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1、2010 高教社杯全国大学生数学建模竞赛高教社杯全国大学生数学建模竞赛承承 诺诺 书书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料） ，必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从 A/B/C/D 中选择一项填
2、写）： B 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 昌吉学院 参赛队员 (打印并签名) ：1. 胡莉 2. 关晓英 3. 魏芳芳 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 数模组 日期： 2010 年 9 月 13 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2010 高教社杯全国大学生数学建模竞赛高教社杯全国大学生数学建模竞赛编编 号号 专专 用用 页页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评 阅 人评 分备 注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：1上海
3、世博会对上海经济影响力的数学模型上海世博会对上海经济影响力的数学模型摘要：摘要：根据对上海世博会经济影响力的调查，考虑在假设的理想条件下用层次分 析法（AHP） ，按支配关系给出了层次结构，再用两两比较法构造了判断矩阵，通过求 解计算，得出 4 个准则对于目标的权重又用权向量 w 表示，算出 F1,F2,F3在目标中的 组合权重，于是组合权向量 w(3)=(0.46,0.30,0.24),最后对决策方案进行了一致性检验。关键词：关键词：层次分析法（AHP） ；两两比较法；权重向量2一 模型引入 2010 年上海世博会的举办给人们带来深远的影响，包括文化、科技、经济等方面。 从经济角度讲，基础设
4、施、政府管理、文化弘扬、开放环境等都是考虑因素，本文将 对几个主要因素对其经济的影响做定量分析。二 模型假设说明符号说明D上海世博会对上海经济的影响力 E1基础设施 E2政府管理 E3文化弘扬 E4开放环境 F1区域经济的增长 F2产业结构的调整 F3人力资本的提升表一：19 尺度的 aij含义尺度 aij含义1Ci与 Cj的影响相同 3Ci比 Cj的影响稍强 5Ci比 Cj的影响强 7Ci比 Cj的影响明显的强 9Ci比 Cj的影响绝对的强 2,4,6,8Ci与 Cj的影响之比在上述两个相邻等级 之间 1,1/2，.，1/9Ci与 Cj的影响之比为上面 aij的互反数表二：随机一致性指标 R
5、I 的数值n1234567891011 RI000.580.91.121.241.321.411.451.491.51w：表示第二层（准则层）对第一层（目标层，只有一个因素）的权向量。 wk:表示第三层对第二层的权向量（k=1,2,3,4） W(3)：表示组合权向量 k：表示最大特征根CI一致性指标CR一致性比率3RI随机一致性指标三 模型的建立与求解 建立层次结构图如下：比较准则层 4 个因素 E1,E2,E3,E4对上层一个因素 D 的影响，比较其在世博会对上 海经济影响这个目标中的重要性，全部比较结果用成对比较矩阵 M=(mij)44显然，M 有如下特点：mij=1, mij=1/ mj
6、i, mij0 且经过 n(n-1)/2 次比较记就 能得到矩阵 M。设 0是 M 的最大特征根，属于 0的规范化的特征向量为 W，即 MW=0W，： 其中 W 的分量(W1,W2.Wn)就是对应于 n 个因素的权重示数。 根据Perron 定理 设 n 介矩阵 MO, 为模最大的特征根。则: (1)、 必为正，且它的特征向量为正向量。 (2)、M 的任何其他特征根 ，恒有 的绝对值小于 (3)、 为 M 的单特征根，因而它的所有特征向量之间只差一个常数因子。也就是说不 计常数因子，特征向量是唯一的。 因此，比较矩阵 M 的规范化特征向量正值的，唯一的。用同样的方法得到准则层对目 标层的矩阵
7、M 和方案层对准则层的判断矩阵 e1,e2,e3,e4。14291336 0.570.6520.5230.3972.142117140.190.2170.3170.3291.05336 3670.1220.0770.1120.1920.5031141730.1180.0540.0480.0820.302 61312947M 列向量按行 归一化求和归一化0.5355 0.26325=w0.12575 0.07552.2770 1.000Mw=0.5096 0.30601 2.07701.0000.50960.3060=4.1344 0.53550.263250.125750.0755 40.04
