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1、10.110.1 记解题知识记解题知识一一 集合集合 1.1.集合元素具有确定性、无序性和互异性集合元素具有确定性、无序性和互异性. . 在求有关集合问题时，尤其要注意元素的互异性，在求有关集合问题时，尤其要注意元素的互异性， 2.2.遇到遇到时，你是否注意到时，你是否注意到“极端极端”情况：情况：或或；同样当；同样当时，你是否忘时，你是否忘AB A B AB记记的情形？要注意到的情形？要注意到是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集 A3.3.对于含有对于含有个元素的有限集合个元素的有限集合，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为，其子集、真
2、子集、非空子集、非空真子集的个数依次为nM，n2，12 n，12 n. 22 n4.4.集合的运算性质：集合的运算性质： ； ；ABABAABBBAAB； ； ； uuABuuABAB uABUAB()UCAB；. .UUC AC B()UUUCABC AC B5.5. 数轴和韦恩图是进行交、并、补运算的有力工具，在具体计算时不要忘了集合本身和空集这两种特殊数轴和韦恩图是进行交、并、补运算的有力工具，在具体计算时不要忘了集合本身和空集这两种特殊 情况，补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。情况，补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。 二二 函数函数 函数图像的变换函数图
3、像的变换1 1函数函数的图像可以把函数的图像可以把函数的图像沿的图像沿轴方向向轴方向向 或向或向 ()yf xa( )yf xx(0)a 平移平移个单位即可得到；左个单位即可得到；左 右右(0)a |a2 2函数函数的图像可以把函数的图像可以把函数的图像沿的图像沿轴方向向轴方向向 或向或向 ( )yf xa( )yf xx(0)a 平移平移个单位即可得到；上个单位即可得到；上 下下(0)a |a3.(1)3.(1)函数函数的图像可以将函数的图像可以将函数的图像关于的图像关于 对称即可得到；对称即可得到；轴轴()yfx( )yf xy(2)(2)、函数、函数的图像可以将函数的图像可以将函数的图像
4、关于的图像关于 对称即可得到；对称即可得到；轴轴( )yf x ( )yf xx(3)(3)、函数、函数的图像可以将函数的图像可以将函数的图像关于的图像关于 对称即可得到；原点对称即可得到；原点()yfx ( )yf x(4)(4)、函数、函数的图像可以将函数的图像可以将函数的图像关于直线的图像关于直线 对称即可得到；对称即可得到；)2(xafy( )yf xax 4 4 (1)(1)函数函数的图像可以将函数的图像可以将函数的图像的的图像的轴下方部分沿轴下方部分沿 翻折到翻折到轴上方，去掉轴上方，去掉|( )|yf x( )yf xxx原原轴下方部分，并保留轴下方部分，并保留的的轴上方部分即可
5、得到；轴上方部分即可得到；轴轴x( )yf xxx(2)(2)函数函数的图像可以将函数的图像可以将函数的图像右边沿的图像右边沿 翻折到翻折到轴左边替代原轴左边替代原轴左边部轴左边部(|)yfx( )yf xyy分并保留分并保留在在轴右边部分即可得到轴右边部分即可得到头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头轴轴( )yf xyy(3)(3)伸缩变换：函数伸缩变换：函数的图像可以将函数的图像可以将函数的图像中的每一点横坐标不变纵坐标的图像中的每一点横坐标不变纵坐标 ( )yaf x(0)a ( )yf x或压缩（或压缩（）
6、为原来的）为原来的 得到；伸长得到；伸长 倍倍(1)a 01aa函数函数的图像可以将函数的图像可以将函数的图像中的每一点纵坐标不变横坐标伸长的图像中的每一点纵坐标不变横坐标伸长或或()yf ax(0)a ( )yf x(1)a 压缩（压缩（）为）为 倍得到。原来的倍得到。原来的01a1 a 函数的定义域函数的定义域1 1 在实际寻求函数的定义域时，应当遵守下列规则：在实际寻求函数的定义域时，应当遵守下列规则： （1 1）分式的分母不能为零；分式的分母不能为零； （2 2）偶次方根的被开方数应该为非负数；偶次方根的被开方数应该为非负数； （3 3）有限个函数的四则运算得到新函数其定义域是这有限个
7、函数的定义域交集（作除法时还要去掉使有限个函数的四则运算得到新函数其定义域是这有限个函数的定义域交集（作除法时还要去掉使 除式为零的除式为零的 x x 值）值） ； （4 4）对于由实际问题建立的函数，其定义域还应该受实际问题的具体条件限制。对于由实际问题建立的函数，其定义域还应该受实际问题的具体条件限制。 2.2.已知已知 f(x)f(x)的定义域为的定义域为 D D，求，求 fg(x)fg(x)的定义域，实质是解不等式的定义域，实质是解不等式 g(x)Dg(x)D；而已知；而已知 fg(x)fg(x)定义域为定义域为 D D， 求求 f(x)f(x)定义域，是根据定义域，是根据 xDxD，
