《高数第二篇线性代数 高等数学课件 1_1行列式定义性5质与计算》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高数第二篇线性代数 高等数学课件 1_1行列式定义性5质与计算（25页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、线性代数下页结束返回2010-2011第一学期 线性代数任课教师：田祥部 门：信息学院 办公室：文理大楼 721 室 E-mail：下页线性代数下页结束返回一 线性代数的发展过程线性代数下页结束返回二、线性代数的主要研究对象a11x1+a12x2+ +a1nxn =b1 a21x1+a22x2+ +a2nxn =b2am1x1+am2x2+ +amnxn=bm 线性方程组如何求解？方程组有解？是唯一解？无解，停求唯一解，停求通解，停YNYN线性代数下页结束返回第1章 行列式1.1 二三阶行列式 用消元法解二元一次方程组 (a11a22- a12a21) x2= a11b2- b1a21(a11
2、a22- a12a21) x1= b1a22- a12b2第1节 行列式的概念用a22和a12分别乘以两个方程的两端，然后两个方程相减，消去x2得 同理，消去x1得当时，方程组的解为下页二阶行列式 线性代数下页结束返回当时，方程组的解为为便于叙述和记忆， 引入符号D =D1 =称D为二阶行列式.按照二阶行列式定义可得D2 =于是，当D0时，方程组的解为下页线性代数下页结束返回j = 1，2，3类似引入符号其中D1, D2, D3分别为将D的第1、2、3列换为常数项后得到的行列式.三阶行列式 求解三元方程组称D为三阶行列式.下页线性代数下页结束返回25431 是一个5级排列.如，3421 是4级
3、排例；例1写出所有的3级全排列.解：所有的3级排列为：321 .312，231，213，132，123，1.2 排列n 个自然数1,2,n 按一定的次序排成的一个无重复数字的有序数组称为一个 n 级排列，记为i1i2in. 其中，排列12n称为自然排列. 下页显然，n 级排列共有个n! .线性代数下页结束返回3 4 2 1逆序数的计算方法(向前看法)4231从而得 (3421)=5.5逆序及逆序数定义1 在一个级排列i1i2 in中，若一个较大的数排在一个较小数的前面，则称这两个数构成一个逆序.一个排列中逆序的总数，称为这个排列的逆序数，记为(i1i2 in). 下页线性代数下页结束返回奇排列
4、与偶排列逆序及逆序数定义1 在一个级排列i1i2 in中，若一个较大的数排在一个较小数的前面，则称这两个数构成一个逆序.一个排列中逆序的总数，称为这个排列的逆序数，记为(i1i2 in). 逆序数是奇数的排列，称为奇排列.逆序数是偶数或0的排列，称为偶排列.如 3421是奇排列，1234是偶排列，因为(3421)=5.因为(1234)=0.下页线性代数下页结束返回定义3 符号称为n阶行列式，它表示代数和 其中和式中的排列 j1 j2 jn要取遍所有n级排列.元素ai j列标行标1.3 n 阶行列式下页n 阶行列式定义线性代数下页结束返回a11 a21 an1 a12 a22 an2 a1n a
5、2n ann (3) n 阶行列式共有n!项. (-1)(j1 j2 jn) .之前的符号是n 个元素的乘积. (1) 在行列式中,项是取自不同行不同列的行列式有时简记为| a ij |.一阶行列式|a|就是a. =说明：下页(2) 项线性代数下页结束返回a14a23a31a44a14a23a31a42例1 四阶行列式a11 a21 a31 a41 a12 a22 a32 a42 a13 a23 a33 a43 a14 a24 a34 a44 中（1）表示的代数和中共有多少项.（2） a14a23a31a42的符号？的列标排列为4312不是，因为该项中有两个取自第四列的元素。下页(为奇排列)，