8、54 1 0.0450.050.9CICICRRI 61111171230.5180.50.1241.1420.4421110.2590.250.230.7390.294 =20.2220.250.230.7020.27231171.6647 0.787 0.75541 1.6 3ewe w 列向量按行归一化 归一化求和16470.7870.75543.0740.4420.2940.272 30.03720.064CICICRRI 2222251230.4760.5260.41.4020.4673120.2860.3160.41.002 .0.334 =w50.2380.1580.20.596
9、0.199211121.42171.01220.59951 3ee w 列向量按行归一化 归一化求和31.42171.01220.59953.0290.4670.3340.199 3.02930.0152 0.0150.0260.58 71330.5680.750.5391.8571110.1890.250.2310.6730.2430.250.23103117CICICRRIe 列向量按行 归一化求和33330.5680.205 =w.7240.2211.69870.61530.66941 1.69870.61530.66943.00730.5680.2050.221 3.00730.003
10、52 0.00350.00600.58e wCICICRRI 归一化4444551330.4550.5260.3571.3380.4463120.2730.3160.4281.0170.339 =50.2730.1580.2140.6450.215311521.3693 1.03660.6521ewe w 列向量按行归一化 归一化求和441 1.36931.03660.65213.05430.4460.3390.215 30.0272 0.0270.0470.58CICICRRI 常用以下方法计算权重系数（以 M 为例）：和法步骤和法步骤：a.将 M 的每一列向量归一化得A1/nijijij
11、iwaab.对按行求和得A1/nijijij iwaaAA1niij jwwc.将归一化 ,W=( w1,w2.wn)T 即为近似特征向量AA1niij jwwAA*1/niii iwwwd. 计算作为最大特征根的近似值1()1n iiiMw nw7这个方法实际是将 M 的列向量归一化后取平均值，作为 M 的特征向量，因为当 M 为一致阵时它的每一列向量都是特征向量，所以若 M 的不一致性不严重，则取 M 的列 向量（归一化后）的平均值作为近似特征向量是合理的。由此得到 M 的特征向量 WM=(0.536,0.263,0.126,0.076)T四 一致性检验用两两比较法与民众调查所得到的比较矩
12、阵，可能会发生判断不一致，故需进行一 致性检验，也就是检查民众调查对多层评价的一致性。 定义一致性指标 CI=(0-n)/(n-1),用 satty 的结论，对阶数为 1,2,3,4 的矩阵 CR 的值 分别是 0, 0, 0.58, 0.9, 1.12, 1.24. 当 CI/CR0.1 时，可通过一致性检验 最大特征根的简易算法是 0=(MW)I/nWi 计算得出 MW=(2.277, 1.000, 0.5096, 0.306)T ，并得出 0=4.134。 则 CI=(0-n)/(n-1)=(4.134-4)/3=0.045。 当 n=4 时 CR=0.050.1。 对矩阵 E1E4的一
13、致性检验如下表:表三对世博经济影响力问题第三层的计算结果k1234 0.4420.4670.5680.446 0.2940.3340.2050.339wk0.2720.1990.2210.215 K3.0743.0293.0073.054 CIK0.0640.0150.00350.027由各准则对目标的权向量 W 和 WK（k=1,2,3,4）, 计算各方案对目标的权向量， 称为组合权向量，记作 W(3). 对于方案 F1 在目标中的组合权重应为：0.4420.5355+0.4670.26325+0.5680.12575+0.4460.0755=0.46 以同样方法得 F2 在目标中的组合权重应为：0.2940.5355+0.3340.26325+0.2050.12575+0.3390.0755=0.30 得 F3 在目标中的组合权重应为：0.2720.5355+0.1990.26325+0.2210.12575+0.2150.0755=0.24我们算出 F1,F2,F3在目标中的组合权重分别为 0.46，0.30，0.24 于是组合权向 量 w(3)=(0.46,0.30,0.24).结果表明方案 F3在上海世博会对上海经济的影响中占的权 重最大。五 模
