《高等数学课件 D9多元函数微分学一10-11-2辅》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高等数学课件 D9多元函数微分学一10-11-2辅（18页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 第二章 第 五 节机动 目录 上页 下页 返回 结束 多元函数微分学(一)多元函数微分法1知识要点典型例题机动 目录 上页 下页 返回 结束 计算偏导函数计算偏导函数时把 y 当作常数,(2) 计算法:时把 x 当作常数.1. 偏导数(1) 概念:2知识要点(2) 全微分形式不 变性:设是自变量还是中间变量u=u(x,y),v=(x,y)都有机动 目录 上页 下页 返回 结束 则不论 u 与 v2. 全微分(1) 函数z = f (x, y) 在点点必要条件:存在;充分条件: 点连续.处可微(全微分存在)处处(必要而非充分)(充分而非必要)3(3) 验证可导函数z = f (x ,y)在点只
2、需验证:若等于零,?处的可微性则z = f (x ,y) 在点处可微;若不等于零, 则z = f (x ,y) 在点处不可微.注 极限不等于零,其中包含极限不存在.机动 目录 上页 下页 返回 结束 4机动 目录 上页 下页 返回 结束 3. 二元函数连续、可导、可微之间的关系函数连续可微偏导连续偏导存在5极限存在4. 多元复合函数偏导数的求法(链导 法):设均为可导函数,则机动 目录 上页 下页 返回 结束 复合函数可导,且其偏导数为:6机动 目录 上页 下页 返回 结束 5. 隐函数的偏导数设由方程 F (x ,y )=0确定隐函数 y = f ( x) ,则有7设由方程 F (x , y
3、, z )=0确定隐函数 z = f ( x,y) ,则题型1 多元复合函数的偏导数及全微分例1 (07.4 分)第二节 目录 上页 下页 返回 结束 设 f (u ,v) 为二元可微函数,则解由复合函数求导法知:(5 - 37)注释本题考查二元抽象复合函数的一阶偏导数.解题的关键是搞清函数复合关系以及基本初等函数(幂函数与指数函数)的求导公式.8典型例题具有二阶连续偏导数,例2 (09.4分) 设函数则解应填注释 抽象函数的一阶与二阶偏导数.(5 - 41)解此类题目关键是搞清复合函数的函数关系.9机动 目录 上页 下页 返回 结束 例3 (92.5分)设 其中 f 具有二阶连续偏导数,求解
4、注释 本题考查抽象函数的一阶与二阶偏导数.(5 - 10)10例4 (00.5分)设机动 目录 上页 下页 返回 结束 注释偏导数, g具有二阶连续导数,求解(5 - 24) f 具有二阶连续本题考查抽象复合函数的一阶与二阶偏导数.11例1 (10,4 分)解(A) x .其中F 为可微函数,B设函数z = z (x , y )由方程则(B) z .(C) x .(D) z .确定,且令则有5 - 4 3机动 目录 上页 下页 返回 结束 12题型2 多元隐函数的偏导数及全微分于 是 有所以选项(B)正确.注释 本题考查方程确定的隐函数的求导法.机动 目录 上页 下页 返回 结束 13例 2(
5、91.3 分)机动 目录 上页 下页 返回 结束 所确定的由方程解将x = 1, y = 0 ,z = 1代入上式得:函数z = z (x ,y )在点(1,0,1)处的全微分dz=_.方程两边微分得:注释本题考查函数微分的计算.(5 - 6)注意掌握本题用微分形式不变性计算微分的方法.14题型3 偏导存在、可微及偏导连续之间的关系机动 目录 上页 下页 返回 结束 例1 (94.3分)处两个偏导存在是 f (x , y ) 在该点连续的( ) .二元函数 f (x , y )在点数(A)充分条件而非必要条件;解 二元函数在一点处连续与偏导数存在之间没有直接关系,(B)必要条件而非充分条件;(
6、C)充分必要条件;(D)既非充分又非必要条件;即“连续”未必“偏导数存在”,“偏导数存在”未必“连续”. 所以应选(D).D注释 本题考察二元函数在一点处连续与偏导数存在之间的关系.(5 - 14)15机动 目录 上页 下页 返回 结束 在点(0,0)处 ( ) .(A) 连续,偏导数存在;(B) 连续,偏导数不存在;(D) 不连续,偏导数不存在.解例2 (97.3分) 二元函数 (C) 不连续,偏导数存在;k 取不的值不同,故极限不存在 ,因而 f (x ,y )在(0,0)处不连续,但是同理故应选(C).C同值时,(5 - 19)从而选项(A)(B)均不正确.16例3 (02. 3分)考虑
7、二元函数的下面 4 条性质:机动 目录 上页 下页 返回 结束 f (x ,y) 在点(A) ;若用“”表示可由性质P推出性 质Q,则有( ). 处连续; f (x ,y) 在点处的两个偏导数连续; f (x ,y) 在点处可微; f (x ,y) 在点处的两个偏导数存在.(B) ;(C) ;(D) .A(5 - 27)17(A) ;解 由于f (x , y) 在点处的两个偏导数连续, 是 f (x , y) 在点(B) ; (C) ;(D) .处可微的充分条件;而 f (x , y) 在点处可微,处连续的充分条件. 故选(A)正确 .是 f (x , y) 在点函数连续可微偏导连续偏导存在极限存在18 机动 目录 上页 下页 返回 结束
