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1、数学分析教案 第六章 1第六章第六章 微分学基本定理及其应用微分学基本定理及其应用导数是研究函数性态的重要工具，仅从导数概念出发并不能充分体现这种工具的作用，它需要建立在微分学的基本定理的基础之上，这些基本定理统称为“中值定理”6.16.1 中值定理中值定理一、洛尔定理极值概念定义：设函数在点的邻域有定义，若， f x0x0（或） ，00,xxx 0f xf x 0f xf x则称函数在取极大值（或极小值） ，极大值（极小值） f x0x是，称为函数的极大点（极小点） 。极大值与 0f x0x f x极小值统称为极值，极大点与极小点统称为极值点。注：（1）在定义中，可能有，例如，在 0f xf
2、 x的邻域的常数函数，恒有，于是，常数函数0x 0f xf x在既取极大值又取极小值；0x（2）函数在的极值是在点邻域的局部性概念， f x0x0x而在区间上的最大值（或最小值）是区间上的整体 f xII性概念，并且函数有可能在区间的端点上取到最大值 f xI（或最小值） 。最大（小）值不一定是极大（小）值。端点不讨论极值。若函数在区间的内部某一点取到最 f xI0x大值（最小值） ，则函数在必取到极大值（或极小值） f x0x数学分析教案 第六章 2，即：，在取最大（小）值在取0,xa b f x0x f x0x极大（小）值。极大（小）值不一定是最大（小）值。（3）极大值与极小值大小无必然关
3、系费尔马定理费尔马定理：若函数在可导，且在取极值， f x0x0x则 00fx证法： 要证： 00 0 0lim0 xxf xf xfxxx证明：设函数在取极大值（极小值证法相同） f x0x即：，或000,xxx 0f xf x 00f xf x讨论在的左右导数，当时，由式，有： f x0x0xx，从而 000f xf xxx 00 0 0lim0 xxf xf xfxxx当时，由式，有0xx 000f xf xxx 00 0 0lim0 xxf xf xfxxx已知函数在可导，有 f x0x 000fxfxfx于是，即： 000fxfx 00fx洛尔定理：洛尔定理：若函数在闭区间连续，在开
4、区间 f x, a b可导，且，则在内至少存在一点 ，, a b f af b, a bc使 0fc 数学分析教案 第六章 3证法：证明函数必在内部某点 取极值，根 f x, a bc据费尔马定理，即得结果。证明：已知函数在闭区间上取到最小值与 f x, a bm最大值，下面分两种情况证明：M：若，则是闭区间上的常数，于是，mM f x, a b，有，即都能使。,xa b 0fx ,ca b 0fc ：若，已知，则与不mM f af b f a f b可能一个是最大值，一个是最小值，即函数必在开区间 f x内部某一点 取最大值或最小值，于是函数在点, a bc f x取极值，根据费尔马定理，有
5、：c 0fc 例：若函数，则在内存 123f xxxx1,3在一点 ，使。c 0fc 证明：已知函数在连续，在可导，且 f x 1,31,3 1230fff根据洛尔定理，分别存在和，使11,2c 22,3c 和， 10fc 20fc12cc已知导函数在连续，在可导，再根 fx12,c c12,c c据洛尔定理，存在一点，使。12,1,3cc c 0fc 例 2：二、拉格朗日定理二、拉格朗日定理拉格朗日定理：若函数在闭区间连续，在开 f x, a b区间可导，则在开区间内至少存在一点 ，使 , a b, a bc数学分析教案 第六章 4。 f bf afcba 几何意义：证法：若满足洛尔定理的条
6、 f bf axf xxba件，定理就好证了。证明：构造辅助函数 f bf axf xxba f bf af bf abaf bbf aababa f bf af bf ababa0即： ba已知函数在连续，在可导，则函数 f x, a b, a b在也连续，在也可导，又有， x, a b, a b ab根据洛尔定理，在内至少存在一点 ，使：, a bc 0f bf acfcba即： f bf afcba式可改写为： f bf afcba或： f af bfcab也可改写为：， f bf afaQ baba01Q设， （可正可负） ，axbxx xbax， f xxf xfxQ xx 01Q数
