DVD在线租赁问题的探讨数学建模

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1、1DVD 在线租赁问题的探讨在线租赁问题的探讨摘要摘要本文探讨了 DVD 在线租赁问题，建立了 DVD 租赁问题的优化模型，依据 会员满意度达到最优原则，综合考虑网站制定的若干约束，分层次建立了以下 三个模型：模型：利用概率统计中样本分布可估计总体分布的知识，建立了在最糟糕的 情况下也能满足会员要求所需要的 DVD 数量的模型，并且得到了满 足要求的结果：一个月：DVD1DVD5 张数分别为： 6250，3125，1563，782，313。三个月： 3959，1980，990，495，198。 模型：我们定义了一个较为合理的满意度函数，建立了 0-1 整数规划的模型 并用 lingo8.0 求

2、解，得到总体平均满意度为 0.9156 的全局最优分配 情况，并且具体列出了前 30 位会员分别获得的 DVD 编号。 模型：我们采用了单因素、双因素分层次解决双目标规划的方法，通过计算 机 C 语言编程来实现随机抽样，模拟真实情况，并通过大量的数据观 测出 DVD 总数稳定在 28502950 张之间，根据这一点我们提出了一个 快速算法，使得计算效率大大提高。 我们还从市场因素，服务因素，时间因素和其他因素综合考虑了 DVD 需求 预测，购买，分配中的一些问题，并就需求问题做了专门的探讨，其中会员人 流量为其主要因素。 本文章还从会员一次订购 DVD 的数量对满意度函数进行了灵敏度分析，并

3、根据拟合图像验证了一次订购 3 张 DVD 可以使满意度达到最优的假设。 在问题的进一步讨论中，我们给出了模型可能的取值范围，考虑到实际 情况，对模型进行了改进，提出了一种应用更广泛的模型。关键词：全局最优解 01 规划 满意度 随机抽样 快速算法2一一问题重述问题重述1. 1 问题的背景 在线 DVD 租赁问题。随着信息时代的到来，网络成为人们生活中越来越 不可或缺的元素之一。许多网站利用其强大的资源和知名度，面向其会员群提 供日益专业化和便捷化的服务。 12 实际现状 顾客缴纳一定数量的月费成为会员，订购 DVD 租赁服务。会员若对 DVD 有兴趣，只要在线提交订单，网站就会通过快递的方式

4、尽可能满足要求。会员 提交的订单包括多张 DVD，这些 DVD 是基于其偏爱程度排序的。网站会根据 手头现有的 DVD 数量和会员的订单进行分发。每个会员每个月租赁次数不得 超过 2 次，每次获得 3 张 DVD。会员看完 3 张 DVD 之后，只需要将 DVD 放 进网站提供的信封里寄回（邮费由网站承担） ，就可以继续下次租赁。 13 要解决的问题： 1）网站正准备购买一些新的 DVD，通过问卷调查 1000 个会员，得到了愿意观 看这些 DVD 的人数。此外，历史数据显示，60%的会员每月租赁 DVD 两 次，而另外的 40%只租一次。假设网站现有 10 万个会员，对表 1 中的每种 DV

5、D 来说，应该至少准备多少张，才能保证希望看到该 DVD 的会员中至少 50%在一个月内能够看到该 DVD？如果要求保证在三个月内至少 95%的会 员能够看到该 DVD 呢？ 2）表 2 中列出了网站手上 100 种 DVD 的现有张数和当前需要处理的 1000 位 会员的在线订单，如何对这些 DVD 进行分配，才能使会员获得最大的满意 度？请具体列出前 30 位会员分别获得哪些 DVD。 3）继续考虑表 2，并假设表 2 中 DVD 的现有数量全部为 0。如果你是网站经 营管理人员，你如何决定每种 DVD 的购买量，以及如何对这些 DVD 进行 分配，才能使一个月内 95%的会员得到他想看的

