《线代第五章(3)相似矩阵及对称矩阵的对角化》由会员分享，可在线阅读，更多相关《线代第五章(3)相似矩阵及对称矩阵的对角化（60页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、相似矩阵的概念相似矩阵的概念主要内容主要内容相似矩阵的性质相似矩阵的性质矩阵对角化的步骤矩阵对角化的步骤第第 三三 节节 相似矩阵相似矩阵1则称则称矩阵矩阵 A A 相似于矩阵相似于矩阵 B B.一、相似矩阵的概念一、相似矩阵的概念定义定义 7 7 设设 A A , , B B 为为 n n 阶方阵阶方阵, , P P 为为 n n 阶可逆阶可逆矩阵矩阵, , 且且P P- -1 1APAP = = B B , ,对对 A A 进行运算进行运算P P- -1 1APAP 称为对称为对 A A 进行进行相似变换相似变换，可逆矩阵，可逆矩阵 P P 称称为为把把 A A 变成变成 B B 的相似变
2、换矩阵的相似变换矩阵. .2而矩阵而矩阵 B B 相似于矩阵相似于矩阵 C C , , 则矩阵则矩阵 A A 相似于矩阵相似于矩阵 C C. .(1) (1) 自反性自反性 即一个矩阵与它自身相似即一个矩阵与它自身相似; ;(2) (2) 对称性对称性 即若矩阵即若矩阵 A A 相似于矩阵相似于矩阵 B B , , 则矩阵则矩阵 B B 也相似于矩阵也相似于矩阵 A A; ;(3) (3) 传递性传递性 即若矩阵即若矩阵 A A 相似于矩阵相似于矩阵 B B , , 二、相似矩阵的性质二、相似矩阵的性质相似描述了矩阵之间的一种关系, 这种关系具有下面的性质:3因而因而 A A 与与 B B 有
3、相同的特征值、相同的行列式有相同的特征值、相同的行列式.相似矩阵具有下列性质：下设 A，B 是同阶矩阵.定理定理 3 3 若矩阵若矩阵 A A 与矩阵与矩阵 B B 相似相似, , 则则| |A A - - E E| = | = |B B - - E E| , | , 证明证明 只需证 A 与 B 有相同的特征多项式即可。由于 A与 B 相似, 所以, 必有可逆矩阵 P,使得P-1AP = B ,4= |A - E| . 证毕证毕故|B - E| = |P-1AP - P-1EP|= |P-1| |A - E| |P|推论推论 若若 n n 阶方阵阶方阵 A A 与对角矩阵与对角矩阵 = di
4、ag(= diag( 1 1 , , 2 2, , , , n n) )相似，则相似，则 1 1 , , 2 2, , , , n n 即是即是 A A 的的 n n 个特征值个特征值. .定理定理 若矩阵若矩阵 A A 与与 矩阵矩阵 B B 相似相似, , 且矩阵且矩阵 A A可逆可逆, , 则矩阵则矩阵 B B 也可逆也可逆, , 且且 A A- -1 1与与 B B- -1 1相似相似. .5即 A-1 与 B-1 相似. 证毕证毕由定理3, 若矩阵 A 与 矩阵 B 相似, 则detA = detB ,所以, 当 detA 0 时, 必有 detB 0, 即 A 可逆时,B 也可逆.
5、 设 P 为可逆矩阵, 且 B = P-1AP, 则B-1 = (P-1AP)-1 = P-1A-1P , 证明证明6些运算. 不难验算,记为 .在矩阵的运算中, 对角矩阵的运算很简便, 如果一个矩阵能够相似于对角矩阵, 则可能简化某例如, 如果令7的性质,可得的可逆矩阵 P ?下面我们就来讨论这个问题. 如果我们要计算 A10 或 An , 直接计算, 运算量很大也不易找出规律. 利用 A 相似于对角矩阵那么, 是否每个矩阵都能相似于对角矩阵?如果能相似于对角矩阵, 怎样求出这个对角矩阵及相应8定理定理 4 4 n n 阶方阵阶方阵 A A 相似于对角矩阵相似于对角矩阵 的充的充要条件是要条
6、件是 A A 有有 n n 个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量.证证 必要性必要性设有可逆矩阵 P , 使得P-1AP = , 其中 =diag ( 1 , 2 , , n ).将矩阵 P 按列分块,令 P = ( p1 , p2 , , pn ), 则由 P-1AP = , 得 AP = P , 即9因而 Api = i pi , i = 1, 2, , n ,因为 P 为可逆矩阵, 所以 p1 , p2 , , pn为线性无关的非零向量, 它们分别是矩阵 A 对应于特征值1 , 2 , , n 的特征向量.10充分性充分性由必要性的证明可见, 如果矩阵 A 有 n 个线性无关的特征向
7、量, 设它们为 p1 , p2 , , pn , 对应的特征值分别为 1 , 2 , , n , 则有Api = i pi , i = 1, 2, , n以这些向量为列构造矩阵 P = ( p1 , p2 , , pn ), 则 P 可逆, 且AP = P , 其中 =diag (1 , 2 , , n ) ,即 P-1AP = . 证毕证毕11相似于对角矩阵. 证 由第二节的定理2可知，不同的特征值对应的特征向量线性无关, 因而,当 A 有 n 个不同的特征值时, 必有 n 个线性无关的特征向量, 故 A 能证毕证毕则则A A 必能相似于对角矩阵必能相似于对角矩阵. .推论推论 若若 n n
