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1、曲边梯形的面积：平面图形的面积：一、平面图形的面积2. 定积分在几何上的应用1. 直角坐标系情形解两曲线的交点面积元素选 为积分变量解两曲线的交点选 为积分变量于是所求面积说明：注意各积分区间上被积函数的形式(大于零）问题：积分变量只能选 吗 ？解两曲线的交点（2） 选y为积分变量(1) 取x为积分变量解椭圆的参数方程由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积如果曲边梯形的曲边 y = f (x) (0)由参数方程：给出，曲边梯形的面积( )dAdo +dr =( )元素法元素法1 取极角为积分变量 ，其变化区间为, 以圆扇形面积近似小 曲边扇形面积，得到 面积元素：曲边扇形的面积曲边扇形的面积
2、A 3 作定积分r2. 极坐标系情形曲边扇形面积曲边扇形面积解由对称性知总面积=4倍第 一象限部分面积解利用对称性知. . . .例710xy联立后得交点坐标. . .S = 2 .旋转体就是由一个平面图形饶这平面内 一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做 旋转轴圆柱圆锥圆台二、体积1. 旋转体的体积xyo旋转体的体积为切片法公式解直线 方程为解变量代换！y y +dy切片法公式解abf (x)yx0求旋转体体积 柱壳法柱壳法曲边梯形 y= f (x) ，x=a,x=b,y=0 绕 y 轴旋转.xdxxabyx0内表面积dx求旋转体体积 柱壳法柱壳法曲边梯形 y= f (x) ，x=a,x=b,
3、y=0 绕 y 轴旋转.dV=f (x)柱壳法公式利用这个公式，可知上例中柱壳法公式解法一 (切片法) 体积元素为取x为积分变量 ,解法二 (柱壳法)xA(x)dV=A(x)dxx已知平行截面面积为 A(x)的立体aV2.平行截面面积为已知的立体的体积b半径为R的正圆柱体被通过其底的直径并与底面成角的 平面所截，得一圆柱楔。求其体积。Roxy例5oyRxRR.半径为R的正圆柱体被通过其底的直径并与底面成角的 平面所截，得一圆柱楔。求其体积。例5oyRxxyRRy tan 问题：问题： 还有别的方法吗？还有别的方法吗？(x, y),截面积A(x)半径为R的正圆柱体被通过其底的直径并与底面成角的
4、平面所截，得一圆柱楔。求其体积。.例5oyRxRR方法方法2 2.半径为R的正圆柱体被通过其底的直径并与底面成角的 平面所截，得一圆柱楔。求其体积。例5oyRxRR方法方法2 2ABCDBCDC. .截面积S(y)(x, y)= 2x= ytan.S(y).半径为R的正圆柱体被通过其底的直径并与底面成角的 平面所截，得一圆柱楔。求其体积。例5hRxoyR求以半径为R的圆为底，平行且等于底圆直径的线段为顶，高为h的正劈锥体的体积。例6hRxoxA(x)A(x)V =.Ry.求以半径为R的圆为底，平行且等于底圆直径的线段为顶，高为h的正劈锥体的体积。y例6三、平面曲线的弧长1. 平面曲线弧长的概念
5、折线的长: 并称弧AB是可求长的.弧长元素弧长2. 直角坐标情形定理 光滑曲线弧是可求长的.解所求弧长为解曲线弧为弧长3. 参数方程情形解 星形线的参数方程为根据对称性第一象限部分的弧长第一象限部分的弧长证根据椭圆的对称性知故原结论成立.曲线弧为弧长4. 极坐标情形解解解(1) 直角坐标xyOaxyOa(2) 参数方程t(3) 极坐标四四* *、旋转体的侧面积、旋转体的侧面积xyo例8 求半径为R的球的表面积.xyOR解（注意恰当的选择积分变量有助于简化 积分运算）小 结1. 平面图形的面积在直角坐标系下参数方程形式下极坐标系下(1) 旋转体的体积(2) 平行截面面积为已知的立体的体积绕 轴旋转一周绕 轴旋转一周绕平行于坐标轴的直线旋转一周2. 体积直角坐标系下参数方程情形下极坐标系下3. 平面曲线的弧长思考题思考题解答xyo两边同时对 求导积分得所以所求曲线为思考题思考题解答交点立体体积思考题思考题解答不一定仅仅有曲线连续还不够，必须保证 曲线光滑才可求长0xyPr . . . . . . . . .曲线在极点自己相交，与此对应的角度为 =. . . . .距离之积为a2的点的轨迹直角系方程双纽纽线练 习 题练习题答案练 习 题练习题答案练 习 题练习题答案作业 P285: 4、8、10、16、20、23、26、28、30
