矿厂选址 数学建模

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1、答卷编号（参赛学校填写）：答卷编号（竞赛组委会填写）：论文题目： A 选址问题组 别： 第六组参赛队员信息(必填)： 姓姓 名名专业班级及学号专业班级及学号联系电话联系电话参赛队员参赛队员 1 1参赛队员参赛队员 2 2参赛队员参赛队员 3 3参赛学校：1矿物加工厂选址问题摘要本文针对工厂的采矿点的地理位置和产量进行综合分析. 使用图论中 Dijkstra 算法和线性规划及非线性规划对路线进行计算，设计出了一个使得总 运输量最小的工厂选址方案. 针对问题一，我们根据图中采矿点的位置，利用 Dijkstra 算法分别求出 了当工厂选址在 1,2,3,4,5,6,7 位置时各采矿点与其的最短距离，

2、并算出总距 离，并根据采矿点的产量，利用 matlab 软件对距离用产量进行加权，顺利解得总运输量：19751YSL，10952YSL，9953YSL，11154YSL，9205YSL，10606YSL，15107YSL. 得到当工厂选址在 5 时总运输量最小，为 920 吨*千米. 针对问题二，考虑经济，社会条件状况等我们设立了两种方案. 模型一：在采矿点周围允许建立工厂的范围内，不满足修公路的条件，即 选址在原有的道路上，假设工厂分别位于所有的八条路线之一上，设其距某点 距离为x，用带有x的表达式表示其距其他各点距离，利用 LINGO 软件加权求 和取最小值后得出结论：工厂选址可以在任意路

3、段的前提下，依然是选在采矿 点 5 处，总运输量最小，为 920 千吨*千米. 模型二：自然条件完全满足的条件下，即为满足最小运输量允许随意修建 公路，开设工厂. 在实际问题中，各各采矿点的地理位置为确定的值，故在本 题中不妨假设出各采矿点的位置坐标，利用 LINGO 软件的非线性规划模型，求 解出随机x，y（x=110,y=50）坐标点对各采矿点加权距离和的最小值，结 论为：在点（88.7,15.4）建立工厂，有最小总运输量：831.9 千吨*千米. 并 通过查找资料，分析得到结论，若建四级公路，则有盈利可能的结论. 该模型 可以根据实际问题作出更改，得出符合实际的结论，具有较高的普遍适用价

4、值. 关键字：Dijkstra 算法；非线性规划；最小运输量2一、问题重述某工厂有 7 个采矿点，矿石在采矿点被采下后，须统一运输到工厂处理. 采矿点地理分布如图所示. 76512432535551545206010图中采矿点之间有直线相连表示他们之间有道路相通，直线上的数字表示 他们之间的距离（单位：千米）. 表：各采矿点每天的产量（单位：千吨） 采矿点1234567 产量4116723 问题： 1、若工厂选在某个采矿点，请为工厂选址，使得总运输量最小. 2、若所有采矿点在一个 110 千米50 千米的范围内，这个区域内任意点 都可以建设工厂，请重新为工厂选址. 若需要其他数据，可以在满足图

5、中距离 的前提下自行设置. 3二、问题分析1）对工厂地址选择的理解 模型一：由于重新架设公路会导致成本大大增加，而且后期节省的运费不足以 满足增加的成本，工厂地址仅选择在现有的道路和采矿点上，不能在其它区域 任意开设. 模型二：架设新公路的成本增加量，小于后期节省的总运费，工厂地址选择可 在所有采矿点的一个 110 千米50 千米的范围内，这个区域内任意点都可以建 设工厂，并且不影响工厂内的道路稳定和其它问题. 2）对运输量的理解 不考虑采矿的时间，即认为每天都需运送题中所给数据的量，而且都可以一次 运完，不存在往返的问题，运输量即为距离乘以产量. 三、问题假设1） 每个采矿点之间的单位重量的

