实数和二次根式

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1、课题第十二章 实数和二次根式MYJ前端分 析一、 教学指导思想和理论依据：首先，学生面临着如何转化观念：数的范围扩大了，由有理数扩充到了无理数，而无理数的概念又含有了好几个子概念，对于学生是个难点，而且是今后学习的重要基础。其次，二次根式的概念和运算，都需要学生具有一定的知识基础，知识的正迁移或者负迁移，给学生的学习带来较大的影响。通过这一章，学生体会到数学的学习是循序渐进的过程，是由简单到复杂的发展过程，联系紧密，但是其间所包含的学习方法却还是那些：观察、归纳、推理、迁移和应用。这章的知识还是应该由学生主动地学习，应该以预习（课前发预习报告） 、集体探索交流、整体提升的教学模式进行。整堂课都

2、是以学生为中心完成的：要要充分发挥学生的主动性，体现学生的首创精神；让学生有充分发挥学生的主动性，体现学生的首创精神；让学生有多种机会在不同的情境下去应用他们所学的知识（知识外多种机会在不同的情境下去应用他们所学的知识（知识外化）化） ；让学生根据自己的行动的反馈信息来形成对客观事；让学生根据自己的行动的反馈信息来形成对客观事物的认识和解决问题的方案（有机会进行自我反馈）物的认识和解决问题的方案（有机会进行自我反馈） 。学生在教师的组织引导下一起进行讨论和交流，共同建立起学习群体并成为其中的一员。教师主要进行学习环境的设计：各种学习资源，眼界的开放度，基本概念、基本原理、基本方法和基本过程。二

3、、教学背景分析1、学生现状分析：整体对于初二（14-15 岁）具备的思维能力：假设演绎思维，即不仅在逻辑上考虑现实的情境，而且根据可能的情境进行思维；抽象思维：既能运用符号进行思维；系统思维，即在解决问题时，能够在心理上控制若干变量，同时还能考虑到其他几个变量。在此阶段，学生逐渐摆脱了具体实际经验的支持，能够并使用相互关联的抽象概念。学生的抽象思维能力有了较大的提高，而且学生已经掌握了平方、立方等乘方运算，这对于学习其逆运算：求平方根和立方根是至关重要的，诸如折纸、数形结合等这样的常用数学方法学生也不陌生，但是与之有关的开放性的思维学生处理得并不好。对于有理数的分类，学生掌握的比较生硬，引出了

4、无理数之后，数系的扩充对于学生又是难点；同类项和同类二次根式的合并类似，可是概念有相差较远，知识的迁移有难度；绝对值对于学生就是难点，二次根式的性质需要引出绝对值加以简化，学生不易理解；学生的课堂交流能力和参与的积极性在初一打下了良好的基础，这使得在初二的课堂中实现高效的合作是有可能的；学生本身很重视初二一年的学习，学习态度方面耐性和目标性会更强。2、 学习内容给学生提出的希望值：本章的主要内容是平方根、立方根的概念，并能用符号表示它们，二次根式的概念及其简单的四则运算。平方根和立方根分别是开平方、开立方运算的结果。引入了开平方、开立方运算后，使学生认识到平方与开平方、立方与开立方互为逆运算，

5、并纳入头脑中已有的“加与减、乘与除互为逆运算”的知识体系，这为在后续学习中认识“乘方与开方互为逆运算” ，进而完善对运算体系的认识奠定了基础。从有理数到实数，数系又一次得到了扩展。回顾有理数集的形成和发展，经历无理数引入及有理数集到实数集的扩展的过程，可以帮助学生认识到：书的概念是从实践中产生和发展起来的；数系的每一次扩展都是解决某种运算在原数集内无法进行的矛盾而发生的，如自然数集扩展到整数集，使加法运算的逆运算逆运算可以进行，整数集扩展到有理数集，使乘法运算的逆运算除法运算总可以进行，当前，由无理数的引入，使得非负数的开方总可以进行，但就全体实数而言，开放运算仍不是总可以进行，所以实数集还将

