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1、 一切为了孩子，以德治教，育人为 本中关村总部:62199669 广安门分部：63552512 亚运村分部：84831994北京四中有理数之正数与负数及数轴编 审：谷 丹 校 对：辛文升 责 编：张 杨 本章是在小学学过的算术数的基础上引进了负数，从而使数域扩大到了有理数；并由此引出数轴，相反数，绝对值等概念以及有理数的运算法则。随着知识的不断深入，初二时我们的数域将扩大到实数，到了高中还会学习复数。这一章以及第一章是为我们以后的数学学习打下的基础，我们务必认真学好这一章的知识。 一、本讲的重点，难点和关键一、本讲的重点，难点和关键 重点：重点：有理数特别是负数的意义以及数轴的意义。 难点：
2、难点：了解有理数特别是负数的意义；利用数轴进一步理解有理数的意义。 关键：关键：利用数轴建立起来的数与形统一的观点。 二、知识要点：二、知识要点： 1在小学学过的算术数包括正整数，正分数和 0 的基础上，由实际生活中具有相反意义的量，如温度有零上，零下之分；帐目有收入，支出之分；买卖有盈亏之分等等。我们把这样具有相反意义的量分别用不同符号记号，以示区别，如当零上 15C 记作+15C，则零下 5C 记作-5C；收入 20 元记作+20 元，则支出 20 元记作-20 元等等。在这里，“+”号读作“正”号，“+20”读作“正 20”；“-”号读作“负号”，“-10”读作“负 10”。这样引入了负
3、数和正数，由此建立了有理数的概念。正数前面的“+”号常省略不写，如+12 可写成 12。 整数：正整数，0 和负整数统称为整数；如 5，0，-3 等等。 分数：正分数，负分数统称为分数。如，-3等等。 有理数：整数和分数统称为有理数。 2有理数的分类我们要弄清楚；其分类如下： 或 3零既不是正数，也不是负数，它是正数和负数的分界。 4数轴的意义：规定了原点，正方向和单位长度的直线叫做数轴。 数轴的三要素是：原点，正方向和单位长度，三者缺一不可。我们必须能正确，规范地画出数轴。 对于给出的有理数，我们应能以刻度尺为工具，准确地在数轴上画出表示这些数的点，表示指定数的点要用笔涂成小圆黑点。比如给出
4、-5，-4，0，0.5, 3 等，能画一条数轴，并在数轴上面标出表示它们的点，如图：反之，对于一条数轴上标出的点能说出它们表示的数。比如，指出下列图中 A，B，C，D，E 各点分别表示的有理数： 答：点 A 表示-3，点 B 表示-1，点 C 表示 2，点 D 表示 3，点 E 表示 4。 5数轴的建立使任何一个有理数都可以用数轴上的点表示出来，数轴上的点，有的也可以表示有理数，而点是最基本的几何图形，从而就建立了数与几何图形之间的关系，我们称其为“数形结合”。从而使有理数的 一切为了孩子，以德治教，育人为 本中关村总部:62199669 广安门分部：63552512 亚运村分部：848319
5、94大小直观化：数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。正数都大于 0，负数都小于 0；正数大于一切负数。 我们应该知道：任何一个有理数都可以用数轴上的点来表示；但数轴上的点并不都表示有理数，有的点还表示无理数，这个数轴也叫做“实数轴”，这些我们将在初二时学到。 三、例题：三、例题： 例例 1把下列各数分别填在相应的大括号内：25,-6,-0.91, , 3.14,-7, 0, -50, , 9. (1) 整数集合：25, -7, 0, -50, 9 . (2) 分数集合：-6, -0.91, 3.14, . (3) 正整数集合：25, 9 . (4) 负整数集合：-7, -50 . (5