6、 DVD，并且满意度最大？ 4）如果你是网站经营管理人员，你觉得在 DVD 的需求预测、购买和分配中还 有哪些重要问题值得研究？请明确提出你的问题，并尝试建立相应的数学模 型。二二基本假设及符号说明基本假设及符号说明基本假设： 1) 以自然月为单位，会员入会生效时间均从每月月初开始，每个会员每月租 赁次数不得超过两次，每次获得三张 DVD。定义会员得到 DVD 并将其归还为3一次租赁。 2) 假设问卷调查中的数据来源准确、可信、稳定、科学。 3) 假设无论会员该月租赁多少 DVD（不得多于 6 张） ，交纳会费金额相等。符号说明：（j=1,5）jx模型 I 中 DVDj 的张数（j=1,5）j

7、y模型 I 中愿意看 DVDj 的会员人数（i=1,1000)iS第 i 位会员的满意度（i=1,1000 ）ija（j=1,100）第 i 位会员对第 j 种 DVD 的偏爱程度（偏爱程度越高， 数字越小，数字 0 表示对应的 DVD 当前不在会员订单中）（i=1,1000) ij （j=1,100）10ij当网站将 DVDj 租赁给第 i 位会员时，该值取 1，反之取 0（j=1,100）jb表 2 中 DVDj 的张数张次：DVD 被借出一次为一张次，即使同一 DVD 被借出 N 次为 N 张次。 张数：DVD 的数量，单位：张。三三问题分析问题分析考察问题的题设与要求，对新购买的 DV

8、D，只需考虑一个月内某种 DVD 借出的总张次要满足该月借该 DVD 的部分人次的需要，三个月内满足一定比 例的计算方法也是一样的。根据抽样调查知识，样本均值可估计总体均值，因 此 10 万会员的计算也是一样的。 对于当前需要处理的订单，本问题的难点是怎样定义满意度函数，既要考 虑使每位会员每次尽量得到 3 张 DVD，又要考虑其对其得到的 DVD 的偏爱程 度。定义一个科学合理的满意度函数是问题的关键。 作为网站经营管理人员，如何购买并分配 DVD，在考虑购买成本的同时让 会员得到想看的 DVD 且满意度最大，也是一个规划问题。事实上这相当于原 始规划问题的对偶问题。 在网络这个大染缸中，网

9、络租赁 DVD 的经营模式将会遇到很多的挑战。要 想在视频销售市场占有一席之地，想让网站赢得更加广阔的消费群，对市场预 测，会员购买和 DVD 分配的分析是必不可少的。4四四模型的建立及求解模型的建立及求解4.1 模型 I1.前期工作： 补充假设： 假设被调查的 1000 个会员对于整体不存在抽样误差。 对于几个问题，做如下说明及处理： 根据假设，问卷调查中的数据来源准确、可信、稳定、科学。那么对于同一 种 DVD，愿意观看的人中有 60%是每月租赁两次的，40%是每月租赁一次的。 由于会员入会生效时间均从每月月初开始，那么所有会员的周期都保持一致， 即每位会员在月初都有 DVD 分配给他。

10、根据抽样调查知识，样本均值可估计总体均值。这里问卷调查的 1000 个会员是样本，10 万会员是总体，原因如下：(以下与符号说明中的无关)iyiy设总体有 N 个单元,Y 为总体均值，为抽取的 n 个随机样本，其均值为 y；iY为 Y 的估计，则可用样本均值估计总体均值Y即：=y=1/n（） Ynyyy21之所以能这样估计是因为是 Y 的无偏估计，即 E(y)=Y Y证明如下：根据数学期望的定义， E(y)=（y/） ，n NC其中是对所有可能的种情况求和,n NC由于每个 (i=1,2,.N)出现在样本中的次数均为；iy1 1 n NC因此有:（）=（）nyyy211 1 n NCnyyy2

