cm，DD=1.2cm。图丙各垂线段长度：AA=1.4cm，BB=0.5cm，CC=1.3cm，DD=0.4cm。根据实际测量数据，发现它们的关系是：对图乙可有结论：CCAA=BB+DD=1.6cm。对图丙可有结论：AACC=DDBB=0.1cm。通过测量发现了所求线段之间的关系，现在来证明这个结
5、论： 本例由课本上一个熟悉的问题通过运动将定直线 MN 变为动直线 MN，向上进 行平移，变成一个新题目，成为陌生问题。 要证明这一结论，我们可这样联想，既然直线 MN 可向上平移，我们不也可 以将直线 MN 向下平移吗？恢复本来面目，把陌生问题再转化为熟悉问题。 证明新的结论，AACC=BBDD 证明：对于图形乙的结论，CCAA=BB+DD进行证明，平行移动 MN 到 MN位置，使 MN在ABCD 的形外，设 AA，BB，CC，DD分别交 MN3于 A，B，CC，D。 AA，BB，CC，DD分别垂直于 MN 于 A、B、C、D。AA，BB，CC，DD分别垂直于 MN于 A，B，C，D，且 A
6、A=BB=CC=DD，由课本证明结论有： AA+CC=BB+DD。 即(AAAA)+(CC+CC)=(BB+BB)+(DD+DD) CCAA=DD+BB图形乙的结论得证。 对于图丙的情况的证明，仿照的作法将直线 MN 平移到ABCD 的形外， 类似图乙的证法可以得 AACC=BBDD。揭示思路 2：构造全等形，研究线段之间的关系。研究线段之间的关系，通常都是设法构造全等三角形，可找到思路： 如图，作 BQCC，Q 为垂足，则 BBCQ 为矩形，BB=CQ，CQB=90 作 APDD，P 为垂足，则 AADP 为矩形， AA=PD，APD=90，CQB=APD。 ABCD 为平行四边形，ADBC
7、 DDMN，CCMN，DDCC ADP=BCQ ADPBCQ，DP=CQ 即 DD+DP=CCQC AA=DP，QC=BB DD+AA=CCBB CCAA=BB+DD 如图，同理可证：AACC=BBDD对本例亦采取如下构造全等三角形的方法 进行证明：如上两图，仿揭示思路 1 可证得APBCQD，进而可得： CCAA=BB+DD，AACC=BBDD揭示思路 3：应用梯形中位线性法打开思路。观察图形乙可发现梯形 CCDD，图形丙有梯形 AABD，CCDD，由此可联 想梯形中位线的性质，它是打开梯形问题思路的常规方法，进行探索，果然凑效。 连结 AC，BD 相交于点 O，过 O 点 作 OOMN，垂
8、足为 O DDMN，BBMN，OOMN，O4是 BD 中点，DDBB 是梯形，且 OO是中线，OO=(BB+DD)21连结 AA，AC，延长 OO与 AC于点 F，延长 OO 交 AC 于点 E，AAMN，CCMN，AACC是梯形，又是 AC 的中点，OOMN EF 是梯形 AACC的中位线OO+OF=CC，OF=AA21 21OO=(CCAA)21由、可知：CCAA=BB+DD 对于 AA，CC这两条垂线段，在直线 MN 的两侧，由的证明可知：OO=(CCAA)。21对于 BB，DD两条垂线段放在直线 MN 的两则，同理：OO=(DDBB)。21AACC=BBDD从本例揭示思路可启示我们，平
9、移法在几何变换中的重要作用，通过平移变换， 可化陌生问题为熟悉问题，用已熟悉的方法，解决新问题，对平移法在几何变换中， 还可变分散为集中，变隐为明，化难为易，其功效之大，应引起学生重视，尤其研 究直线型问题，要经济想到它。对于研究线段之间的关系，常规思路是构造全等三角形，将四边形问题（如梯 形）转化为全等三角形问题。对于遇到的新问题，优先要考虑常规方法，再考虑非 常规方法，这符合扩散思维规律。观察正确图形，准确进行测量，获得第一手材料，使可大胆猜想；一般说是可 以成功。如本例，度量后发现垂线段之间关系，使我们证题有了目标。解题的突破 口便易找到，进一步观察图形中有梯形模型，自然引起我们联想梯形