6、该项的符号为负（4!=24项）（3）问中是否是四阶行列中的一项？线性代数下页结束返回D =行列式计算解：根据行列式定义例1计算2 阶行列式D =注：3阶行列式的计算类似，略.下页线性代数下页结束返回例2计算 n 阶下三角形行列式D的值其中aii0(i=1, 2, , n).D =a11 a21 a31 an1 0 a22 a32 an2 0 0 a33 an3 0 0 0 ann 解：为使取自不同行不同列的元素的乘积不为零，D = (-1)(1 2 n)a11a22a33 ann第一行只能取a11，第三行只能取a33，第二行只能取a22，第 n 行只能取ann. ， 这样不为零的乘积项只有a1
7、1a22a33 ann，所以= a11a22a33 ann.下页线性代数下页结束返回例3计算 n 阶下三角形行列式D的值D =0 0 0 bn bn-1 * 0 0 * * b1 * * * 0 b2 * *解：为使取自不同行不同列的元素的乘积不为零，D = (-1)(n n-1 21) b1b2b3 bn第一行只能取b1，第n-1行只能第二行只能取b2，第 n 行只能取bn . ， 这样不为零的乘积项只有b1b2b3 bn，所以取bn-1，下页线性代数下页结束返回下三角形行列式的值：a11 a21 a31 an1 0 a22 a32 an2 0 0 a33 an3 0 0 0 ann = a
8、11a22a33 ann.上三角形行列式的值：a11 0 0 0a12 a22 0 0a13 a23 a33 0 a1n a2n a3n ann = a11a22a33 ann .对角形行列式的值：a11 0 0 0 0 a22 0 0 0 0 a33 0 0 0 0 ann = a11a22a33 ann .结论：下页线性代数下页结束返回将行列式D的行与列互换后得到的行列式称为D的转置行列式，记为DT (Transpose)或D .即如果2.1 行列式的性质a11 a21 an1 a12 a22 an2 a1n a2n ann D =，a11 a12 a1n a21 a22 a2n an1
9、an2 ann DT =则.第2节 行列式的性质与计算显然，( DT )T=D .下页行列式的转置线性代数下页结束返回性质3 用数k乘以行列式的某一行(列)，等于用数k乘以此行列式.即a11 kai1 an1 a12 kai2 an2 a1n kain ann =k.a11 ai1 an1 a12 ai2 an2 a1n ain ann 性质1 行列式与它的转置行列式相等，即D =DT.推论1 如果行列式的某一行(列)的元素为零，则D0.性质2 互换行列式的两行(列)，行列式的值变号. 推论 如果行列式D中有两行(列)的元素相同，则D=0.推论2 如果D中有两行(列)成比例，则D=0.下页线性
10、代数下页结束返回性质4 若行列式中的某一行(列)的元素都是两数之和，则此行列式可以写成两个行列式之和.即 a11 ai1+bi1 an1a12 ai2+bi2 an2a1n ain+bin ann a11 ai1 an1 a12 ai2 an2 a1n ain ann =性质5 将行列式的某一行(列)的所有元素同乘以数k后加到另一行(列)对应位置的元素上，行列式的值不变.即 a11 ai1 an1 a12 ai2 an2 a1n ain ann a11 ai1+kaj1 an1a12 ai2+kaj2 an2a1n ain+kajn ann =.+a11 bi1 an1 a12 bi2 an2
11、 a1n bin ann .下页线性代数下页结束返回行列式的计算要点：利用性质将其化为上三角行列式，再进行计算.为表述方便，引入下列记号(行用r，列用c)：2)以数k乘以行列式的第i行，用kri表示；3)以数k乘以行列式的第i行加到第j行，用rj+kri表示.1)交换行列式的第i行与第j行，用表示；下页线性代数下页结束返回例1. 计算行列式解：= -85.下页线性代数下页结束返回例2. 计算行列式解：下页线性代数下页结束返回例3. 计算行列式解： 将各行都加到第一行，从第一行提取（x+（n-1）a）得下页线性代数下页结束返回解：例4. 计算行列式下页线性代数下页结束返回结束作业： 20页 1 (1) (2) 21页 23 (1)