6、单位运费都相同. 2） 选址只考虑经济效应，不考虑对其它的影响. 3） 采矿点和工厂都当成点考虑，不考虑实际尺度. 4） 地形状况良好，条件允许可以修建公路. 四、符号说明iYSL :工厂选址在 i 时的总运输量. ijJL :i 点与 j 点之间的最小距离. iW：第 i 点的产量. ix :采矿点的代号. )(GV:任意采矿点，即ix )(GV. :I所指道路的开始出发矿点. )72 , 1(I:J所指道路的终止矿点. )72 , 1(J: )(xYSL道路在距离为x处的总运输量. :x点J距离矿址点的路径长度. 4五、问题一的解答根据题中所述，若工厂选址在七个采矿点之一，则我们可以用图论

7、中 Dijkstra 算法来求出当采矿点位于 1 到 7 时的每个采矿点到工厂的最短距离，记为.ijJL工厂选址在 1 点时：设 1 为顶点1x ，连接连个位置的公路为图的边，记为 e,记 w（e）为图的边 e 的长. 对任意的顶点ix V(G)，寻求轨迹 P（1,x x ） ，使得， 1,minw p x xw p即从1x 到x的所有轨道长中寻求最小的一个. W（P）是轨道 P 上的各边长之和. 我们利用 Dijkstra 算法来进行求解，步骤如下：（1） 令0()=0l x，,0110; ,0;xx JLxi l x （2） 对每个x1 iJL ,用0min (), ( )( , )iil

8、 xl xw x x代替( )l x；设1iv是(x)l使取最小值的1 iJL中的顶点（1 iJL是1 iJL 的补集） ，令(1)111(0,1,2)iiiJLJLxi；（3） 若|( )| 1iV G ，则停止；若|( )| 1iV G ，令1ii 转（2）. 由上述算法经过有限的步骤我们可以得出任意采矿点ix 到所有采矿点的最小距离（千米） ，如表所示：采矿点1234567105510011010570952550455550154031004501020558041105510030659051055020300356067015556535025795408090602505这样，即

9、可求出当工厂设在各点时各采矿点到工厂的总运量之和，即. （用 matlab 编程求解，程序见附录：程序71 11,2,7ii iYSLwJLi一） 可求得工厂设在其它采矿点时各采矿点到工厂的总运量之和（千吨*千米） ， 结果如下表所示： 工厂地址1234567 总运量19751095995111592010601510 由上表可知，当工厂设在采矿点 5 的时候，总运量最小，为 920 千吨*千 米. 六、问题二的解答6.1 模型一考虑最初资金问题，假设最初达不到修建公路的条件，只在现有的道路 和采矿点建立工厂，为以后矿石的运输提供条件. 若工厂建立在道路上（与问题一做比较） ，设在道路工厂到某

10、采矿点IJ 的距离为x，这样其余各采矿点到工厂的最短路径是与x有关的表达式.经分析 当矿点设在下表列出道路上时，采矿点到工厂的最短路径是关于x的线性函数 （括号内数字为选址所设x的对应点）. 1-2（2）2-6（2）3-4（4）5-6（5）6-7（6）155-x55+x110-x105-x60+x2xx55-x50-x15+x345+x45+x10-x20+x55+x455+x55+xx30+x65+x550+x50-x30-xx35+x615+x15-x65-x35-xx740+x40-x90-x60-x25-x6当矿点设在下表列出道路上时，采矿点到工厂的最短路径是关于x的分段 线性函数（括

11、号内数字为选址所设x的对应点）. 2-3（2）3-5（3）4-5（4）155+x100125xx 110165xx 2x45 70x x 55110xx 345-xx10+x455-x10+xx550 65x x 20-x60-x615+x55-x65 95x x 740+x80-x90120xx 使用 LINGO 程序对以上表格内容使用线性规划模型求解最小值. （程序见 附录：程序二） 求的结果列为下表：1- 2（2 ）2- 6（2 ）3- 4（4 ）5- 6（5 ）6- 7（6 ）2-3（2）3-5（3）4-5（4）x00100045, 020, 060, 0运输 量10951095102

