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1、第二章第二章 n n维向量维向量 2.1 2.1 n n维向量及其运算维向量及其运算 一一. . 历史历史 2.22.2 2.32.3 2.42.4 2.5 2.5 2.6 2.6 古希腊的古希腊的亚里士多德亚里士多德: : 二力合成的平行四边形法则二力合成的平行四边形法则 法国数学家法国数学家笛卡尔笛卡尔和和费马费马: : 解析几何解析几何 18311831年年, , 德国数学家德国数学家高斯高斯: : 复平面的概念复平面的概念 英国物理学家数学家英国物理学家数学家亥维赛亥维赛: : 向量分析向量分析 18441844年年, , 德国数学家德国数学家格拉斯曼格拉斯曼: : n n 维向量维向
2、量 18881888年年, , 意大利数学家意大利数学家皮亚诺皮亚诺: : 以公理的方式定义了有以公理的方式定义了有/ /无限维向量空间无限维向量空间 二二. . n n维向量维向量(vector)(vector)的概念的概念 n n 维维 向向 量量本本 质质 表现形式表现形式 几何背景几何背景 n n个数个数a a1 1, , a a2 2, , , , a an n 构成的有序数组构成的有序数组向量向量/ /点的坐标点的坐标 列矩阵列矩阵 行矩阵行矩阵 行向量行向量 列向量列向量 分量分量 第二章第二章 n n维列向量维列向量 2.1 2.1 n n维向量及其运算维向量及其运算 第二章第
3、二章 n n维列向量维列向量 2.1 2.1 n n维向量及其运算维向量及其运算 与矩阵的线性运算相同与矩阵的线性运算相同 三三. . n n维向量的线性运算维向量的线性运算 与矩阵的线性运算性质相同与矩阵的线性运算性质相同 四四. . n n维向量的线性运算性质维向量的线性运算性质 n n维向量维向量: : 1 1, , 2 2, , , , s s五五. . 线性组合线性组合(linear combination)(linear combination) 数数(scalars): (scalars): k k1 1, , k k2 2, , , , k ks s线性组合线性组合: : k
4、k1 1 1 1+ +k k2 2 2 2+k ks s s s2.1 2.1 n n维向量及其运算维向量及其运算 = = k k1 1 1 1+ +k k2 2 2 2+k ks s s sn n维向量维向量: : , , 1 1, , 2 2, , , , s s若存在常数若存在常数: : k k1 1, , k k2 2, , , , k ks s使得使得 则称则称 能由向量组能由向量组 1 1, , 2 2, , , , s s线性表示线性表示( ( can be linearly represented by can be linearly represented by 1 1, ,
5、 ) ) 第二章第二章 n n维列向量维列向量 六六. . 线性表示线性表示(linear representation) (linear representation) 2.1 2.1 n n维向量及其运算维向量及其运算 例例1 1. . n n维基本单位向量组维基本单位向量组 1 1= = 1 1 0 00 0 , , 2 2= = 0 0 1 10 0 , , n n= = 0 0 0 01 1 . . , , 第二章第二章 n n维列向量维列向量 standard/natural basis of standard/natural basis of R Rn n2.1 2.1 n n维
6、向量及其运算维向量及其运算 任何一个任何一个n n维向量维向量 = = a a1 1 a a2 2a an n 都能由都能由 1 1, , 2 2, , , , n n线性表示线性表示. . = = a a1 11 1 0 00 0 + + a a2 20 0 1 10 0 + + + + a an n0 0 0 01 1 . . 事实上事实上, , 第二章第二章 n n维列向量维列向量 2.1 2.1 n n维向量及其运算维向量及其运算 例例2 2. . A A = = a a1111a a1212 a a1 1s sa a2121a a2222 a a2 2s s a an n1 1 a
7、an n2 2 a ansns= (= ( 1 1, , 2 2, , , , s s), ), = = b b1 1 b b2 2b bn n , , x x = = x x1 1 x x2 2x xs s , , 能由能由 1 1, , 2 2, , , , s s线性表示线性表示 方程组方程组AxAx = = 有解有解. . 第二章第二章 n n维列向量维列向量 2.2 2.2 向量组的秩和线性相关性向量组的秩和线性相关性 2.2 2.2 向量组的秩和线性相关性向量组的秩和线性相关性 一一. . 基本概念基本概念 列向量组列向量组: : 1 1, , 2 2, , , , s s矩阵矩阵