11、1所以有 E(y)= （）/n*=（）/N=Y1 1 n NCnyyy21n NCnyyy21证毕 把每月租赁两次 DVD 的会员抽象出来，即只考虑该会员每月租赁两次，而不 用再考虑其该月第一次的具体起租日期和第二次的具体起租日期。同理，对于 某张在月初被某个月租赁两次的会员租去的 DVD，其在当月必定能被该会员还 回并被第二个会员租走。 对于“至少”二字的理解，考虑最坏的那种情况，即对于月租赁一次的会员， 其占用某 DVD 的时间为一个月，而月租赁两次的会员，某 DVD 在月内被某两位5会员租赁后最后归还时间在该月最后一天，无法再租赁给第三者。2. 模型的建立：根据分析，在 1000 人中每

12、月租赁给两次的会员的 DVD 数为 60%*，由jx于这种 DVD 每月被利用两次，其张次为 2*60%*，同理，每月租赁给一次的会jx员的 DVD 数为 40%*，因此总租赁张次为 2*60%*+40%*。对某种 DVD 租赁jxjxjx总张次要满足愿意观看的人数的一定比例，因此列式为：(2*60%*+40%*) （j=1,，5）jxjx1000/100000jy要保证在三个月内至少 95%的会员能够看到该 DVD，则 DVD 流动时间有三个周期， 列式为：3*（2*60%*+40%*） （j=1,，5）jxjx1000/100000jy3. 模型求解：在一个月内使 50%的会员看到该 DV

13、D，分别将的具体数值代入，得各 DVDiy至少应该准备的张数jx1000*6 . 1/*5 . 0*100000jyDVD 名称DVD1DVD2DVD3DVD4DVD5愿意观看的人数200100502510需要准备的张数625031251563782313 同样，三个月内至少 95%的会员看到该 DVD，应该准备的张数为；jx1000*3*6 . 1/*95. 0*100000jyDVD 名称DVD1DVD2DVD3DVD4DVD5愿意观看的人数200100502510需要准备的张数395919809904951984.2 模型1. 前期工作： 对于几个问题，做以下说明及处理： 对于所有的会员

14、，由于其缴纳的会费是相同的，因此网站不可 能一次只租赁给某会员 2 张 DVD，因为这样就违背了网站一开始 的承诺且有失公平，则会员有权利要求其赔偿。 若某会员要求一个月租赁两次，则网站必须满足其要求，对于 那些一个月只租赁一次的会员，视其为自动放弃租赁第二次的 权利。6 当网站只有某个会员想看的 DVD 中的一张或者两张时，网站可 以推迟寄送时间来等待会员要求的 DVD，以此达到 3 张，即网站 不可能将会员不要求看的 DVD 寄给会员，因为这样对网站和会 员都有害无利，一方面若有别的会员想租赁该 DVD，网站无法提 供，一方面会员不希望看他不想看的 DVD。 对于当前需要处理的 1000

15、个会员的订单，网站只需要考虑一次 的分配，使 1000 位会员总体满意度最大。 2. 模型的建立： 对网站手上现有的 DVD 进行合理分配，使得会员的总体满意度最大。因此， 我们需要定义一个满意度函数，满足以下几点： I. 满意度越大，表示会员越满意。 II. 控制在 01 之间，即满意度归一。 III. 在某一区间上，满意度值分布比较均匀。 IV. 当一次分配给某会员偏好为 1、2、3 的 DVD 时，满意度为 1。 遵循以上原则，我们令个人满意度函数为：（定义变量 ，27=8+9+10 对应以上271001 jijijih S时当时当00011ijijijijaaah） 本函数目标是使总体

16、平均满意度最大，约束条件有： I. 网站租赁给会员 DVDj 的总数不得超过现有张数。II.当网站将 DVDj 租赁给第 i 位会员时，值取 1，反之取 0。ijIII.当时，=0。0ijaijIV.网站一次只租赁给每位会员 3 张 DVD。综上所述，建立 0-1 整数规划为：max100010001 iiSs.t. 030010100, 1100110001或者时，且当 jijijijijj iijajb3.模型的求解： 此模型是一个典型的 0-1 整数规划问题，可用专门的数学软件求解。但是， 当我们使用 Matlab7.0 求解时，求解结果显示，此问题规模太大，超出其运算能7力。这是因为 Matlab 是使用隐枚举法求解此题。于是我们改用 Lingo8.0