8、求，求 g(x)g(x)的取值范围。此时，一定要注意题目中给的条件，不要被它造成的的取值范围。此时，一定要注意题目中给的条件，不要被它造成的 假象所迷惑，尤其分清说的是假象所迷惑，尤其分清说的是 x x 还是别的。还是别的。 函数值域的常见求法：函数值域的常见求法：（1 1）配方法）配方法二次函数（二次函数在给出区间上的最值有两类：一是求闭区间二次函数（二次函数在给出区间上的最值有两类：一是求闭区间上的最值；二是上的最值；二是 , m n 求区间定（动）求区间定（动） ，对称轴动（定）的最值问题。求二次函数的最值问题，勿忘数形结合，注意，对称轴动（定）的最值问题。求二次函数的最值问题，勿忘数形
9、结合，注意“两看两看”： 一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系）一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系） ， （2 2）换元法）换元法通过换元把一个较复杂的函数变为简单易求值域的函数，其函数特征是函数解析式含有通过换元把一个较复杂的函数变为简单易求值域的函数，其函数特征是函数解析式含有 根式或三角函数公式模型，根式或三角函数公式模型， （3 3）函数有界性法）函数有界性法直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定所求函数的值直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定所求函数的值 域，最常用的就是三角函数的有界性，域，最常用的就是三角函数的有
10、界性， （4 4）单调性法）单调性法利用一次函数，反比例函数，指数函数，对数函数等函数的单调性，利用一次函数，反比例函数，指数函数，对数函数等函数的单调性， （5 5）数形结合法）数形结合法函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离、直线斜率、等等，注意：求函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离、直线斜率、等等，注意：求 两点距离之和时，要将函数式变形，使两定点在两点距离之和时，要将函数式变形，使两定点在轴的两侧，而求两点距离之差时，则要使两定点在轴的两侧，而求两点距离之差时，则要使两定点在轴轴xx 的同侧。的同侧。 （6 6）判别式法）判别式法对分式函数（分子或分母中有一个是二次
11、）都可通用，但这类题型有时也可以用其它对分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其它方法进行求解，不必拘泥在判别式法上，也可先通过部分分式后，再利用均值不等式：方法进行求解，不必拘泥在判别式法上，也可先通过部分分式后，再利用均值不等式：型，型，2bykx可直接用不等式性质，可直接用不等式性质，型，先化简，再用均值不等式，型，先化简，再用均值不等式，型，通常型，通常2bxyxmxn22xm xnyxmxn用判别式法；用判别式法；型，可用判别式法或均值不等式法，型，可用判别式法或均值不等式法，2xm xnymxn （7 7）不等式法）不等式法利用基本不等式利用基本不等式
12、求函数的最值，其题型特征解析式是和式时求函数的最值，其题型特征解析式是和式时2( ,)abab a bR 要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。 （8 8）导数）导数 法法一般适用于高次多项式函数，一般适用于高次多项式函数，函数的单调性与奇偶性函数的单调性与奇偶性 1 1 确定函数的单调性或单调区间的常用方法：确定函数的单调性或单调区间的常用方法： （1 1）在解答题中常用：定义法（取值）在解答题中常用：定义法（取值作差作差变形变形定号）、导数法（在区间定号）、导数
13、法（在区间内，若总内，若总( , )a b有有，则，则为增函数；反之，若为增函数；反之，若在区间在区间内为增函数，则内为增函数，则，请注意两者的，请注意两者的( )0fx( )f x( )f x( , )a b( )0fx 区别所在。区别所在。（2 2）在选择填空题中还可用数形结合法、特殊值法等等，特别要注意）在选择填空题中还可用数形结合法、特殊值法等等，特别要注意型函型函(0byaxax0)b 数的图象和单调性在解题中的运用：增区间为数的图象和单调性在解题中的运用：增区间为，减区间为，减区间为. .(,)bb aa ,0),(0,bb aa（3 3）复合函数法：复合函数单调性的特点是同增异减
14、，）复合函数法：复合函数单调性的特点是同增异减， 2 2 具有奇偶性的函数的定义域的特征：定义域必须关于原点对称！为此确定函数的奇偶性时，务必先判定具有奇偶性的函数的定义域的特征：定义域必须关于原点对称！为此确定函数的奇偶性时，务必先判定 函数定义域是否关于原点对称。函数定义域是否关于原点对称。 3 3 确定函数奇偶性的常用方法（若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性）：确定函数奇偶性的常用方法（若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性）： 定义法：定义法： 利用函数奇偶性定义的等价形式：利用函数奇偶性定义的等价形式：或或（） 。( )()0f xfx()1 ( )fxf x ( )0f x 图像法：奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于图像法：奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于轴对称。轴对称。y 4.4.函数奇偶性的性质：函数奇偶性的性质： 奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数