7、学分析教案 第六章 5注：拉格朗日定理是微分学最重要的定理之一，是利用导数的局部性研究函数整体性的重要工具，它是沟通导数与函数的桥梁。例 1：若（区间） ，则，xI 0fx xI ，其中 是常数。 f xcc证明：取定一点和，且，显然，函数0xIxI 0xx在或上满足拉格朗日定理的条件，根据拉 f x0,xx0, x x格朗日定理，在与之间存在一点，使：0xx，在与之间 00f xf xfxx0xx已知：，有：， 0f 00f xf x 0f xf x设，即， 0f xcxI f xc三、柯西定理三、柯西定理柯西中值定理：若函数与在闭区间连续， f x g x, a b在开区间可导，且，则在,
8、 a b,xa b 0gx 内至少存在一点 ，使, a bc f bf afcg bg agc注：这样证，你认为对吗？“证”因为、均在上满足拉格朗日定理条件， f x g x, a b所以存在一点，使，,ca b f bf afcba g bg agcba且，从而有 0gc 0g bg a f bf afcg bg agc不对：因为分别对和运用拉格朗日定理得到的 f x g x数学分析教案 第六章 6未必是同一个 ，为了区别起见，应分别用，表示，于cc1c2c是得到等式应该是，而不是 12f bf afcg bg agc f bf afcg bg agc柯西定理证明的分析：柯西定理是拉格朗日定
9、理的推广，其证明可以仿照拉格朗日定理进行。欲证： f bf afcg bg agc,ca b即： f bf agcfcg bg a亦即证： 0f bf afcgcg bg a上式可以写成 0x cf bf af xg xg bg a 令： f bf aF xf xg xg bg a于是，只须验证在上满足洛尔定理的条件就行。 F x, a b证明：首先证明，用反证法：假设 0g bg a，即，根据洛尔定理， 在 0g bg a g bg a内至少存在一点 ，使，与已知条件矛盾，构, a bc 0gc 造辅助函数，令：，这函数在连 f bf aF xf xg xg bg a, a b续，在可导，且
10、，由洛尔定理，在, a b F aF b数学分析教案 第六章 7内存在一点 ，使， 即：, a bc 0fc 0f bf afcgcg bg a下列函数在指定区间上是否满足柯西定理的条件？若满足，求出 。c （不满足） 2f xx 3g xx1,1 （满足 sinf xx cosg xx0,2 ）4c （满足 2f xx g xx1,4）2315 4c 例 4、5柯西定理的几何意义：补充练习：1、如果函数的导数在上连续，则必存 yf x fx, a b在常数，使，0 1212f xf xxx12,x xa b2、证明下列恒等式：洛尔定理柯西定理拉格朗日定理数学分析教案 第六章 8（1），arc
11、tgx 2arcsin 1xxx （2）， 2arcsin 1xxarctg x 11x （3），33arccosarccos 34xxxx11 22x例：证明：若内的可微函数无界，则, a b f x在内也无界； fx, a b若改为或原命题成立吗？, a b, a ,b.的逆命题成立吗？证：用反证法，假设在内有界，则 fx, a b，使，选定，0M fxM,xa b0,xa b，在或内满足中值定理条件，,xa b 0,xx0, x x f x则： 000f xf xfcxxM xxM ba)()()()()()(000abMxfxfxfxfxf这说明在内有界，与已知条件矛盾， f x, a b在内无界 fx, a b原命题不成立，如 f xx. 的逆命题是：定义在上的函数，如果导函数, a b f x在上无界，则在上无界。 fx, a b f x, a b此结论不能成立，例如， f xx0,1x，而无界，有界。 1fxx fx f x数学分析教案 第六章 96.2 洛比达法则一型00我们约定用“0”表示无穷小，用“”表示无穷大。已知两个无穷小之比或两个无穷大之比可能有各种不同00 的情况。因此计算都要根据函数的 不同类型选用相或00应的方法，而洛比达法则给了我们计算的简便方法。或00都称为待定型，我们约定用“1”表示以 1 为极或00限的函数，则待定型还有五种：
