由一道高考题看正余弦定理的应用

《由一道高考题看正余弦定理的应用》由会员分享，可在线阅读，更多相关《由一道高考题看正余弦定理的应用（2页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、由一道高考题看正余弦定理的应用由一道高考题看正余弦定理的应用山东省山东省 胡彬胡彬 广大考生对正余弦定理本身并不陌生。在平时的学习中，只是把它当作一种在三角形 中求角求边长的工具，所遇到的问题多数情况下并不复杂；也很少去思考在应用这一定理 时应注意些什么、会有些什么样的难点、高考的考察会到一个什么样的程度。如果忽视这 些问题，一旦高考中出现了专门考察正余弦定理的三角函数问题，就会导致考试做题时无 从下手，进而出现得分率低的情况。2005 年湖北理科数学卷的十八题就出现了一道专门考 察正余弦定理的应用的问题。从高考完成后所公布的统计数据以及考生反馈回来的情况看， 该题的答题效果是非常不理想的、得

2、分率低也是不高的。问题到底出现在哪，让我们先看 看原题，然后再分析分析解答过程：在ABC 中，已知边上的中线 BD=，求 sinA 的值.ACBAB,66cos,3645通过分析该题的题意及条件，大多数考生同学都不难得出：本题主要是考查正弦定理、 余弦定理等基础知识，同时考查利用三角公式进行恒等变形的技能和运算能力.题意非常明 确，但一试方知问题并非简单。下面给出两种解法：解法 1：设 E 为 BC 的中点，连接 DE，则 DE/AB，且 DE=,362 21xBEAB设在BDE 中利用余弦定理可得： BD2=BE2+ED22BEEDcosBED，,66 36223852xx,328cos2,

3、 2),(37, 1222BBCABBCABACBCxx从而故舍去解得.1470sin,6303212sin2,630sin,3212AABAC故又即解法 2：过 A 作 AHBC 交 BC 于 H，延长 BD 到 P 使 BD=DP，连接 AP、PC，过 P 作 PNBC 交 BC 的延长线于 N，则 HB=ABcosB=,354,34AH.1470sin,6303212sin2.3212,32, 2,34,310)354()52(22222222AAHCAHACHCCNBNBCHBCNAHBPPNBPBN故由正弦定理得而由以上两种解法可以看出解决问题的关键在于识图与作图：解法一选取了一个关

4、键点边上的中点点，连接 DE 后就又出现了一个角，即角。于是BCEBDEC 剩下的问题就迎刃而解了，可见边上的中点点起到了画龙点睛的作用，但是没BCE 有平时的专有训练，想迅速看出点在解题中所起到的关键作用并不是一件容易事；E解法二在原图形的基础上，通过做辅助线，产生了一个与三角形全等的三角形ABC ，这样为下面用正弦定理求 sinA 的值创造了条件。可是没有熟练的作图基本APC 功，也是很难得出这一解法的。综上所述，识图与作图在解决该题的过程中起到了关键作用，当然能否快速的进行 识图与作图也和我们对题意的理解以及对试题所考查知识的熟练程度有关。针对以上 分析，不难得出这样的结论：在正余弦定理（即解三角形）这一部分的学习及复习过 程中，应当加强识图与作图的专项训练。 最后，为了加深对该题的认识，我们从另一个侧面用向量的方式给出解法 3：以 B 为坐标原点，轴正向建立直角坐标系，且不妨设点 A 位于第一象限.xBC为22304 64 64 4 5sin,(cos ,sin)( ,),63333432 5( ,0),(,).63432 514|()()5.2,().633BBABBxBCxBDxBDxx 去去去去去去去),354,32(CA故.1470cos1sin,14143980 94 980 916980 98|cos2 AACABACABAA于是