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1、第三章 微分中值定理与导数的应用 中值定理 罗必达法则 函数的单调性 凸性的判定 函数极值和最值 函数作图 导数在经济中的应用13.1.1 罗尔 ( Rolle ) 定理 1）在闭区间上连续;2) 在开区间内可导;有一点则在内至少使aboyABx几何意义: 在两端点高度相同的连续光滑的曲线弧上, 若除端点外处处有不垂直于 x 轴的切线, 则此曲线弧上至少有一点,在该点处的 切线是水平的.若函数满足：3)3.1 中值定理定理3.1.12证明:aboyABx则在 a, b 上取得最大值 M 和最小值 m .1). 若即恒为常数, 可取(a, b)内任一点作为2). 若由知,M , m 至少有一个要
2、在内取得.不妨设 M 在内点处取得即所以,证毕.32）称为函数的驻点.例1. 不用求函数的导数,说明方程有几个实根,并指出它们所在的区间.解同理在上分别使用罗尔定理,使使使方程至少有三个实根,说明在上连续，(1,2)内可导在上应用罗尔定理1）罗尔定理的三个条件缺一不可方程至多有三个实根,方程正好有三个实根, 分别在区间 (1,2), (2,3), (3,4) 内.43.1.2 拉格朗日 (Lagrange) 定理aboyABxC 使（1）或（2）几何意义：在连续、光滑的曲线弧上，除端点外处处有不垂直于 x 轴的 切线，则在曲线弧上至少存在一点C，在该点处的切线与连接两 端点的弦平行.1） 在闭
3、区间上连续;2) 在开区间内可导;至少有一点若函数满足：则在内定理3.1.25分析： 要证即证即证令只须证只须证在上满足罗尔定理条件.6证明：易见在上连续，在内可导， 且即根据罗尔定理知，使即即构造辅助函数71). (1)或(2)式对于时也成立.拉格朗日中值公式.2). 若令则,于是拉格朗日公式可写成:(3)3). 若令则得有限增量公式:(4)2). 定理结论肯定中间值的存在,但未知其确切位置;3). 式中的可能不只一个, 这并不影响它在理论上的应用说明（1）1). 定理中的两个条件 缺一不可.注意8验证:在闭区间上连续, 在开区间内可导,满足拉格朗日中值定理的条件, 即即的确在 (0,1)
4、内 找到使定理成立.应用定理知例1. 验证拉格朗日中值定理对函数在区间 0,1 上的正确性.并求9例2. 证明 不等式其中为任意实数.证 设在或上满足拉氏定理条件, 由定理知,或, 使即所以,10时,例3. 证明 当证 设对在上应用拉氏中值定理, 使即因所以即11证不妨设在上应用中值定理,使所以, 由的任意性知,推论2 若函数内可导,在且则( C 为常数 )证由推论1知即推论1且则内可导,在若函数设令12例4. 试证 证. 所以因所以设13若函数满足:则在 内至少存在一点使成立.1).在闭区间上连续;2). 在开区间内可导;且3.1.3 柯西 (Cauchy) 定理 定理 3.1.3 143.1.4 泰勒(Taylor)定理用多项式近似表示复杂函数.提出如下问题：微分的应用中： 当很小时，2）给出误差的具体表达式.1）何种条件下，如何寻求多项式函数使15其中(2)，有(1)定理3.1.4 (泰勒定理)若函数在含有点的某一区间内有直到阶的导数，则对介于之间.按的幂展开的阶泰勒公式.拉格朗日型余项.16在泰勒公式中, 取马克劳林(Maclaurin)公式, 则有(3)得近似公式:泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推广.当时,17例1.写出函数的阶马克劳林公式.解若取得误差由此得近似公式:误差18解例2. 写出函数的阶马克劳林公式.19