12、092010201020,1095920,9951150,1325得出结果，即工厂建在采矿点 5 位置，即与第一问相同位置，有最小运输 量YSL=920.6.2 模型二7考虑情况：运输不限于现有公路，只为追求总运输量的最小化，兴建新的 公路，从采矿点直达工厂. 题目中只给出各采矿点相对位置及路程，由于是实 际问题，不妨假设出一组符合现有条件的各点具体坐标，建立起模型二的模型， 分析具体问题时可以带入实际坐标进行运算. 现假设1-7点坐标分别为：（0,0） ， （0,55） ， （0,100） ， （0,110） ， （90,17） ，（55,15） ， （30,15） ，用，表示(此坐标用绘图

13、软件得出，除采矿点4与采iaib矿点5之间不能满足题中距离60的要求外，其它均满足直线距离，可信度较高). 利用matlab软件绘图得出每个采矿点的确切位置如图1所示.图1设出选址地点坐标x，y. 对下列公式利用LINGO软件非线性规划模型进行 求解. （程序见附录：程序三）.1 222miniiiYSLwaxby可求得坐标点（88.7,15.4）. （在图1中用表示. ）工厂选址在此点是 每个采矿点到工厂的总运输量最小. YSL=831.9千吨*千米. 6.3 模型分析 实际问题中，由于新建设公路需要耗费一定的成本. 我们可以对模型一和 模型二进行综合考虑得出最优的结果. 首先考虑总运量之间

14、能节约的运费. 模型一在现有公路的条件上，工厂设 置在采矿点 5 时，得出的最小总运量为 920 千吨*千米. 模型二中新建设公路 得出的工厂建设点为（88.7,15.4） ，最小总运量为 831.9 千吨*千米. 则两种 模式之差为 88.1 千吨*千米. 通过查阅资料显示每吨矿石每千米的最低运费成 本为 0.5 元/吨*千米. 则如果选择（88.7,15.4）为建设点时一年可节约的总 费用为：0.5*88.1*1000*365=1607（万元）. 其次我们考虑新公路建设增加的成本. 我们通过假设的坐标点可以算出需 要建设的公路总长S=266.9.1 222 iiaxby查阅资料显示在工厂建

15、设的公路一般为三级公路或者四级公路. 8如果建设三级公路（三级公路一般能适应按各种车辆折合成中型载重汽车， 设年限年平均昼夜交通量为 10004000 辆，设计年限：三级公路为 10 年） ， 则修建投资造价为：每公里 60 万元左右（不同的地理环境投资造价不一样）. 总造价=266.9*60=16014（万元）. 这种情况下，没有意外发生，则运输十1A年节省的总运费刚好能够建设公路. 不建议花费力气去建设新的公路，工厂设 置在采矿点 5 为最优方案. 如果建设四路（一般能适应按各种车辆折合成中型载重汽车的远景设计年 限年平均昼夜交通量为：双车道 1500 辆以下；单车道 200 辆以下. 设

16、计年限： 四级公路为 10 年） ，则修建投资造价为：每公里 35 左右（不同的地理环境投资造价不一样）. 总造价=266.9*35=9341.5（万元）. 这种情况下，没有意1A外发生，则运输十年节省的总运费不仅能够建设公路，而且能够节省 6728 万 元. 建议把工厂设置在（88.7,15.4）的坐标点上. 七、模型的优点与缺点优点：本题在解决工厂选址，运用了图论的建立寻优模型，建模的方法简 单易懂，尽管建模过程中应用了图论的最短路程理论，问题的算法还具有普遍 性，对这一类问题都能用本文的算法解决，只需更改相应的参数值. 可以从本 文的算法抽出更一般的模型，推广应用；在模型二中，考虑到了运输成本与道 路建设成本之间的关系，更能贴近实际问题. 缺点：