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1、数量关系 第七章第一部分 向量代数第二部分 空间解析几何 在三维空间中: 空间形式 点, 线, 面基本方法 坐标法; 向量法坐标, 方程（组）空间解析几何与向量代数 四、利用坐标作向量的线性运算 第一节一、向量的概念二、向量的线性运算 三、空间直角坐标系五、向量的模、方向角、投影 机动 目录 上页 下页 返回 结束 向量及其线性运算 第七章 表示法:向量的模 : 向量的大小,一、向量的概念向量:(又称矢量). 既有大小, 又有方向的量称为向量向径 (矢径):自由向量: 与起点无关的向量.起点为原点的向量.单位向量: 模为 1 的向量,零向量: 模为 0 的向量,有向线段 M1 M2 ,或 a
2、,机动 目录 上页 下页 返回 结束 规定: 零向量与任何向量平行 ;若向量 a 与 b大小相等, 方向相同, 则称 a 与 b 相等,记作 ab ;若向量 a 与 b 方向相同或相反, 则称 a 与 b 平行,ab ;与 a 的模相同, 但方向相反的向量称为 a 的负向量,记作因平行向量可平移到同一直线上, 故两向量平行又称 两向量共线 .若 k (3)个向量经平移可移到同一平面上 , 则称此 k 个向量共面 .记作a ;机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、向量的线性运算1. 向量的加法三角形法则:平行四边形法则 :运算规律 : 交换律结合律三角形法则可推广到多个向量相加 .机动 目录
3、上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 向量的减法三角不等式机动 目录 上页 下页 返回 结束 3. 向量与数的乘法 是一个数 , 规定 :可见 与 a 的乘积是一个新向量, 记作总之:运算律 : 结合律 分配律因此机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理1. 设 a 为非零向量 , 则( 为唯一实数)证: “ ”., 取 且再证数 的唯一性 .则ab设 ab取正号, 反向时取负号, a , b 同向时则 b 与 a 同向,设又有 b a ,机动 目录 上页 下页 返回 结束 “ ”则例1. 设 M 为解:ABCD 对角线的交点,已知 b a , b0 a , b 同
4、向 a , b 反向ab 机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、空间直角坐标系由三条互相垂直的数轴按右手规则 组成一个空间直角坐标系. 坐标原点 坐标轴x轴(横轴)y轴(纵轴)z 轴(竖轴)过空间一定点 o , 坐标面 卦限(八个)zox面1. 空间直角坐标系的基本概念机动 目录 上页 下页 返回 结束 向径在直角坐标系下坐标轴上的点 P, Q , R ;坐标面上的点 A , B , C点 M特殊点的坐标 :有序数组 (称为点 M 的坐标)原点 O(0,0,0) ;机动 目录 上页 下页 返回 结束 坐标轴 : 坐标面 :机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 向量的坐标表示在空间直角坐标
5、系下,设点 M 则沿三个坐标轴方向的分向量.的坐标为此式称为向量 r 的坐标分解式 ,任意向量 r 可用向径 OM 表示.机动 目录 上页 下页 返回 结束 四、利用坐标作向量的线性运算设则平行向量对应坐标成比例:机动 目录 上页 下页 返回 结束 五、向量的模、方向角、投影 1. 向量的模与两点间的距离公式则有由勾股定理得因得两点间的距离公式:对两点与机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 方向角与方向余弦设有两非零向量 任取空间一点 O , 称 =AOB (0 ) 为向量 的夹角. 类似可定义向量与轴, 轴与轴的夹角 . 与三坐标轴的夹角 , , 为其方向角.方向角的余弦称为其方向余弦.
