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1、浅谈同角三角函数的教学上海市同洲模范学校宋立峰三角函数历来都是中学数学教材中教学的一项重要内容，六种三角函数值的定义性质等多项内容固然重要，由定义出发得到的同角三角函数关系，也是三角学习中最基本且又重要的公式，是教学的一个重点和难点，掌握好这些公式对以后的学习至关重要。同角三角函数关系掌握与否，直接关系到已知一个角的一种三角函数值，求该角的其它五种三角函数值；三角式的化简；三角恒等式的证明；三角不等式的求解等多项内容多理解与掌握。它是三角函数知识教学的一个核心内容，必须讲深讲透，学好用好。多年来，我在传授同角三角函数关系这部分内容是，紧紧抓住理解、记忆和应用公式三个环节，感受颇深，现将教学的心
2、得体会整理成文，供广大师生们参考指正，以达到教学相长促进提高的目的。同角三角函数关系通常分为乘积关系、倒数关系、商数关系和平方关系四类。但因为互为倒数的两数乘积为 1，乘法与除法又互为逆运算，所以本质上仅有积商关系和平方关系这两类。若将四类关系全部用公式的方式表示出来，会有用积表示的九个公式，这其中包含了三组倒数关系，但不包含因交换乘数位置其积不变的等价形式；用商的形式表示的十八个基本公式，用平方和或平方差的形式表示的三个基本公式，共计三十个基本公式。按常规的教学方法，很难做到仅通过二、三课时的教学，学生就能完全掌握这三十个基本公式。就是让一个教过多遍的老师逐一不落地写出这些公式也有一定的难度
3、，更不要指望初学这一知识的学生去做到这一点了。为了抓住重点突破难点，寻求一套行之有效的方法便于教学和帮助记忆，经多年探索实践，我归纳总结出一套数形结合，看图说话理解记忆同角三角函数关系的直观形象教学模式。图与诗的搭配，使枯燥乏味的三角公式跃然纸上，信手拈来，既降低了教的难度，又缓解了学的障碍，记的负担。能充分调动师生教学的积极性，激发学生强烈的求知欲。同角三角函数关系上弦中切下层割，左正右余 1 中间。积中顺除商终端，平方之和看下尖。1cscseccottancossin上弦中切下层割，左正右余 1 中间。两句是说明数形结合情况的，让一个正六边形的六个顶点及对称中心分别对应同角 的六种三角函数
4、值及常数 1，具体位置从上到下、从左到右依次为 sin、cos(上弦)；tan、1(1 中间)、cot(中切)；sec、csc(下割)。积中顺除商终端，该句集中反映了乘积关系、倒数关系、商数关系共二十七个基本公式。积中是说不论在正六边形周边还是三条对角线上，相邻三元素中，两端相乘积在中间。由此可得:1. sincotcos, 2. coscsccot, 3. cotseccsc, 4. csctanesc, 5. escsintan, 6. tancossin, 7. tancot1, 8. sincsc1, 9. cossec1 九个公式。顺除商终端是说不论在正六边形周边还是三条对角线上，相
5、邻三元素中，顺次相除商是第三项即终端。A 除 B 就是 B 除以 A,商记作 B/A,由此可得反映商数关系的如下 10 到 27 共十八个公式。10. cos/sin=cot,11. cot/cos=csc, 12. csc/cot=sec, 13. sec/csc=tan, 14. tan/sec=sin, 15. sin/tan=cos, 16. sin/cos=tan, 17. cos/cot=sin, 18. cot/csc=cos, 19. sec/tan=csc, 20. tan/sin=sec, 21. csc/sec= cot, 22. 1/cos= sec, 23.1/ ta
6、n= cot, 24. 1/ csc= sin, 25. 1/ sec= cos, 26. 1/ cot= tan, 27. 1/ sin= csc平方之和看下尖是说将七个元素全部平方，在尖端向下的三个三角形中，上角之和是下角。由此可以得到表示平方关系的 28 到 30 三个基本公式。28. sin2+cos2=1, 29. tan2+1=sec2, 30. 1+cot2=csc2除了上述配图的小诗之外，亦可用下面的诗配上原图记忆同角三角函数关系。正六边形六顶点，上弦中切下割安。左正右余中间 1，同角六函记上边。不论顶点对角线，相邻三个组合看；两端相乘积中间，顺次相除商终端。六菱三矩九图中，同向四值比不变。平方关系也好记，七项平方写在肩；上角之和等下角，移项开方可置换。两端相乘积中间，顺次相除商终端。六菱三矩九图中，同向四值比不变。可明确反映乘积关系，商数关系，倒数关系的二十七个基本公式。七项平方写在肩，上角之和等下角，移项开方可置换。反映的是平方关系的三个基本公式和六个变形公式共九个公式。一幅图配一首诗，将同角三角函数关系的各种结论一揽无余，用这种数形结合，看图说话记写公式的方式，教学同角三角函数关系，轻松又愉快，何乐而不为。二六年十一月八日星期三
