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1、高等代数课后思考题第八章第八章 欧氏空间欧氏空间思考题思考题1、设 V 是实数域 R 上的 n 维向量空间，试问：对 V 是否总可以定义内积，使 V 对此内积构成欧氏空间？2、如果向量空间 V 是一欧氏空间，那么它的任一子空间也是欧氏空间吗？为什么？3、用表示 n 维欧氏空间 V 中向量的内积，下面的等式中哪些成立？, （1）12121122,; （2）;aa（3）1; （4）,;abab (5)2,. 4、已知向量空间 R3关于内积112233,x yx yx y 是欧式空间，也对内积112233,23x yx yx y 是欧氏空间，其中.123123( ,),(,)x x xy yy问：向
2、量组对此两种内积来说是1231111(0,1,0),(,0,),(,0,)2222否能分别构成正交向量组？5、设是 n 维欧氏空间 V 的一个基，问如何规定 V 的内积，使 V 对此12,n 内积是欧氏空间，且是它的一个标准正交基？12,n 6、设 W 是欧氏空间 V 的有限维子空间，则 W 的正交补 W存在。问：（1）W 的正交补 W唯一吗？（2）给出两种求 W的方法。7、在 n 维欧氏空间中，是否存在 n+1 个两两正交的非零向量？为什么？8、欧氏空间 V 的一个正交变换是否保持任意两个向量的夹角？9、欧氏空间 V 的保持任意两个向量夹角不变的线性变换是否是正交变换？10、欧氏空间 V 的保持任意向量长度不变的线性变换是否是正交变换？11、欧氏空间 V 的保持任意两个向量长度距离不变的线性变换是否是正交变换？12、欧氏空间 V 的保持任意两个向量内积不变的线性变换是否是正交变换？13、举例说明，两个对称变换的积不一定是对称变换。找出两个对称变换的积是对称变换的充要条件。14、若 n 维欧氏空间 V 的一个线性变换的属于不同特征根的特征向量彼此正交，那么一定是对称变换吗？举例说明之。15、设是欧氏空间 V 的一个变换，且对任意，都有,V ( ),( ) , 问是否是对称变换？