8、 阶方阵阶方阵 A A 有有 n n 个不同的特征值个不同的特征值, , 12一定能对角化.对于 n 阶方阵 A , 若存在可逆矩阵 P , 使 P-1AP = ( 为对角矩阵),则称 A A 能对角化能对角化. 对于能对角化的矩阵，我们称求对角矩阵称求对角矩阵 和可逆和可逆矩阵矩阵 P P 使使 P P- -1 1APAP = = 的过程为把矩阵的过程为把矩阵 A A 对角化对角化.由前面的讨论可知, 当 A 的特征方程没有重根时,A 一定能对角化; 当 A 的特征方程有重根时,这时A 不一定有 n 个线性无关的特征向量, 所以 A 不13n1 + n2 + + ns = n. 三、矩阵对角
9、化的步骤三、矩阵对角化的步骤设 n 阶方阵 A 可对角化，则把 A对角化的步骤如下：步骤步骤 1 1 ：求出矩阵 A 的所有特征值，设 A有 s 个不同的特征值 1 , 2 , , s ，它们的重数分别为 n1, n2 , , ns , 有14步骤步骤 2 :2 : 对 A 的每个特征值 i ,求(A - iE)x = 0的基础解系, 设为( i = 1, 2, , s ) . 以这些向量为列构造矩阵则 P-1AP = .15上的元素( A 的特征值 ) 之间的对应关系.要注意矩阵 P 的列与对角矩阵 主对角线例例 1 1 设有矩阵(1)(1) 问矩阵 A 是否可对角化, 若能, 试求可逆矩阵
10、 P 和对角矩阵 , 使 P-1AP = . (2)(2) 使 P-1AP = 成立的 P , 是否唯一，举例说明.16（1 1） 矩阵 A 的特征多项式为解解 所以 A 的三个特征值分别为:17当时, 解方程组即解之得基础解系为所以是对应于的特征向量.18当时, 解方程组即解之得基础解系为所以是对应于的特征向量.19当时, 解方程组即解之得基础解系为所以是对应于的特征向量.20因为线性无关即三阶矩阵 A 有三个线性无关的特征向量, 所以令则用初等变换求逆用初等变换求逆矩阵 A 可对角化.21此时且有 P-1AP = .22（2 2） 使 P-1AP = 成立的 P , 不唯一. 如若取则此时
11、亦有 P-1AP = .用初等变换求逆用初等变换求逆23例例 2 2 设问 x 为何值时，矩阵 A 能对角化？解解求特征多项式和特征值求特征多项式和特征值得 24对应单根 1 = -1 ，可求得线性无关的特征向量恰有一个，是对应重根 2 = 3 = 1 ，有两个线性无关的特征向量，的解，亦即系数矩阵 A E 的秩R(A E) = 1 .由初等行变换初等行变换得 x = -1 时， R(A E) = 1 ，矩阵 A 能对角化.故矩阵 A 可对角化的充要条件即方程 (A E ) x = 0 有两个线性无关25方法评注方法评注由判别矩阵是否可对角化的问题可变成求矩阵的秩的问题.设 n 阶矩阵 A 有
12、 s 个不同的特征值：1 , 2 , , s ,它们的重数分别为 n1 , n2 , , ns , 有n1 + n2 + + ns = n .于是26A A 可可对角化对角化A A 有有 n n 个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量A A 的的 n ni i重特征值有重特征值有 n ni i 个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量方程方程 ( (A A - - i iE E) )x x = 0 = 0 的基础解系由的基础解系由 n ni i 个个向量构成向量构成R R ( (A A - - i iE E) = ) = n n - - n ni i27问题的提出问题的提出主要内容主要内容特
13、征值与特征向量的性质特征值与特征向量的性质对称矩阵对角化的步骤对称矩阵对角化的步骤第第 四四 节节 对称矩阵的对角化对称矩阵的对角化举例举例28而有的就不能找到 n 个线性无关的特征向量.上一节我们讨论了矩阵能对角化的充要条件: n 阶方阵 A 能对角化的充要条件是 A 有 n 个线性无关的特征向量. 通过前面的学习我们知道,有的 n 阶方阵能找到 n 个线性无关的特征向量, 一、问题的提出一、问题的提出29矩阵的情形.那么，一个 n 阶方阵到底应具备什么条件时才能对角化? 这是一个较复杂的问题.此不进行一般性的讨论，而仅讨论当 A 为实对称我们对二、特征值与特征向量的性质二、特征值与特征向量
14、的性质定理定理 5 5 对称矩阵的特征值为实数对称矩阵的特征值为实数.30设复数 为对称矩阵 A 的特征值, 复用表示 的共轭复数共轭复数,表示 x 的共轭复向量,用则于是有向量 x 为对应的特征向量，即 Ax = x ，x 0 .证明证明31因为 x 0 , 所以故即这说明 是实数.证毕证毕及两式相减,得32础解系, 所以对应的特征向量可以取实向量.显然, 当特征值 为实数时, 齐次线性方程组(A - E)x = 0是实系数方程组, 由 | A - E | = 0 知必有实的基定理定理 6 6 设设 1 1 , , 2 2是对称矩阵是对称矩阵 A A 的两个特的两个特征值征值, , p p1 1, , p p2 2是对应的特征向量是对应的特征向量, ,若若 1 1 2 2, , 则则p p1 1, , p p2 2正交正交. .33由已知有1p1 = Ap1 , 2p2 = Ap2 , 1 2 .因 A 对称, 故1p1T = (1p1)T = (Ap1)T = p1TAT = p1TA
