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1、线性代数 第四章 向量组的线性相关性教学目的掌握向量的概念,掌握向量组线性表示向量 (组)的判定方法,会用初等变换求解向量 的线性表达式。掌握线性相关性的概念和基 本判定方法。作业重点向量组的线性表示、相关性及判定方法练习册难点向量组线性表示方法 讲授方法讲授 讲授内容 主线向量定义-分类线性组合线性表示及秩的 判断定理和推论练习向量组线性表示及 等价和秩的判断方法向量组线性相关定义 判定方法 时间安排向量向量组的线性表示通过解析成矩阵方程 组,可用秩的判定方法来判定和求解线性表示 系数。线性相关性则是通过等价定义的齐次 方程组来判定.班级: 星期 : 节 年 月 日第八讲:向量组的线性表示与
2、线性相关性1线性代数 第四章 向量组的线性相关性友情提示本次课讲第四章第一二节:向量组的线性表 示与线性相关性;下一次课讲第四章第二节(续)与第三节: 相关性与向量组的秩;下次上课时交作业P25P262线性代数 第四章 向量组的线性相关性第八讲:向量组的线性表示与线性相关性3线性代数 第四章 向量组的线性相关性一、向量组及其相关概念 1.向量:(1)向量的定义(2)向量与矩阵n 维向量可写成一行行向量;也称行矩阵;也可写 成一列列向量,也称列矩阵 因此规定:行向量和列向量都按矩阵的规则进行运算(3)向量的记法:1)列向量用用字母 表示;行向量用 表示.第八讲:向量组的线性表示与线性相关性4线性
3、代数 第四章 向量组的线性相关性2.向量组的概念 (1)向量组的定义:若干个同维数的列向量(或同维数 的行向量)所组成的集合: 如矩阵:有 n 个 m 维列向量(2)所讨论的向量在没有指明是行向量还是列向量时, 都当作列向量第八讲:向量组的线性表示与线性相关性5线性代数 第四章 向量组的线性相关性(2)矩阵与向量组:由 m 个 n 维行向量所组成的向量组 构成一个mn矩阵因此,矩阵与它所对应的行(列)向量组有一一对应的关 系,向量组称矩阵的向量组,矩阵称向量组的矩阵矩阵A组成的向量组称为矩阵 A 的列向量组;反之,由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵.由 m 个 n 维列向量所组成的向量
4、组 构成 一个nm矩阵();,21maaaAL=第八讲:向量组的线性表示与线性相关性6线性代数 第四章 向量组的线性相关性3.线性组合的概念: 定义2给定向量组 A : , 对于任何一组实数 向量称为向量组 A 的一个线性组合,称为这个线性组合的系数.4.线性表示的概念:给定向量组 A : 和向量 , 如果存在一组数 使则向量 是向量组 A 的线性组合, 这时称向量 能由向量组 A 线性表示。线性表示的关键是线性表示系数的存在与求解第八讲:向量组的线性表示与线性相关性7线性代数 第四章 向量组的线性相关性即向量 能由向量组 线性表示.例如:5.向量组由向量组线性表示概念定义3设有两个向量组 A
5、: 及 B: ,则称向量组 B 能由向量组 A 线性表示。 6.向量组的等价:向量组 A 与向量组 B 能相互线性表示, 则称这两个向量组等价。这是第二次遇到等价概念:一个是矩阵间互相初等 变换的等价;这里是向量组间间互相线性表示的等价若 B 组中的每个向量都能由向量组 A 线性表示,第八讲:向量组的线性表示与线性相关性8线性代数 第四章 向量组的线性相关性7.向量组的线性相关概念 (1)定义给定向量组 A : , 如果存在不全为零的数使则称向量组 A 是线性相关的,否则称它线性无关 “否则”只有当时,式才成立。 或若向量组 A : ,线性无关,且式成立,则必有第八讲:向量组的线性表示与线性相
6、关性9线性代数 第四章 向量组的线性相关性二、用方程组判断和求解向量组的线性表示的系数向量 能由向量组 A 线性表示,也就是方程组有解证 :将方程组变形为:第八讲:向量组的线性表示与线性相关性10线性代数 第四章 向量组的线性相关性第八讲:向量组的线性表示与线性相关性11线性代数 第四章 向量组的线性相关性(1)秩的等式定理2:的秩等于矩阵向量组 : 能由向量组 : 线性 表示的充分必要条件是矩阵的秩. 即:2.用方程组判定与求解向量组间的线性表示系数.设向量组 A 与向量组 B 所构成的矩阵依次记作B 组能由 A 组线性表示,即对每个向量第八讲:向量组的线性表示与线性相关性12线性代数 第四