6、进一步扩展。可见本章的学习可以使学生对数系的发生、发展有一个较系统和辩证的认识，进而提升学生对数学知识发展的规律性的认识。另外，有理数扩展到实数以后，学生对数轴的认识更全面了，有理数与数轴上的点不是一一对应的，而实数和数轴上的点是一一对应的。二次根式是在算术平方根的概念的基础上引入的，二次根式的运算可以看作是实数的运算，有时为了实际需要，常取各自有理数的近似值，转化为有理数的运算。3、学习需要分析（也称：前端分析，学习需要的评价）学生在初一年级已经掌握了自己特有有效的学习方法，这种方法是否能伴随自己一生，可以利用初二的学习来检验，这是自我评价、反思、修正、建立成就感的过程。学生通过自己的学习能

7、力，通过预习能更有能力在人们面前完成交流、合作、解决问题的任务。但是，学生的运算能力和所拥有的旧知识，不加注意就会在本章学习中产生负迁移，影响对概念、公式的掌握，因此学生需要对旧知识的内涵和外延有较深刻的理解和复习；学生需要在教师的引导下分析出现的新问题，注意细节，然后大胆推理，勇于阐述，合作交流，以很好地掌握新知识。从思维能力来说，学生对数系、运算规律，数的发展变化，数学规律的出现过程：数系的发展依赖运算的发展，都要有更深刻更抽象地认识二、 教学策略与教学方式的设计 重视情境创设，让学生经历数学知识的形成与应用过程。平方根和立方根概念的引入，都是从平方、立方的概念入手，提出实际问题，让学生在

8、经历知识的形成与应用过程中，更好的理解数学知识的意义，进而获得新的指示并建立新的知识体系；注重新旧知识的联系和对比，在新旧知识的联系中，发展学生的思维。学习数学知识的同时，使学生的思维得到发展是我们数学教育的目的之一。在本章教学中，要注意适时渗透类比的思想方法，使学生逐渐学会类比的提出问题、类比的思考问题和类比的解决问题，如立方根和平方根的类比，实数的概念和运算与有理数的概念和运算的类比，的类比，二次根式的运算与整式中多项式 22aa运算的类比，等等。 注意营造让学生自主探索和合作交流的学习氛围，给学生留有足够的思考空间。在教学过程中，应尽可能的让学生做一做、试一试、议一议，让学生参与思考、讨

9、论、探索、发现规律、总结归纳规律，在与同伴的交流中，达到学习经验共享，进而培养学生合作的意识、交流的能力，在交流中锻炼把自己的思想表达清楚，并认真倾听、理解同班的描述，提高表达能力。，那么利用计算器探22a索 a 的值；引导学生从特殊入手，抽象归纳；3333aaa0)(0,aaabbb培养学生每 做一步都要有根 据的学习习惯。动手实践 形成能力这是二次根式的除法法则运用这个法则可 以进行二次根式的除法运算例例 1 计算：一方面巩固二次 根式除法性质的, 另一方面培养学 生步步有根据的 学习习惯.分析不同方法的投影例 1 学生板 书除法 定义 性质例 2：(1) (2) 72 611126分析:

10、此题是二次根式的除法,怎样计算呢?例例 2 计算：（1） （2）340 4543345m nm n例 3：计算：（1） 3213022 2232（2）33 2263()2ababa bbba mn53)2(322分析：这是二次根式乘除的混合运算，与有理数的乘除混 合运算一样，按先后顺序进行计算.优劣,请同学选 择使用,培养学 生选择合理简洁 的运算途径的能 力. 即:运算能力.培养学生综合运 用知识的能力.变式训练 提高能力 知识小结 形成系统1. 二次根式的除法法则是什么?2进行二次根式的乘、除混合运算时,运算 顺序是什么?运算结果要最简.3二次根式的除法运算结果中的被开方数不能含有分母 布

11、置作业 提高能力 板书设计投影例 1 学生板 书除法 定义 性质例 2：教学过程师生活动二次根式的除法 3设计意图温故知新 巩固能力1.二次根式商的算术平方根的性质是什么？并用式子表 示. 2.二次根式的除法用式子怎样表示?让学生养成及时 总结，形成知识 结构的习惯创设情境 学习新知例 1:计算:(1) 32分析: 若将=没有任何意义?怎样解决呢?32 32问题:怎样将分母中的根号去掉呢?可以利用我 们学过的那个性质呢? (学生思考,老师再引导学生 找解决的方法).所以二次根式的除法运算，通常还可以采用化去分 母中根号的方法来进行把分母中的根号化去，叫做分母有理化把分母中的根号化去，叫做分母有