6、 记作机动 目录 上页 下页 返回 结束 第二节一、平面的点法式方程二、平面的一般方程三、两平面的夹角机动 目录 上页 下页 返回 结束 平面及其方程 第七章 一、平面的点法式方程设一平面通过已知点且垂直于非零向称式为平面的点法式方程,求该平面的方程.法向量.量 则有 故机动 目录 上页 下页 返回 结束 例1.求过三点即解: 取该平面 的法向量为的平面 的方程. 利用点法式得平面 的方程机动 目录 上页 下页 返回 结束 此平面的三点式方程也可写成 一般情况 : 过三点的平面方程为说明:机动 目录 上页 下页 返回 结束 特别,当平面与三坐标轴的交点分别为此式称为平面的截距式方程. 时,平面
7、方程为 分析:利用三点式 按第一行展开得 即机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、平面的一般方程设有三元一次方程 以上两式相减 , 得平面的点法式方程此方程称为平面的一般任取一组满足上述方程的数则显然方程与此点法式方程等价 , 的平面, 因此方程的图形是法向量为 方程.机动 目录 上页 下页 返回 结束 特殊情形 当 D = 0 时, A x + B y + C z = 0 表示 通过原点的平面; 当 A = 0 时, B y + C z + D = 0 的法向量平面平行于 x 轴; A x+C z+D = 0 表示 A x+B y+D = 0 表示 C z + D = 0 表示 A x +
8、 D =0 表示 B y + D =0 表示平行于 y 轴的平面;平行于 z 轴的平面;平行于 xoy 面 的平面;平行于 yoz 面 的平面 ；平行于 zox 面 的平面.机动 目录 上页 下页 返回 结束 例2. 求通过 x 轴和点( 4, 3, 1) 的平面方程.例3.用平面的一般式方程导出平面的截距式方程.解: 因平面通过 x 轴 ,设所求平面方程为代入已知点得化简,得所求平面方程(P327 例4 , 自己练习) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、两平面的夹角设平面1的法向量为平面2的法向量为则两平面夹角 的余弦为即两平面法向量的夹角(常为锐角)称为两平面的夹角.机动 目录 上页
9、 下页 返回 结束 特别有下列结论 ：机动 目录 上页 下页 返回 结束 因此有例4. 一平面通过两点垂直于平面: x + y + z = 0, 求其方程 .解: 设所求平面的法向量为即的法向量约去C , 得即和则所求平面故方程为 且机动 目录 上页 下页 返回 结束 外一点,求例5. 设解:设平面法向量为在平面上取一点是平面到平面的距离d .,则P0 到平面的距离为(点到平面的距离公式)机动 目录 上页 下页 返回 结束 例6.解: 设球心为求内切于平面 x + y + z = 1 与三个坐标面所构成则它位于第一卦限,且因此所求球面方程为四面体的球面方程.从而机动 目录 上页 下页 返回 结
10、束 第三节一、空间直线方程 二、线面间的位置关系 机动 目录 上页 下页 返回 结束 空间直线及其方程第七章 一、空间直线方程因此其一般式方程1. 一般式方程 直线可视为两平面交线，(不唯一)机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 对称式方程故有说明: 某些分母为零时, 其分子也理解为零.设直线上的动点为 则此式称为直线的对称式方程(也称为点向式方程)直线方程为已知直线上一点例如, 当和它的方向向量 机动 目录 上页 下页 返回 结束 3. 参数式方程设得参数式方程 :机动 目录 上页 下页 返回 结束 例1.用对称式及参数式表示直线解:先在直线上找一点.再求直线的方向向量令 x = 1,
11、解方程组,得交已知直线的两平面的法向量为是直线上一点 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 故所给直线的对称式方程为参数式方程为解题思路: 先找直线上一点;再找直线的方向向量.机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、线面间的位置关系 1. 两直线的夹角 则两直线夹角 满足设直线两直线的夹角指其方向向量间的夹角(通常取锐角)的方向向量分别为机动 目录 上页 下页 返回 结束 特别有:机动 目录 上页 下页 返回 结束 例2. 求以下两直线的夹角解: 直线直线二直线夹角 的余弦为(参考P332 例2 )从而的方向向量为的方向向量为机动 目录 上页 下页 返回 结束 当直线与平面垂直时,规定其夹角线
12、所夹锐角 称为直线与平面间的夹角;2. 直线与平面的夹角当直线与平面不垂直时,设直线 L 的方向向量为 平面 的法向量为则直线与平面夹角 满足直线和它在平面上的投影直机动 目录 上页 下页 返回 结束 特别有:解: 取已知平面的法向量则直线的对称式方程为直的直线方程. 为所求直线的方向向量. 垂 例3. 求过点(1,2 , 4) 且与平面机动 目录 上页 下页 返回 结束 1. 空间直线方程一般式对称式参数式内容小结 机动 目录 上页 下页 返回 结束 直线2. 线与线的关系直线夹角公式:机动 目录 上页 下页 返回 结束 平面 :L L / 夹角公式 ：3. 面与线间的关系直线 L :机动 目录 上页 下页 返回 结束