8、A A = ( = ( 1 1, , 2 2, , , , s s) ) 矩阵矩阵A A的秩的秩 向量组向量组 1 1, , 2 2, , , , s s的的秩秩 r(r( 1 1, , 2 2, , , , s s) ) 第二章第二章 n n维列向量维列向量 行向量组行向量组: : 1 1, , 2 2, , , , s s矩阵矩阵A A的秩的秩 向量组向量组 1 1, , 2 2, , , , s s的的秩秩 矩阵矩阵A A = = 1 1 2 2 s s r(r( 1 1, , 2 2, , , , s s) ) 2.2 2.2 向量组的秩和线性相关性向量组的秩和线性相关性 第二章第二章
9、 n n维列向量维列向量 r( r( 1 1, , 2 2, , , , s s) ) s s r( r( 1 1, , 2 2, , , , s s) ) n n时时, , 任意任意s s个个n n维向量都线性相关维向量都线性相关. . 例例3 3. . 设设 1 1, , 2 2, , 3 3线性无关线性无关, , 1 1= = 1 1+ 2 + 2 2 2, , 2 2= = 2 2+ 2 + 2 3 3, , 3 3= = 3 3+ 2 + 2 1 1. . 证明证明: : 1 1, , 2 2, , 3 3线性无关线性无关. . (3) (3) 含有零向量含有零向量的向量组一定的向量
10、组一定线性相关线性相关. . 2.2 2.2 向量组的秩和线性相关性向量组的秩和线性相关性 第二章第二章 n n维列向量维列向量 二二. . 向量组之间的关系向量组之间的关系 A A: : 1 1, , 2 2, , , , r rB B: : 1 1, , 2 2, , , , s s 若若B B组中的每个向量都能由组中的每个向量都能由A A组中的向组中的向 量线性表示量线性表示, , 则称向量组则称向量组B B能由向量组能由向量组 A A线性表示线性表示. .1. 1. 给定两个向量组给定两个向量组 2.2 2.2 向量组的秩和线性相关性向量组的秩和线性相关性 第二章第二章 n n维列向量
11、维列向量 能由能由 线性表示线性表示, , 例如例如: : 2 2 0 03 3 0 0, , 1 1 0 00 0 1 1, , 但但2 2 0 03 3 0 0不能由不能由 线性表示线性表示. . , , 1 1 0 00 0 1 1, , 简记为简记为A A : : 1 1, , 2 2, , , , s s, , C C : : 1 1, , 2 2, , , , n n. .若若 j j= = b b1 1j j 1 1 + + b b2 2j j 2 2 + + + + b bsj sj s s , , j j = =1 1, ,2 2,n n, , 即即 = = 1 1 2 2
12、n n 1 1 2 2 s s2.2 2.2 向量组的秩和线性相关性向量组的秩和线性相关性 第二章第二章 n n维列向量维列向量 简记为简记为B B: : 1 1, , 2 2, , , , s s, , C C : : 1 1, , 2 2, , , , mm. . 若若 i i= = a ai i1 1 1 1 + + a ai i2 2 2 2 + + + + a ais is s s, , i i = =1 1, ,2 2,mm, , 即即 B B: :C C: := = 1 1 2 2 s s 2.2 2.2 向量组的秩和线性相关性向量组的秩和线性相关性 第二章第二章 n n维列向量
13、维列向量 1 1 2 2 mm矩阵的乘积矩阵的乘积C Cmm n n = = A Amm s s B Bs s n n, ,= =行向量行向量 i i= = a ai i1 1 1 1 + + a ai i2 2 2 2 + + + + a ais is s s, , i i = =1 1, , 2 2, , mm. .列向量列向量 j j= = b b1 1j j 1 1 + + b b2 2j j 2 2 + + + + b bsj sj s s , , j j = =1 1, , 2 2, , , , n n, ,向量组的线性表示向量组的线性表示: :2.2 2.2 向量组的秩和线性相关性向量组的秩和线性相关性 第二章第二章 n n维列向量维列向量 2. 2. 向量组的线性表示与矩阵乘积向量组的线性表示与矩阵乘积 2.2 2.2 向量组的秩和线性相关性向量组的秩和线性相关性 第二章第二章 n n维列向量维列向量 3. 3. 传递性传递性 A A = ( = ( 1 1, , 2 2), ), B B = ( = ( 1 1, , 2 2, , 3 3), ),C C = ( = ( 1 1, , 2 2), ), 1 1= = 1 1+ + 2 2, , 2 2= = 1 1+ 2 + 2 2 2, , 3 3= = 1 1+ + 2 2, ,