7、章 向量组的线性相关性第八讲:向量组的线性表示与线性相关性13线性代数 第四章 向量组的线性相关性特别提示:定理所涉及的向量组均是列向量组,方程组的 解也是列向量表示,“行变换、列向量”一定要记牢(2)两个推论。由以上定理,不难推出以下结论分析:由定理2和向量组等价定义易推出结论成立第八讲:向量组的线性表示与线性相关性14线性代数 第四章 向量组的线性相关性(4)线性表示秩的解法的概括:例2:设向量组 证明: 能 由向量组 线性表示,并求出表达式.第八讲:向量组的线性表示与线性相关性15线性代数 第四章 向量组的线性相关性证:R(A)=R(B)=2,因 能 由向量组 线性表示.所以(其中C可取
8、任意值)第八讲:向量组的线性表示与线性相关性16线性代数 第四章 向量组的线性相关性第八讲:向量组的线性表示与线性相关性17线性代数 第四章 向量组的线性相关性第八讲:向量组的线性表示与线性相关性 例3(05,2,9分)18线性代数 第四章 向量组的线性相关性第八讲:向量组的线性表示与线性相关性19线性代数 第四章 向量组的线性相关性继续往行阶梯化下去:第八讲:向量组的线性表示与线性相关性20线性代数 第四章 向量组的线性相关性三、用方程组判定线性相关无关性第八讲:向量组的线性表示与线性相关性21线性代数 第四章 向量组的线性相关性(1)按照定义判定。思路:用定义,无关即向量的齐次线性方程组只
9、有非零解 ,即系数行列式不等于零 证:设有 使即因 线性无关,故的系数只有零解4.线性相关性的判定:例4 已知向量组 线性无关,试证向量组 线性无关.第八讲:向量组的线性表示与线性相关性22线性代数 第四章 向量组的线性相关性此方程组的系数行列式为方程组只有零解所以向量组 线性无关.定理4(2)按照向量组的秩判定: 向量组 线性相关的充分必要条件是它所构 成的矩阵 的秩R(A) m;向量组 线性无关的充分必要条件是 R(A) =m .第八讲:向量组的线性表示与线性相关性23线性代数 第四章 向量组的线性相关性例5 已知试讨论向量组 及向量组 的线性相关性.解对矩阵 施行初等行变换,则 R向量组
10、R =2,线性无关.向量组线性相关;第八讲:向量组的线性表示与线性相关性24线性代数 第四章 向量组的线性相关性(3)按照整体与部分的关系判定 定理5 (1)若向量组 A: 线性相关, 则向量组 B:也相关; 反言之, 若向量组 B 线性无关,则向量组A 也线性无关.(4)用向量的维数判定:m 个 n 维向量组成的向量组,当维数 n 小于向量个数 m 时一定线性相关.(5)线性表示与相关性的关系定理:第八讲:向量组的线性表示与线性相关性25线性代数 第四章 向量组的线性相关性证明:记由秩的定理,有R(A)R(B).因 A 组线性无关,有R(A) = m;因 B 组线性相关,有R(B) m+1.
11、所以 mR(B) m+1, 即有R(B) = m.由 R(A) = R(B) = m,及线性方程组秩的解法定理,知方程组有唯一解, 即b能由A组线性表示且表示唯一.第八讲:向量组的线性表示与线性相关性26线性代数 第四章 向量组的线性相关性证:1)因线性无关, 由定理线性无关, 又线性相关, 由定理能由 线性表示.所以 2)设能由 线性表示.由(1)能由 线性表示.线性无关矛盾.与证明:1)能由 线性表示. 2)不能由 线性表示. 分析:1.部分无关、整体相关则增加部分可由无关组线性 表示,2.否定命题多用反证,若能线性表示推出矛盾即可第八讲:向量组的线性表示与线性相关性 例4.设向量组 线性相关,向量组 线性无关,27线性代数 第四章 向量组的线性相关性第八讲:向量组的线性表示与线性相关性28线性代数 第四章 向量组的线性相关性第八讲:向量组的线性表示与线性相关性29线性代数 第四章 向量组的线性相关性第八讲:向量组的线性表示与线性相关性30线性代数 第四章 向量组的线性相关性第八讲:向量组的线性表示与线性相关性31线性代数 第四章 向量组的线性相关性第八讲:向量组的线性表示与线性相关性32