10、有关性质、定 理，将问题向梯形方面靠拢，转化，沿梯形方面探索，获得了成功，敏锐观察，直 觉思维方法也是找到解题思路的好方法。直觉思维是人们最熟悉的一种思维方法， 看得见、摸得着，一定要发挥它的长处，不断培养自己的直觉思维能力，强化自己 直觉思维能力。【思维体操思维体操】例，如图，在梯形 ABCD 中，腰 AD=BC=4，DAB=60，AC 平分DAB， 求梯形 ABCD 的面积。思维扩散一：求梯形面积，首先应当想到什么？看题目有没有利用公式直接求 梯形面积的条件？如果没有，缺什么？怎么找？求梯形面积，首先想到利用梯形公式，S梯形=(上底+下底)高；21S梯形=梯形中位线高，看本例的条件，可直线
11、求出上、下底，现在需要作高， 求高，这也是解梯形问题常用的方法。故作 CEAB 于 E5CA 平分DAB，DAB=60，ABDC（如图） CAB=CAD=ACD=30 CD=AD=4，BC=CD=4 B=60，ACB=90 AB=2BC=24=8作 CEAB，E 为垂足，则 BE=BC=221CE=3224BEBC2222S梯形 ABCD=(AB+CD)CE21=(4+8)2=122133思维扩散二：本例亦可采取一分为二的办法。观察图形，可发现S梯形 ABCD=SACD+SABC，仿扩散一可求得：DC=4，AB=8，CE=23进而可求：S梯形 ABCD=CDCE+ABCE21 21=42+82
12、=122132133思维扩散三：由DAB=CBA=60，可启发我们延两腰相交，构成两个等边 三角形，那么 S梯形 ABCD=SABESDCE，根据等边三角形面积公式：S正=（a 代表正三角形边长）只要求得 AB、CD 的2 43a长便可以了，仿扩散一可求得：AB=8，CD=4，于是有S梯形 ABCD=AB2CD243 43=8242=1243 433思维扩散四：对于梯形问题，采取平行移腰，可转 化为一个平行四边形与一个三角形，可开辟新的解题途 径，对本例，根据题设条件，可知ADE 是等边三角形， 而平行四边形 BCDE 面积是ADE 面积的 2 倍于是可求 得：S梯形 ABCD=3SADE=3
13、42=12。433思维扩散五：如图，在梯形 ABCD 中，腰 AD=BC=4，DAB=60，AC 平分DAB，过点 C 作 CEAD 交 AB 于点 E，求证：(1)BCE 为等边三角形； (2)四边形 AECD 为菱形。揭示思路：本例根据题设条件，采取计算的方法，求出各线段之长便可达到目 的，具体证法留给读者。思维扩散六：题设同扩散五，添加延长 CE 交 F，使 EF=CE，试证四边形6AFBC 为矩形。揭示思路：画图和证明请读者完成。这道习题进行思维扩散，再现了梯形添设辅助线的规律“作等高、延两腰必相 交、平移腰、平移对角线、添设中位线，割补等方法”。另外向读者再现转化的方 法，通过辅助线
14、的添设，把梯形问题转化为三角形和平行四边形问题，用旧知识解 决新问题。梯形这一内容，实际上是把平行四边形、矩形、菱形、正方形为一体， 对本章也是最好的小结。 有了梯形中位线定理和三角形中位线定理等有关定理，为在解题中发展扩散性 思维提供了条件，思路开扩了，解题就灵活得多了二、智能显示【心中有数心中有数】梯形是四边形最后一个单元，难度大，联系知识广，对已学旧知识与未学新知 识起着承前启后的作用。方程、方程组、相似形、圆、函数、正方形、平行四边形 知识综合出现。涉及面之宽，向纵向联系深，这些问题，必须心中有数，对梯形有 关知识的学习要加大力度，随着知识的加深，也要不断深化这方面的内容，拓宽它 与其
15、它数学分支的联系，对这部分内容才能学好，收到成效！【动脑动手动脑动手】 一组对边平行，另一组对边_的四边形叫做梯形；平行的两边叫做梯形 的_；不平行的两边叫做梯形的_；两底的距离叫做梯形的_，一腰 垂直于底的梯形叫_；一腰垂直于底的梯形叫_；两腰相等的梯形叫 _。 在同一底上的两个角_的梯形为等腰梯形。 等腰梯形在同一底上的两个角_；两条对角线_；等腰梯形是 _图形；过两底_的直线是它的对称轴。 定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段_，那么在其他直线 上截得的线段也_。 推论：经过梯形一腰上的中点与底平行的直线，必_另一腰；经过 三角形一边上的中点与另一边平行的直线必_第三边。 三角形的中位线_
