高中物理奥赛方法递推法

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1、北京英才苑网站 http:/ 版权所有盗版必 究- 1 -六、递推法方法简介 递推法是解决物体与物体发生多次作用后的情况. 即当问题中涉及相互联系的物体较多 并且有规律时，应根据题目特点应用数学思想将所研究的问题归类，然后求出通式. 具体方 法是先分析某一次作用的情况，得出结论. 再根据多次作用的重复性和它们的共同点，把结 论推广，然后结合数学知识求解. 用递推法解题的关键是导出联系相邻两次作用的递推关系 式.塞题精析 例例 1 质点以加速度 a 从静止出发做直线运动，在某时刻 t，加速度变为 2a；在时刻 2t，加速度变为 3a；在 nt 时刻，加速度变为（n+1）a，求：（1）nt 时刻质

2、点的速度；（2）nt 时间内通过的总路程. 解析解析 根据递推法的思想，从特殊到一般找到规律，然后求解. （1）物质在某时刻 t 末的速度为atvt2t 末的速度为atatvatvvttt2,222所以3t 末的速度为atatatatvvtt32322则 nt 末的速度为natvvtnnt )1()321 () 1(32natnatatnatatatatnnnnat) 1(21) 1(21（2）同理：可推得 nt 内通过的总路程.) 12)(1(1212atnnns例例 2 小球从高处自由下落，着地后跳起又下落，每与地面相碰一次，速度mh1800减小，求小球从下落到停止经过的总时间为通过的总路

3、程.（g 取 10m/s2）)2(1nn北京英才苑网站 http:/ 版权所有盗版必 究- 2 -解析解析 小球从 h0高处落地时，速率smghv/60200第一次跳起时和又落地时的速率2/01vv 第二次跳起时和又落地时的速率2 022/vv 第 m 次跳起时和又落地时的速率m mvv2/0每次跳起的高度依次，402 2 2202 1 12,2nh gvhnh gvh通过的总路程mhhhhs222210mhnnhnhhnnnnhhm30035 11 12)1111 (2022020 0224220 0经过的总时间为mttttt210sgvnn gvnngvgv gv gvmm183)11()

4、1(2121 2200010例例 3 A、B、C 三只猎犬站立的位置构成一个边长为 a 的正 三角形，每只猎犬追捕猎物的速度均为 v，A 犬想追捕 B 犬，B 犬想追捕 C 犬，C 犬想追捕 A 犬，为追捕到猎物，猎犬不断调 整方向，速度方向始终“盯”住对方，它们同时起动，经多长 时间可捕捉到猎物？北京英才苑网站 http:/ 版权所有盗版必 究- 3 -解析解析 由题意可知，由题意可知，三只猎犬都做等速率曲线运动，而且任一时刻三只 猎犬的位置都分别在一个正三角形的三个顶点上，但这正三角形的边长不断减小，如图 6 1 所示.所以要想求出捕捉的时间，则需用微元法将等速率曲线运动变成等速率直线运动

5、， 再用递推法求解. 设经时间 t 可捕捉猎物，再把 t 分为 n 个微小时间间隔t，在每一个t 内每只猎犬的 运动可视为直线运动，每隔t，正三角形的边长分别为 a1、a2、a3、an，显然当 an0 时三只猎犬相遇.tvnaatvatvaatvatvaatvaBBAAaan23,23323,23223,2360cos2312111因为, 023tvna即vatttn32所以此题还可用对称法，在非惯性参考系中求解. 例例 4 一列进站后的重载列车，车头与各节车厢的质量相等，均为 m，若一次直接起动， 车头的牵引力能带动 30 节车厢，那么，利用倒退起动，该车头能起动多少节同样质量的车 厢？ 解

6、析解析 若一次直接起动，车头的牵引力需克服摩擦力做功，使各节车厢动能都增加， 若利用倒退起动，则车头的牵引力需克服摩擦力做的总功不变，但各节车厢起动的动能则 不同. 原来挂钩之间是张紧的，倒退后挂钩间存在s 的宽松距离，设火车的牵引力为 F，则 有：车头起动时，有2 121)(mvsmgF拉第一节车厢时：11)(mvvmm故有sgmFvv)(21 412 12 1北京英才苑网站 http:/ 版权所有盗版必 究- 4 -2 12 2221221)2(vmmvsmgF拉第二节车厢时：222)2(mvvmm故同样可得：sgmFvv)35(32 942 22 2推理可得 sgn mF nnvn)31

7、2(12由mgnFvn312:02可得另由题意知46,31nmgF得因此该车头倒退起动时，能起动 45 节相同质量的车厢. 例例 5 有 n 块质量均为 m，厚度为 d 的相同砖块，平放在水平地面上，现将它们一块一 块地叠放起来，如图 62 所示，人至少做多少功？ 解析解析 将平放在水平地面上的砖一块一块地叠放起来，每次克服重 力做的功不同，因此需一次一次地计算递推出通式计算.将第 2 块砖平放在第一块砖上人至少需克服重力做功为mgdW 2将第 3、4、n 块砖依次叠放起来，人克服重力至少所需做的功 分别为dnmgWdmgWdmgWdmgWn) 1(432543所以将 n 块砖叠放起来，至少做