12、理化如果两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，我们叫这两个因式为有理化因式有理化因式.提出问题,引导 学生解决,培养 学生分析问题解 决问题的能力. 渗透转化思想.动手实践 形成能力例 2:把下列各式的分母有理化：例 3 把下列各式的分母有理化：变式训练 提高能力例 4 计算：分析：二次根式的除法，我们经常采用把它转 化为分母有理化的问题知识小结 形成系统二次根式除法的两种计算方法；在进行分母有理化之前，可先观察，把能化简的二次根式 先化简，再考虑如何化去分母中的根号(有时也可以利用 约分把二次根式化简) 布置作业 提高能力 板书设计教学过程师生活动二次根式的加减法 2设计意

13、图温故知新 巩固能力1、什么叫做同类二次根式？它有哪两个必要条件？（1）它们都是最简二次根式； （2）它们的被开方数必须完全相同。 2x 取什么值时，最简二次根式是同类二次根式？13123xx与（x=2） 整式的加减可以通过合并同类项来进行那样，二是让学生养成及时 总结，形成知识 结构的习惯投影例 1 学生板 书除法 定义 性质例 2：根式的加减可以对比合并同类二次根式来进行。这 就是二次根式的加法与减法运算的实质。创设情境 学习新知例 1：计算：2-4+31227148解：原式=4-+12=（4-+12）33943943=,93140例 2：计算：（-2）-（-）5 . 031 8175解：

14、原式21 31 817522 322 42342 3313培养学生每 做一步都要有根 据的学习习惯。动手实践 形成能力例 1：计算：（1）6)35278(（2）)3225)(65(分析：与多项式乘法一样 解：（1）原式=215346356278（2）原式=21926310310255例 2：计算：（1）)2332()2332(（2）2)534( （3）2)336(分析：在遇到适合多项式乘法公式特征时，也可使用乘法公式。解：（1）原式=22)23()32(=12-18=-6（2）原式=16+45=61+524524（3）原式=6-+27=33-218218知识小结 形成系统对于混合运算部分，你发

15、现什么知识也能用到？怎么用？布置作业 提高能力 板书设计教学过程师生活动二次根式的乘法 2设计意图温故知新 巩固能力让学生养成及时 总结，形成知识 结构的习惯 创设情境 学习新知培养学生每 做一步都要有根 据的学习习惯。 动手实践 形成能力 变式训练 提高能力 知识小结 形成系统对于法则和性质的使用，你有了什么更深的体会？投影例 1 学生板 书乘法 定义 性质例 2：布置作业 提高能力 板书设计教学过程师生活动二次根式的乘法 2设计意图温故知新 巩固能力让学生养成及时 总结，形成知识 结构的习惯 创设情境 学习新知培养学生每 做一步都要有根 据的学习习惯。 动手实践 形成能力 变式训练 提高能

16、力 知识小结 形成系统对于法则和性质的使用，你有了什么更深的体会？布置作业 提高能力 板书设计教学目标：教学目标：投影例 1 学生板 书乘法 定义 性质例 2：投影例 1 学生板 书乘法 定义 性质例 2：1、 理解同类二次根式的概念，会判断同类二次根式，掌握二次根式加减法的运算法则 并熟练进行二次根式的加减法运算. 2、 经历同类二次根式概念的形成过程，二次根式加减法的探究过程，获得把实际问题转 化为数学问题的体验和进行数学抽象、概括的感受，体会转化的思想以及类比的学习 方法. 3、通过独立思考与小组讨论，培养良好的学习态度，以及自主意识和合作精神. 教学重点：教学重点： 1、同类二次根式概念的形成及其判断 2、二次根式的加减法运算 教学难点：教学难点：对同类二次根式概念的理解 教学方法：教学方法：引导探究法、比较剖析法 教学手段：教学手段：多媒体，幻灯片 教学过程教学过程: 、 创设情境，导入新课： 1、