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1、1第二章 一阶微分方程的初等解法 一阶微分方程的初等解法：把微分方程的求解问题化为积分问题。即用恒等变形、变量变换或乘上一个积分因子等手段将微分方程的解用初等函数或初等函数的积分来表示，这种方法，习惯上称为初等积分法或初等解法。能用初等积分法求解的微分方程称为可积方程。 2初等积分法的实质，就是尽可能把所遇到的微分方程的求解问题转化为积分问题(求原函数) 。应当指出，只有少数特殊类型的微分方程，才可能用初等积分法求解，在多数情况下，初等积分法是不适用的。因此，对于微分方程中常见的类型在什么情况下能用初等积分法求解，是一个很重要而又有实际意义的问题。 3一阶微分方程 中几类可积方程的求解问题。同
2、时对一阶隐式方程的可积类型的求解问题也作适当的介绍。 本章重点一、变量分离方程与变量替换(变量变换法)二、线性方程与常数变易法(待定函数法)三、恰当方程与积分因子(积分因子法)四、一阶隐方程与参数表示(参数表示法) 主要内容基本思想:“变”或“转化”，这是数学学习的精髓。42.1 变量分离方程与变量替换变量分离方程可化为变量分离方程的类型应用题分析定义 方程求解 实例分析 求解步骤齐次方程 准齐次方程51.定义2.1.1 变量分离方程形如的方程，称为变量分离方程，这里 分别是 的连续函数。 2.方程求解6因此，微分方程(2.1)的所有解为式(2.2)和(*).注意：积分常数C 的相对任意性。可
3、以证明这就是方程(2.1)的通解.7分离变量积分(转化为积分的形式)讨论解的完整性（如分母为零的解）写出通解3.变量分离方程的解题步骤上述这种求解分离变量方程的方法称为分离变量法.8例1 求解方程 则所求方程的通解为解 分离变量,得两边积分,得解题步骤：分离、积分和写出通解。注意：积分常数C 的相对任意性。这里c0为任意常数.9分离变量( )得于是, 所求方程的通解为解两边积分, 得另外,容易验证y=0也是所求方程的解。例2 求解方程 ， 并求满足初始条件: 当 时， 的特解.10解题步骤：分离、积分、写出通解和求特解。若 ,则所求初值解为若 , 则所求初值问题的解为例3 求解人口增长的Log
4、istic模型其中,11解 分离变量, 得12例4 求方程 的通解.其中 是 的连续函数。 注意到y=0也是原方程的解，所以原方程的解为(2.4), 其中C为任意常数。132.1.2 可化为变量分离方程的类型 引言 有的微分方程从表面上看，不是可分 离变量的微分方程，但是，通过适当的变量替 换，就可以很容易地化为“变量分离方程”， 在这里，我们介绍两类这样的方程。 1. 齐次微分方程定义形如 的方程，称为齐次微分方程，这里 是 的连续函数。1)方程的类型14该方法的要点是：利用变量代换将方程化为变量分离方程。利用变换来解微分方程是一种常用的技巧，我们需要多练习，好好掌握它。 2）方程的求解（变
5、量变换法）注.上述方程为变量分离方程，用分离变量法求得它的通解，再代回原来的变量，就得到方程（2.5）的解。15例5 求解方程 解16172.准齐次方程定义 形如 的方程称为准齐次方程, 它可以转化为变量分离方程, 其中 均为常数 1)方程的类型2)方程的求解:变量变换法. 分三种情形讨论.18即为分离变量方程。 事实上，此时有 可设比值为 ，即 则（2.13）变为 则方程（2.14）可化为令 (2)19的情形 A.此时，（2.13）已为齐次方程，于是可用齐次方程 的求解方法来求解。事实上，因 (3)20及 不全为零的情形 B通过分析知道，此时方程（2.13）右端的分子、分母 都是的一次式，因
6、此 代表 平面上两条相交的直线. 此时求解方程(2.13)的一般步骤为 ：解联立代数方程组 (2.15)，设其解为 ；作平移变换 （2.16） 将方程化为齐次方程 （2.17）；利用齐次方程的求解方法求解；变量还原(即代回原来的变量)，得到原方程的解。 21上述解法可用于下面更一般的形式请大家思考一下, 下面这些类型的微分方程可否通过 适当的变量变换化为变量分离方程？22例7 求解方程解解 解方程组解方程组23242.1.3 应用例题选讲 例8 探照灯反射 镜面的形状. 问题：在制造探照灯的反射镜面时，总 是要求将点光源发射 出去的光线平行地反 射出去，以保证探照 灯有良好的方向性， 试求反射镜面的几何 形状。 25分析：取光源所在处为坐标原点，而 轴平行于光的反射方向，如图（2.3）所示,设所求曲面由曲线 绕 轴旋转而成，则求反射镜面的问题归结为求平面上的曲线 的问题。假设 过曲线 上任一点 作切线 ，则由光的反射定律：入射角等于反射角。 26上述方程为齐次微分 方程，可用变量变换 法求解。2728思考题 已知 ，试求函数 的一般表达式。 解题思路设法变成微分方程；利用变上限积分所确定 的定积分是变上限的函数。 解的一般表达式为作业 P.42 1(3)(6)(7),2(3),629
