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1、2.5 矩阵的秩一、一、 矩阵秩的概念矩阵秩的概念二、二、 矩阵秩的计算矩阵秩的计算三、三、 矩阵的标准形矩阵的标准形k阶子式的定义 设一、一、 矩阵秩的概念矩阵秩的概念组成的k阶行列式S, 按原来的相对位置,例1)可讨论它的几阶子式?2)各阶子式分别有几个?一般地1至3阶子式！1阶子式：2阶子式：3阶子式：矩阵秩的定义 则D称为A的最高阶非0子式， r称为A的秩，记为规定零矩阵的秩为0。1. A中r+1阶子式都为0时，所以秩r是A的不为0子式的最高阶数。比r+1阶子式高阶的子式也为0。2. 显然对任意矩阵A， A的秩唯一，但其最高阶非零子式一般不唯一.例解解计算A的3阶子式，基本结论与性质
2、1. R(A)=0 A=O；2. R(A) r A有一个r 阶子式不为零； 3. R(A) r A的所有r +1阶子式全为零。 可逆矩阵称为满秩矩阵不可逆矩阵称为降秩矩阵（或退化矩阵）定义例解结论：行阶梯形矩阵的秩为其非0行的行数。结论：行阶梯形矩阵的秩为其非0行的行数。定理：矩阵经过初等行变换定理：矩阵经过初等变换后其秩不变。证明 （自学）一定可以化为行阶梯形矩阵。二、矩阵秩的计算二、矩阵秩的计算求矩阵秩的方法：将矩阵作初等行变换，把矩阵化为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵的非0行的行数(也即首非0元的个数）即为矩阵的秩。解2显然，非0行的行数为2，此方法简单！例例解 分析：法1法2对任意矩阵A,
3、 R(PA)=R(AQ)=R(PAQ)=R(A)，其中P, Q分别为可逆矩阵.推论矩阵乘可逆矩阵秩不变证PA = Et E1 A ，即 PA 为A经行初等变换所得. 同理可证其他.因为P可逆， 存在初等矩阵E1, , Et使得P = E1 Et，故 R(PA)= R(A).三、矩阵的标准形定理推论：若矩阵A与B等价当且仅当R(A)= R(B)。例 设求A的标准形.R(A) = 2.解例 设A为n阶矩阵(n2)，证明证 若R(A)=n: R(A) n-1 : |A|0， A中所有n-1阶子式均为零， 例 设A为n阶矩阵(n2)，证明附带结果：例 证明证存在可逆矩阵P1,P2,Q1,Q2使得小小 结结 1、矩阵秩的概念2、矩阵秩的计算3、矩阵的等价标准形矩阵秩是A的不为0子式的最高阶数。将矩阵作初等行变换化为行阶梯形矩阵,行阶梯形矩阵的非0行的行数即为矩阵的秩。作业作业 P87 1(1)(3) P87 1(1)(3) ， 2(2) 2(2) ， 3 3， 7 7