8、的总功为W=W1+W2+W3+Wn2) 1() 1(32nnmgddnmgdmgdmgmgd例例 6 如图 63 所示，有六个完全相同的长条薄片、1( iBAii2、6）依次架在水平碗口上，一端搁在碗口，另一端架在另一 薄片的正中位置（不计薄片的质量）. 将质量为 m 的质点置于 A1A6北京英才苑网站 http:/ 版权所有盗版必 究- 5 -的中点处，试求：A1B1薄片对 A6B6的压力. 解析解析 本题共有六个物体，通过观察会发现，A1B1、A2B2、 A5B5的受力情况完全相同，因此将 A1B1、A2B2、A5B5作为一类， 对其中一个进行受力分析，找出规律，求出通式即可求解. 以第

9、i 个薄片 AB 为研究对象，受力情况如图 63 甲所示，第 i 个 薄片受到前一个薄片向上的支持力 Ni、碗边向上的支持力和后一个薄片 向下的压力 Ni+1. 选碗边 B 点为轴，根据力矩平衡有2,21 1 i iiiNNLNLN得所以 65 321)21(21 21 21NNNN再以 A6B6为研究对象，受力情况如图 63 乙所示，A6B6受到薄片 A5B5向上的支持力 N6、碗向上的支持力和后一个薄片 A1B1向下的压力 N1、质点向下的压力 mg. 选 B6点为轴，根据力矩平衡有LNLmgLN6143 2由、联立，解得 421mgN 所以，A1B1薄片对 A6B6的压力为.42mg例例

10、 7 用 20 块质量均匀分布的相同光滑积木块，在光滑水平面上一块叠一块地搭成单孔桥，已知每一积木块长度为 L，横截面是边长为的正方形，要求此桥具有最)4/(Lhh大的跨度（即桥孔底宽） ，计算跨度与桥孔高度的比值. 解析解析 为了使搭成的单孔桥平衡，桥孔两侧应有相同的积木块，从上往下计算，使积 木块均能保证平衡，要满足合力矩为零，平衡时，每块积木块都有最大伸出量，则单孔桥 就有最大跨度，又由于每块积木块都有厚度，所以最大跨度与桥孔高度存在一比值. 将从上到下的积木块依次计为 1、2、n，显然第 1 块相对第 2 块的最大伸出量为21Lx 第 2 块相对第 3 块的最大伸出量为（如图 64 所

11、示） ，则2x224)2(222LLxGxLxG北京英才苑网站 http:/ 版权所有盗版必 究- 6 -同理可得第 3 块的最大伸出量323Lx最后归纳得出nLxn2所以总跨度hxknn32.11291 跨度与桥孔高的比值为 258. 1932.11hh Hk例例 8 如图 65 所示，一排人站在沿 x 轴的水平轨道旁，原点 O 两侧的人的序号都记 为）. 每人只有一个沙袋，一侧的每个沙袋质量为 m=14kg，一侧的3 , 2 , 1( nn0x0x每个沙袋质量. 一质量为 M=48kg 的小车以某初速度 v0从原点出发向正 x 轴方向kgm10滑行. 不计轨道阻力. 当车每经过一人身旁时，

12、此人就把沙袋以水平速度 v 朝与车速相反的 方向沿车面扔到车上，v 的大小等于扔此袋之前的瞬间车速大小的 2n 倍.（n 是此人的序号 数）（1）空车出发后，车上堆积了几个沙袋时车就反向滑行？（2）车上最终有大小沙袋共多少个？ 解析解析 当人把沙袋以一定的速度朝与车速相反的方向沿车面扔到车上时，由动量守恒 定律知，车速要减小，可见，当人不断地把沙袋以一定的速度扔到车上，总有一时刻使车 速反向或减小到零，如车能反向运动，则另一边的人还能将沙袋扔到车上，直到车速为零， 则不能再扔，否则还能扔.小车以初速沿正 x 轴方向运动，经过第 1 个（n=1）人的身旁时，此人将沙袋以0v的水平速度扔到车上，由

13、动量守恒得当小车运0022vnvu,)(2100vmMvmMv动到第 2 人身旁时，此人将沙袋以速度的水平速度扔到车上，同理有1142vnvu，所以，当第 n 个沙袋抛上车后的车速为，根据动211)2(2)(vmMnvmvmMnv量守恒有.111) 1(,)(2) 1(nnnnnvnmMmnMvvnmMmvnvmnM即同理有，若抛上（n+1）包沙袋后车反向运动，则应有nnvmnMmnMv) 1()2(1北京英才苑网站 http:/ 版权所有盗版必 究- 7 -. 0, 01nnvv即. 0)2(, 0) 1(mnMmnM由此两式解得：为整数取 3.nnn,1420,1438当车反向滑行时，根据上面同样推理可知，当向左运动到第 n 个人身旁，抛上第 n 包 沙袋后由动量守恒定律有：nnnvmnmMnvmvmnmM)3(2) 1(311解得： nnnnvmnmMmnmMvvmnmMmnmMv) 1(3)2(3 3) 1(311同理设抛上 n+1 个沙袋后车速反向，要求0, 01 nnvv即 即抛上第 8 个 870)2(30) 1(3nnmnmMmnmM解得沙袋后车就停止，所以车上最终有 11 个沙袋.例例 9 如图 66 所示，一固定的斜面，倾角，斜面 45 长 L=2.00 米. 在斜面下端有一与斜面垂直的挡板. 一质量为 m 的 质点，从斜面的最