6、) 正分数集合：3.14, . (6) 负分数集合：-6, -0.91 . (7) 正有理数集合：25, 3.14, , 9 . (8) 负有理数集合：-6, -0.91, -7, -50 . (9) 有理数集合：25, -6, -0.91, 3.14, -7, 0, -50, , 9 . 注意：整数都可以看作是分母为 1 的分数，因此有理数一定能写成分数的形式，而 是无限不循环小数，它不能写成分数的形式，所以 不是有理数， 是无理数。 例例 2判断正误，并说明理由。 （1）所有正数都是整数。 （2）在整数中除了正整数就是负整数。 （3）分数是有理数。 （4）正整数都是自然数。 （5）任何有理
7、数都有倒数。 答：（1）不正确。因为正分数是正数但不是整数。如是正分数，但它不是整数。 （2）不正确。因为零是整数，但它既不是正整数也不是负整数。 （3）正确。因为整数和分数统称为有理数。 （4）正确。 （5）不正确。因为零不能做除数，故有理数零没有倒数。 例例 3下列各图中，哪些是数轴？为什么？ 答答：只有（3）是数轴。因为它是具有三要素：正方向，原点，单位长度的直线。 （1）不是数轴。因为它是曲线，不是直线。 一切为了孩子，以德治教，育人为 本中关村总部:62199669 广安门分部：63552512 亚运村分部：84831994（2）不是数轴。因为它没有单位长度。 （4）不是数轴。因为
8、它是线段，不是直线。 （5）不是数轴。因为它的方向反了。 （6）不是数轴。因为它没有规定正方向。 例例 4比较和的大小。 说明：比较两个数的大小是初中数学中重要内容之一，在前面我们已经谈到可以利用数轴来比较大小，但这不是唯一的方法。下面我们来研究另外的比较两个正数的大小的常用方法。 解：方法一：利用两数的差来判断，即两数 a 和 b，若 a-b0,，则 ab；若 a-b=0, 则 a=b; 若 a-b0. . 方法二：利用通分化为同分母分数，再比较分子的大小来判定。 =， =，且 180 169. . （*）方法三：利用两数的比，看比值大于 1 还是小于 1 来判断，即若1,则 ab；若1,
9、. 例例 5当 x 分别为 3，7，10 时，比较 5x-35 与 0 的大小。 解：当 x=3 时，5x-35=53-35=15-30=-200, 当 x=10 时，5x-350. 说明：通过此题我们应进一步理解当代数式 5x-35 中的字母 x 取不同的值时，对应代数式的值也不同。 四、练习：四、练习： （一）用正数，负数填空： （1）支出 100 元记作_元，收入 150 元记作_元。 （2）盈利 800 元记作_元，亏损 600 元记作_元。 （3）电梯上升 5 米记作_米，下降 3 米记作_米。 （4）王淼向东走 5 米，记作+5 米，那么他走了_米，则表示他向西走了 8 米。 （5
10、）足球比赛胜 2 场记作_场，负 1 场记作_场。 （6）海拔_米，相当于海面上高度 100 米，海拔_米相当于海面下 300 米。 （二）判断正误： （1）所有的整数都是正数。 （ ） （2）正数和负数统称有理数。 （ ） （3）零不是正数，也不是负数，但是整数。 （ ） （4）没有最大的正整数，也没有最大的负整数。 （ ） （5）在有理数中，不是正数的数一定是负数。 （ ） 一切为了孩子，以德治教，育人为 本中关村总部:62199669 广安门分部：63552512 亚运村分部：84831994（6）任何一个有理数都可以在数轴上找到和它对应的点。 （ ） （7）数轴上任意一点都表示一个有理数. （ ） （8）-3-2 （ ）（9）-100 （ ）（10）a 为有理数，则 3a 一定大于 2a。 （ ） （三）填空： （1）正整数集合与负整数集合合并在一起构成的集合是_集合。 （2）既不是正数，也不是负数的数是_；是正数而不是整数的数是_。 （3）最大的负整数是_，最小的正整数是_。 （4）大于-3.1 的负整数是_，小于 4.3 的正整数是_。 （5）大于-5 而不大于 2 的所有的整数是_。 （6）写出满足条件-3x .
